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奇函数)=-f(x)：偶函数： 奇函数：关于原点对称 f(-x)=-f(x)：偶函数：关于 y 轴对称导数公式： 导数公式： 基本积分表： 基本积分表： (tgx)′ = sec 2 x (ctgx)′ = ? csc 2 x (sec x)′ = sec x ? tgx (csc x)′ = ? csc x ? ctgx (a x )′ = a x ln a (log a x)′ = 1 x ln a (arcsin x)′ = 1 1? x2 1 (arccos x)′ = ? 1? x2 1 (arctgx)′ = 1+ x2 1 (arcctgx)′ = ? 1+ x2 ∫ tgxdx = ? ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x ? ctgx + C 1 dx x = arctg +C 2 +x a a 1 dx x?a ∫ x 2 ? a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 ? x 2 = 2a ln a ? x + C dx x ∫ a 2 ? x 2 = arcsin a + C ∫ cos dx 2 x dx 2 ∫ sin 2 x = ∫ csc xdx = ?ctgx + C = ∫ sec 2 xdx = tgx + C ∫a ∫ sec x ? tgxdx = sec x + C ∫ csc x ? ctgxdx = ? csc x + C ax ∫ a dx = ln a + C x 2 ∫ shxdx = chx + C ∫ chxdx = shx + C ∫ dx x ±a 2 2 = ln( x + x 2 ± a 2 ) + C π 2 n π 2 I n = ∫ sin xdx = ∫ cos n xdx = 0 0 n ?1 I n?2 n ∫ ∫ ∫ x 2 a2 x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x 2 a2 x 2 ? a 2 dx = x ? a 2 ? ln x + x 2 ? a 2 + C 2 2 x 2 a2 x 2 2 2 a ? x dx = a ? x + arcsin + C 2 2 a x 2 + a 2 dx = 三角函数的有理式积分： 三角函数的有理式积分： 2u 1? u 2 x 2du sin x = ， x = cos ， u = tg ， dx = 2 2 1+ u 1+ u 2 1+ u 2 1 一些初等函数： 一些初等函数： 两个重要极限： 两个重要极限： ex ? e?x 双曲正弦 : shx = 2 x e + e ?x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x ? e ? x 双曲正切 : thx = = chx e x + e ? x arshx = ln( x + x 2 + 1） archx = ± ln( x + x 2 ? 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1? x 三角函数公式： 三角函数公式： 诱导公式： ·诱导公式： 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式： 和差角公式： lim sin x =1 x →0 x 1 lim(1 + ) x = e = 2.718281828459045... x →∞ x sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα ·和差化积公式： 和差化积公式： sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β tgα ± tgβ tg (α ± β ) = 1 m tgα ? tgβ ctgα ? ctgβ m 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα sin α + sin β = 2 sin α +β 2 2 α+β α?β sin α ? sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α ?β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α ?β cos α ? cos β = 2 sin sin 2 2 cos α ?β 2 ·倍角公式： 倍角公式： sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α = cos 2 α ? sin 2 α ctg 2α ? 1 ctg 2α = 2ctgα 2tgα tg 2α = 1 ? tg 2α ·半角公式： 半角公式： sin 3α = 3 sin α ? 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α ? 3 cosα tg 3α = 3tgα ? tg 3α 1 ? 3tg 2α sin tg α 2 =± =± α 1 ? cosα 1 + cosα cos = ± 2 2 2 α 1 ? cosα 1 ? cosα sin α 1 + cosα 1 + cosα sin α ctg = ± = = = = 1 + cosα sin α 1 + cos α 2 1 ? cosα sin α 1 ? cosα a b c = = = 2R sin A sin B sin C ·余弦定理： c = a + b ? 2ab cos C 余弦定理： 2 2 2 α 2 ·正弦定理： 正弦定理： ·反三角函数性质： arcsin x = 反三角函数性质： π 2 ? arccos x arctgx = π 2 ? arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： ——莱布尼兹 k (uv) ( n ) = ∑ C n u ( n?k ) v ( k ) k =0 n = u ( n ) v + nu ( n?1) v′ + n(n ? 1) ( n?2) n(n ? 1)L(n ? k + 1) ( n?k ) ( k ) u v + L + uv ( n ) u v′′ + L + 2! k! 中值定理与导数应用： 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：f (b) ? f (a) = f ′(ξ )(b ? a) f (b) ? f (a ) f ′(ξ ) 柯西中值定理： = F (b) ? F (a ) F ′(ξ ) 当F( x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率： 曲率： 弧微分公式：ds = 1 + y ′ 2 dx, 其中y ′ = tgα K 平均曲率： = ?α .?α : 从M点到M ′点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM ′弧长。 ?s y ′′ ?α dα M点的曲率：K = lim = = . ?s →0 ?s ds (1 + y ′ 2 ) 3 直线：K = 0; 1 半径为a的圆：K = . a 3 定积分的近似计算： 定积分的近似计算： 矩形法： f ( x) ≈ ∫ a b b?a ( y0 + y1 + L + y n?1 ) n b?a 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + L + y n?1 ] n 2 b?a [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + L + y n?2 ) + 4( y1 + y3 + L + y n?1 )] 3n 梯形法： f ( x) ≈ ∫ a b b 抛物线法： f ( x) ≈ ∫ a 定积分应用相关公式： 定积分应用相关公式： 功：W = F ? s 水压力：F = p ? A m1m2 , k为引力系数 r2 b 1 函数的平均值： = y f ( x)dx b?a ∫ a 引力：F = k 1 2 均方根： ∫ f (t )dt b?a a 空间解析几何和向量代数： 空间解析几何和向量代数： b 空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 + ( z 2 ? z1 ) 2 向量在轴上的投影： ju AB = AB ? cos ? ,?是 AB与u轴的夹角。 Pr v v v v Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 v v v v a ? b = a ? b cosθ = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角： θ = cos i v v v c = a × b = ax bx j ay by k a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z ? bx + b y + bz 2 2 2 2 2 2 v v v v v v a z , c = a ? b sin θ .例：线速度：v = w × r . bz ay by cy az cz ax v vv v v v 向量的混合积： b c ] = (a × b ) ? c = bx [a cx 代表平行六面体的体积。 v v v bz = a × b ? c cos α ,α为锐角时， 4 平面的方程： v 1、点法式：A( x ? x0 ) + B( y ? y 0 ) + C ( z ? z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平 面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2 ? x = x0 + mt x ? x0 y ? y 0 z ? z 0 v ? 空间直线的方程： = = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程：y = y0 + nt ? m n p ? z = z + pt 0 ? 二次曲面： x2 y2 z 2 1、椭球面： 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面： + = z（p, q同号） , 2 p 2q 3、双曲面： x2 y2 z2 单叶双曲面： 2 + 2 ? 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面： 2 ? 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c 多元函数微分法及应用 全微分：dz = ?z ?z ?u ?u ?u dx + dy du = dx + dy + dz ?z ?x ?y ?x ?y 全微分的近似计算：?z ≈ dz = f x ( x, y )?x + f y ( x, y )?y 多元复合函数的求导法： dz ?z ?u ?z ?v z = f [u (t ), v(t )] = ? + ? dt ?u ?t ?v ?t ?z ?z ?u ?z ?v z = f [u ( x, y ), v( x, y )] = ? + ? ?x ?u ?x ?v ?x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时， du = ?u ?u ?v ?v dx + dy dv = dx + dy ?x ?y ?x ?y 隐函数的求导公式： F F F dy dy d2y ? ? 隐函数F ( x, y ) = 0， = ? x ， 2 = (? x )＋ (? x ) ? ?x Fy ?y Fy dx dx Fy dx Fy F ?z ?z 隐函数F ( x, y, z ) = 0， = ? x ， = ? ?x ?y Fz Fz 5 ?F ? F ( x, y , u , v ) = 0 ? ( F , G ) ?u 隐函数方程组： J = = ? ?G ? (u , v) ?G ( x, y, u , v) = 0 ?u ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G) = ? ? =? ? ?x J ? ( x, v ) ?x J ? (u , x) ?u 1 ?( F , G) ?v 1 ?( F , G ) = ? ? =? ? ?y J ? ( y, v) ?y J ? (u , y ) 微分法在几何上的应用： 微分法在几何上的应用： ?F ?v = Fu ?G Gu ?v Fv Gv ? x = ? (t ) x?x y ? y0 z ? z 0 ? 空间曲线? y = ψ (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程： 0 = = ? ′(t 0 ) ψ ′(t 0 ) ω ′(t 0 ) ? z = ω (t ) ? 在点M处的法平面方程：? ′(t 0 )( x ? x0 ) + ψ ′(t 0 )( y ? y0 ) + ω ′(t 0 )( z ? z 0 ) = 0 ? v Fy Fz Fz Fx Fx ? F ( x, y , z ) = 0 , 则切向量T = { , , 若空间曲线方程为： ? G y G z Gz G x Gx ?G ( x, y, z ) = 0 ? 曲面F ( x, y, z ) = 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 )，则： v 1、过此点的法向量：n = {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} x ? x0 y ? y0 z ? z0 3、过此点的法线方程： = = Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 ) 方向导数与梯度： 方向导数与梯度： Fy Gy } 2、过此点的切平面方程：Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x ? x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z 0 )( y ? y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z ? z 0 ) = 0 ?f ?f ?f 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为： = cos ? + sin ? ?l ?x ?y 其中?为x轴到方向l的转角。 ?f v ?f v i+ j ?x ?y v v ?f v v 它与方向导数的关系是： = grad f ( x, y ) ? e ，其中e = cos ? ? i + sin ? ? j ，为l方向上的 ?l 单位向量。 ?f ∴ 是gradf ( x, y )在l上的投影。 ?l 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )的梯度：gradf ( x, y ) = 多元函数的极值及其求法： 多元函数的极值及其求法： 设f x ( x0 , y0 ) = f y ( x0 , y 0 ) = 0，令：f xx ( x0 , y0 ) = A, f xy ( x0 , y0 ) = B, f yy ( x0 , y 0 ) = C ? ? A < 0, ( x0 , y0 )为极大值 2 ? ? AC ? B > 0时， ? A > 0, ( x0 , y0 )为极小值 ? ? 2 则： AC ? B < 0时， 无极值 ? ? AC ? B 2 = 0时, 不确定 ? ? ? 6 重积分及其应用： 重积分及其应用： ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ D D′ 曲面z = f ( x, y )的面积A = ∫∫ D ? ?z ? ? ?z ? 1 + ? ? + ? ? dxdy ? ? ? ?x ? ? ?y ? 2 2 M 平面薄片的重心：x = x = M ∫∫ xρ ( x, y)dσ D ∫∫ ρ ( x, y)dσ D 2 D , y = My M = ∫∫ yρ ( x, y)dσ D ∫∫ ρ ( x, y)dσ D D 平面薄片的转动惯量：对于x轴I x = ∫∫ y ρ ( x, y )dσ , 对于y轴I y = ∫∫ x 2 ρ ( x, y )dσ 平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a ), (a > 0)的引力：F = {Fx , Fy , Fz }，其中： Fx = f ∫∫ D ρ ( x, y ) xdσ (x2 + y 2 + a ) 3 2 2 ， Fy = f ∫∫ D ρ ( x, y ) ydσ (x2 + y 2 + a ) 3 2 2 ， Fz = ? fa ∫∫ D ρ ( x, y ) xdσ 3 (x2 + y2 + a2 ) 2 柱面坐标和球面坐标： 柱面坐标和球面坐标： ? x = r cosθ ? 柱面坐标：y = r sin θ , f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ F (r ,θ , z )rdrdθdz , ? ∫∫∫ ? ? ? z=z ? 其中：F (r ,θ , z ) = f (r cosθ , r sin θ , z ) ? x = r sin ? cosθ ? 球面坐标：y = r sin ? sin θ ， dv = rd? ? r sin ? ? dθ ? dr = r 2 sin ?drd?dθ ? ? z = r cos ? ? 2 ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ F (r ,? ,θ )r sin ?drd?dθ = ∫ dθ ∫ d? ? ? 0 0 2π π r (? ,θ ) ∫ F (r ,? ,θ )r 0 2 sin ?dr 重心：x = 1 M ∫∫∫ xρdv, y = M ∫∫∫ yρdv, z = M ∫∫∫ zρdv， 其中M = x = ∫∫∫ ρdv ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? 1 1 转动惯量：I x = ∫∫∫ ( y + z ) ρdv， I y = ∫∫∫ ( x + z ) ρdv， I z = ∫∫∫ ( x + y ) ρdv 曲线积分： 曲线积分： 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）： ? x = ? (t ) 设f ( x, y )在L上连续，L的参数方程为： , ≤ t ≤ β ), 则： (α ? ? y = ψ (t ) ∫ f ( x, y )ds = α f [? (t ),ψ (t )] ∫ L β ? ′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t ) dt < β ) 特殊情况： (α ? ? x=t ? y = ? (t ) 7 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： ? x = ? (t ) 设L的参数方程为? ，则： ? y = ψ (t ) ∫ P( x, y)dx + Q( x, y )dy = ∫{P[? (t ),ψ (t )]? ′(t ) + Q[? (t ),ψ (t )]ψ ′(t )}dt L β α 两类曲线积分之间的关系：Pdx + Qdy = ∫ ( P cosα + Q cos β )ds，其中α和β分别为 ∫ L L L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式： ( ∫∫ D ?Q ?P ?Q ?P ? )dxdy = ∫ Pdx + Qdy格林公式： ( ∫∫ ?x ? ?y )dxdy = ∫ Pdx + Qdy ?x ?y L D L ?Q ?P 1 当P = ? y, Q = x，即： ? = 2时，得到D的面积：A = ∫∫ dxdy = ∫ xdy ? ydx ?x ?y 2L D ·平面上曲线积分与路径无关的条件： 1、G是一个单连通区域； 2、P( x, y )，Q( x, y )在G内具有一阶连续偏导数，且 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ ·二元函数的全微分求积： 在 ?Q ?P ＝ 时，Pdx + Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分，其中： ?x ?y ( x, y ) ?Q ?P ＝ 。注意奇点，如(0,0)，应 ?x ?y u ( x, y ) = 曲面积分： 曲面积分： ∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy，通常设x ( x0 , y 0 ) 0 = y0 = 0。 2 对面积的曲面积分： f ( x, y, z )ds = ∫∫ f [ x, y, z ( x, y )] 1 + z x ( x, y ) + z 2 ( x, y )dxdy y ∫∫ ∑ Dxy 对坐标的曲面积分： P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z )dxdy，其中： ∫∫ ∑ ∫∫ R( x, y, z)dxdy = ± ∫∫ R[ x, y, z( x, y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号； ∑ Dxy ∫∫ P( x, y, z)dydz = ± ∫∫ P[ x( y, z ), y, z]dydz，取曲面的前侧时取正号； ∑ D yz ∫∫ Q( x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q[ x, y( z, x), z ]dzdx，取曲面的右侧时取正号。 ∑ Dzx 两类曲面积分之间的关系： Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cosα + Q cos β + R cos γ )ds ∫∫ ∑ ∑ 高斯公式： 高斯公式： 8 ∫∫∫ ( ?x + ?y ? ?P ?Q + ?R ) dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds ?z ∑ ∑ 高斯公式的物理意义 — —通量与散度： v ? P ? Q ?R v 散度： div ν = + + ,即：单位体积内所产生 的流体质量，若 div ν < 0, 则为消失 ... ?x ? y ?z v v 通量： A ? n ds = ∫∫ An ds = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds ， ∫∫ ∑ ∑ ∑ v 因此，高斯公式又可写 成： div Adv = ∫∫ An ds ∫∫∫ ? ∑ 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： ——曲线积分与曲面积分的关系 ∫∫ ( ?y ? ?z )dydz + ( ?z ? ?x )dzdx + ( ?x ? ?y )dxdy = ∫ Pdx + Qdy + Rdz ∑ Γ ?R ?Q ?P ?R ?Q ?P dydz dzdx dxdy cosα ? ? ? ? 上式左端又可写成： ∫∫ ?x ?y ?z = ∫∫ ?x ∑ ∑ P Q R P cos β ? ?y Q cos γ ? ?z R ?R ?Q ?P ?R ?Q ?P 空间曲线积分与路径无关的条件： = ， = ， = ?y ?z ?z ?x ?x ?y i j k v ? ? ? 旋度：rotA = ?x ?y ?z P Q R v v v 向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量：Pdx + Qdy + Rdz = ∫ A ? t ds ∫ Γ Γ 常数项级数： 常数项级数： 1? qn 1? q (n + 1)n 等差数列：+ 2 + 3 + L + n = 1 2 1 1 1 调和级数：+ + + L + 是发散的 1 2 3 n 等比数列：+ q + q 2 + L + q n?1 = 1 级数审敛法： 级数审敛法： 9 1、正项级数的审敛法 — —根植审敛法（柯西判别法）： ? ρ < 1时，级数收敛 ? 设：ρ = lim n u n ，则? ρ > 1时，级数发散 n→∞ ? ρ = 1时，不确定 ? 2、比值审敛法： ? ρ < 1时，级数收敛 U n+1 ? 设：ρ = lim ，则? ρ > 1时，级数发散 n→∞ U n ? ρ = 1时，不确定 ? 3、定义法： s n = u1 + u 2 + L + u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发散。 n→∞ 交错级数u1 ? u 2 + u 3 ? u 4 + L (或 ? u1 +u 2 ?u 3 + L, u n > 0)的审敛法 — —莱布尼兹定理： ? u n ≥ u n+1 ? 如果交错级数满足 ? ，那么级数收敛且其和s ≤ u1 , 其余项rn的绝对值 rn ≤ u n+1。 ?lim u n = 0 ?n → ∞ 绝对收敛与条件收敛： 绝对收敛与条件收敛： (1)u1 + u 2 + L + u n + L，其中u n为任意实数； (2) u1 + u 2 + u 3 + L + u n + L 如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数； 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1 (?1) n 调和级数： 发散，而∑ 收敛； ∑n n 1 级数： 2 收敛； ∑n ｐ≤１时发散 1 p级数： p ∑n p > 1时收敛幂级数： 幂级数： 10 1 x < 1时，收敛于 1? x 1 + x + x + x + L + x + L x ≥ 1时，发散 2 3 n 对于级数(3)a0 + a1 x a 2 x 2 + L + a n x n + L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全 + x < R时收敛 数轴上都收敛，则必存在R，使 x > R时发散，其中R称为收敛半径。 x = R时不定 ρ ≠ 0时，R = 1 a 求收敛半径的方法：设 lim n+1 = ρ，其中a n，an+1是(3)的系数，则 ρ = 0时，R = +∞ n →∞ a n ρ = +∞时，R = 0 函数展开成幂级数： 函数展开成幂级数： ρ 函数展开成泰勒级数：f ( x) = f ( x0 )( x ? x0 ) + f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x ? x0 ) 2 + L + ( x ? x0 ) n + L 2! n! f ( n+1) (ξ ) 余项：Rn = ( x ? x0 ) n+1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： Rn = 0 lim n→∞ (n + 1)! x0 = 0时即为麦克劳林公式：f ( x) = f (0) + f ′(0) x + 一些函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： f ′′(0) 2 f ( n ) ( 0) n x +L+ x +L 2! n! m(m ? 1) 2 m(m ? 1)L(m ? n + 1) n x +L+ x + L 1 < x < 1) (? 2! n! x3 x5 x 2 n ?1 sin x = x ? + ? L + (?1) n?1 + L < x < +∞) (?∞ 3! 5! (2n ? 1)! (1 + x) m = 1 + mx + 欧拉公式： 欧拉公式： ? e ix + e ? ix cos x = ? ? 2 e ix = cos x + i sin x 或? ix ?ix ?sin x = e ? e ? 2 ? 三角级数： 三角级数： a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx) 2 n=1 n =1 其中，a0 = aA0，an = An sin ? n，bn = An cos ? n，ωt = x。 f (t ) = A0 + ∑ An sin(nωt + ? n ) = 正交性：sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x Lsin nx, cos nx L任意两个不同项的乘积在[?π , π ] 1, 上的积分＝0。傅立叶级数： 傅立叶级数： ∞ 11 f ( x) = a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx)，周期 = 2π 2 n=1 π ? 1 a n = ∫ f ( x) cos nxdx = 0,1,2L) (n ? π ?π ? 其中? π ?b = 1 f ( x)sinnxdx = 1,2,3L) (n ? n π ∫ ?π ? π2 1 1 1+ 2 + 2 + L = 8 3 5 π2 1 1 1 + 2 + 2 +L = 22 4 6 24 正弦级数：a n = 0，bn = 余弦级数：bn = 0，an = 1+ π2 1 1 1 + 2 + 2 + L = （相加） 6 22 3 4 π2 1 1 1 1 ? 2 + 2 ? 2 + L = （相减） 2 3 4 12 π 2 π 2 ∫ f ( x) sin nxdx n = 1,2,3L f ( x) = ∑ b 0 0 n sin nx是奇函数 f ( x) cos nxdx n = 0,1,2L f ( x) = π∫ π a0 + ∑ a n cos nx是偶函数 2 的周期函数的傅立叶级数： 周期为 2l 的周期函数的傅立叶级数： 12 f ( x) = a0 ∞ nπx nπ x + ∑ (a n cos + bn sin )，周期 = 2l 2 n=1 l l l ? 1 nπ x dx = 0,1,2L) (n ?a n = ∫ f ( x) cos l ?l l ? 其中? l ?b = 1 f ( x) sin nπx dx = 1,2,3L) (n ? n l∫ l ?l ? 微分方程的相关概念： 微分方程的相关概念： 一阶微分方程：y ′ = f ( x, y ) 或 P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g ( y )dy = f ( x)dx的形式，解法： ∫ g ( y )dy =∫ f ( x)dx 得：G ( y ) = F ( x) + C称为隐式通解。 dy y = f ( x, y ) = ? ( x, y )，即写成 的函数，解法： dx x y dy du du dx du y 设u = ，则 = u + x ，u + = ? (u )， ∴ = 分离变量，积分后将 代替u， x dx dx dx x ? (u ) ? u x 齐次方程：一阶微分方程可以写成 即得齐次方程通解。一阶线性微分方程： 一阶线性微分方程： dy 1、一阶线性微分方程： + P( x) y = Q( x) dx ? P ( x ) dx 当Q( x) = 0时, 为齐次方程，y = Ce ∫ 当Q( x) ≠ 0时，为非齐次方程，y = ( ∫ Q( x)e ∫ dy 2、贝努力方程： + P( x) y = Q( x) y n， ≠ 0,1) (n dx 全微分方程： 全微分方程： P ( x ) dx ? P ( x ) dx dx + C )e ∫ 如果P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0中左端是某函数的全微分方程，即： ?u ?u du ( x, y ) = P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0，其中： = P( x, y )， = Q( x, y ) ?x ?y ∴ u ( x, y ) = C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程： 二阶微分方程： f ( x) ≡ 0时为齐次 d2y dy + P( x) + Q( x) y = f ( x)， 2 dx dx f ( x) ≠ 0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*) y ′′ + py ′ + qy = 0，其中p, q为常数； 求解步骤： 1、写出特征方程： )r 2 + pr + q = 0，其中r 2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y ′′, y ′, y的系数； (? 2、求出(?)式的两个根r1 , r2 13 3、根据r1 , r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解： r1，r2的形式两个不相等实根 ( p ? 4q > 0) 2 (*)式的通解 y = c1e r1x + c2 e r2 x y = (c1 + c2 x)e r1x y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx) 两个相等实根 ( p ? 4q = 0) 2 一对共轭复根 ( p ? 4q < 0) 2 r1 = α + iβ，r2 = α ? iβ 4q ? p 2 p α = ? ，β = 2 2 二阶常系数非齐次线性微分方程 y ′′ + py ′ + qy = f ( x)，p, q为常数 f ( x) = e λx Pm ( x)型，λ为常数； f ( x) = e λx [ Pl ( x) cos ωx + Pn ( x) sin ωx]型 14： f(-x |
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