不可积分的函数、定积分可积不可积

1. 不可积分

不可积分函数

正态分布函数的密度函数是不可积的，虽然它的原函数（即不定积分）存在，但不能用初等函数表达出来。

习惯上，如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来，就说这函数是“积得出的函数”，否则就说它是“积不出”的函数。比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数，但是这些积分在概率论，数论，光学，傅里叶分析等领域起着重要作用。

• ∫e−x2dx$\int e^{-x^2}dx$（正态函数的形式）
• ∫sin(x)xdx$\int \frac{\sin (x)}{x}dx$
• ∫1lnxdx$\int \frac{1}{\ln x}dx$
• ∫sinx2dx$\int \sin x^{2}dx$
• ∫a2sin2x+b2cos2x−−−−−−−−−−−−−−−√dx$\int \sqrt{a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x}dx$（a2≠b2$a^2\ne b^2$）

2. 定积分不可积分

• 积分为无穷大，表示不可积，积分为一个确定值，才表示可积；
• 有界是可积的必要条件，
  
  • 没有界一定不可积分；有界不一定可积分（狄利克雷函数）；
• 闭区间上的单调有界函数一定可积；
• 如果定义在无穷区间上，在无穷远处如果函数的极限不为 0，