数学基本知识：一元函数的不定积分

我们已经知道，导数其实是一个在一元实函数集上的映射

d/dx:X→Y

而且，这并不是个单射，即没有严格意义下的逆映射。

但是，对于同一个像f(x)∈Y，其所有原像构成的集合I⊂X具有如下形式

I = {F(x)+C|d/dx F(x) = f(x)}

其中F(x)是I中的某一元素（一元实函数），C是常数。

如果我们就用形式F(x)+C代表集合I中的元素，这就形式上建立了一个导数映射的“逆映射”，它将f(x)所对应的所有原像都表示出来了。这个“逆映射”就是所谓的不定积分。表示为

∫f(x)dx = F(x) + C

其中d/dx F(x) = f(x)，即F(x)是f(x)在导数映射下的一个原像（也称原函数）。

可见，不定积分实际上就是针对被积函数f(x)找一个在相应导数映射下的原像，然后加上一个待定的常数。所以，不定积分的关键是与之相关的导数映射，因为其本身就是建立在导数映射的基础之上的。

与导数类似，不定积分也具备线性性，这一点很容易由导数的线性性得到。具体形式如下

∫(a f(x) + b g(x))dx = a ∫f(x)dx + b ∫g(x)dx

但与导数不同，不定积分不具备类似的乘、除、反函数和复合函数等的运算法则，这就给不定积分的求解带来了相当大的困难。对于一般的初等函数，不定积分不一定存在解析解。

不定积分的难点在于其求解上，不存在普适的一般法则，基本就是个拼凑的玩法。拼凑必须得有个方向，在此就是基本积分表。市场上有比较专业的相关数学工具书，内有相当完备的积分表，基本涵盖了具备解析解的被积函数并给出其不定积分解析解。如果所拥有的积分表不是那么的完备（如仅是基本积分表），则可以其为目标进行变换，将被积函数变换成积分表内可直接引用的形式。

下面介绍几个求解不定积分的基本变换法：

一）第一类换元法

设函数f(u)具有解析原函数F(u)（即d/du F(u) = f(u)），且函数u=φ(x)可导，则由变换

∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫f(u)du = F(φ(x)) + C

可知被积函数f(φ(x))φ'(x)也有解析解，其解为F(φ(x)) + C。

二）第二类换元法

设函数x=ψ(t)严格单调（即存在反函数t=ψ⁻¹(x)）可导且ψ'(t)≠0。若函数f(ψ(t))ψ'(t)具有解析原函数G(t)（即d/dt G(t) = f(ψ(t))ψ'(t)），则由变换

∫f(x)dx = ∫f(ψ(t))ψ'(t)dt = G(ψ⁻¹(x)) + C

可知被积函数f(x)也有解析解，其解为G(ψ⁻¹(x)) + C。

三）分部积分法

如果被积函数f(x)g'(x)具有解析原函数，则由变换

∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - ∫f(x)g'(x)dx

可知被积函数f'(x)g(x)也有解析解。

四）有理函数的积分

有理函数可以通过部分分式分解成如下形式之和

1）P(x)

P(x)为多项式

2）P(x)/(x-a)^k

P(x)为小于k次的多项式

3）P(x)/(x²+px+q)^k

P(x)为小于2k次的多项式

这三个类型的被积函数都具有解析解（具体在此略）。

常用的基本积分表：

∫x^μdx = x^(μ+1)/(μ+1) + C （μ≠-1）

∫(1/x)dx = ln(|x|) + C

∫e^x dx = e^x + C

∫(1/(x²+1))dx = arctg(x) + C

∫(1/(x²-1))dx = ln(|(x-1)/(x+1)|)/2 + C

∫(1/√(1-x²))dx = arcsin(x) + C

∫(1/√(x²+1))dx = ln(x+√(x²+1)) + C

∫(1/√(x²-1))dx = ln(x+√(x²-1)) + C

∫cos(x)dx = sin(x) + C

∫sin(x)dx = -cos(x) + C

∫tg(x)dx = -ln(|cos(x)|) + C

∫ctg(x)dx = ln(|sin(x)|) + C

∫sec(x)dx = ln(|sec(x)+tg(x)|) + C

∫csc(x)dx = ln(|csc(x)-ctg(x)|) + C

∫sec²(x)dx = tg(x) + C

∫csc²(x)dx = -ctg(x) + C

∫sec(x)tg(x)dx = sec(x) + C

∫csc(x)ctg(x)dx = -csc(x) + C

∫sh(x)dx = ch(x) + C

∫ch(x)dx = sh(x) + C