微积分如何计算天体轨道？

“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。” ——恩格斯

牛顿因其运动定律的发现与微积分的发明，被誉为有史以来最伟大的物理学家，而牛顿在世的时候，更是被当时的人们誉为仅次于上帝的人。那么它何以享有如此之高的称号呢，就是因为他发明的理论完美地解释了宇宙万物的运动规律。在17世纪，欧洲文明才刚刚从中世纪的阴霾中苏醒，人们普遍认为大地星辰都是上帝的杰作，按照上帝规定的法则来运行。然而一个叫牛顿的凡人却发现了这些法则，因此人们把牛顿当神一样来崇拜。那么，牛顿的理论是如何解释了天体的运行呢，最具有代表性的一个例子就是大名鼎鼎的“开普勒三定律”开普勒三定律的提出是一个漫长的历史过程。自古希腊一直到中世纪，人们始终坚持“地心说”的观点，以希腊晚期天文学家托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约100年—170年）为代表。他在著作《至大论》中全面阐述了“地心说”的理论模型，该书成为主导西方1000余年的天文学标准教材。但是随着人类天文观测手段的不断进展，有越来越多的证据表明地心说并不成立。直到1543年，波兰伟大的天文学家哥白尼（Nikolaj Kopernik，1473—1543年）发表了名著《天体运行论》，提出了“日心说”的观点，掀起了西方科学史上著名的“哥白尼革命”。随后，丹麦诞生了另一位伟大的天文学家第谷（Tycho Brahe，1546—1601），他以当时人们科学技术难以企及的精度，取得了大量的天体运行观测资料，而他的学生开普勒（Johannes Kepler，1571—1630），则利用老师留下了这笔宝贵的资料，加上自身的勤奋与天赋，取得了惊人的成就。

开普勒一开始和前人一样，认为宇宙天体绕中心天体运行的轨道是完美的圆形。但是他按照不管是托勒密还是哥白尼，乃至自己老师第谷给出的计算方法，得到的数据与老师资料中的观测数据均不相符。于是一个大胆的想法在他心中逐渐形成，他放弃了行星轨道是圆形这一固有观念，认为实际应该是一个椭圆。此为基础经过大量的计算，开普勒在1609年和1619年相继发表了《新天文学》和《宇宙谐和论》，提出了著名的关于行星运动的“开普勒三定律”，并因此赢得了“天空立法者”的美名。开普勒三定律的完整叙述如下：

1.所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。

2.行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。

3.所有行星绕太阳一周的周期的平方与它们轨道半长轴的立方成比。即

其中，T表示行星运行的周期，a表示半长轴，C是某个常数。

开普勒虽然提出了三定律，但由于当时数学工具有限，他并没有给出严格的证明。而直到牛顿提出了万有引力定律，并发明了微积分之后，才利用这种新兴的数学工具，给出了开普勒三定律的证明。下面就来介绍一下是怎样证明的。

首先需要一些预备知识。

1.离心率与圆锥曲线的极坐标形式

设F是平面上一个固定的点，l是平面上一条固定的直线。我们再选定一个固定的常数e，那么到点F的距离和到直线l的距离的比值恒等于e的点就形成一条轨迹。根据e取值的不同，轨迹呈现不同的形状。结论就是：

当e=1时，曲线是抛物线。

当e<1时，曲线是椭圆。

当e>1时，曲线是双曲线。

我们称F为焦点(focus)，l为准线(diretrix line)，e为曲线的离心率。同时我们也知道e=c/a

证明：当e=1时，曲线很明显就是抛物线，因为这就是抛物线的定义。

当e≠1时。我们以F为原点，以与准线垂直的方向为x轴，建立直角坐标系，同时也把它看成是原点为极点，x轴为极轴的极坐标系，并用字母d表示原点与准线的距离。在曲线上任选一点P，如上图，P到F的距离就是r，P到准线的距离就是d减掉P的横坐标，而P的横坐标就是r·cosθ，再根据两个距离比值等于e就可以列出式子:把式子两边平方一下
我们知道，在极坐标系中：r²=x²+y²，并且rcosθ=x，因此式子就变成当e>1时，把式子拆开，再对x和y进行配方我们把上面这个复杂的公式里边某些量设成简单的字母：于是整个式子就变成了

而这很明显就是一个椭圆了

同样对于e<1的时候也是如此，可以证明它是双曲线。

在上面的证明过程中，我们得到了圆锥曲线的极坐标形式如下，其具体形状由e来决定

2.向量代数

为了阅读的方便，先在此声明：下文中所有的斜体小写字母表示的都是数量，正体加粗的字母表示向量。

我们在高中时学过向量的点乘运算，到了大学高等数学中的解析几何部分会学向量的叉乘运算与混合积运算。

对两个向量

我们规定它们的叉乘结果是

我们可以利用右手定则来判断叉乘向量的方向，如图所示：

关于向量的叉乘运算，它满足如下的运算性质，这几条性质在我们后面的证明中非常有用

以及若两个向量平行，那么它们叉乘为零向量，这也是一个非常常用的结论。有了叉乘运算，我们可以定义混合积运算，即三个向量先让后两个做叉乘，再跟前一个做点乘：

混合积运算满足的运算性质如下：

3.向量函数与向量函数的微积分

我们通常接触的函数都是给定一个x得到一个y，即给定一个数得到另一个数。而向量函数则是给定一个数得到一个向量，我们这里需要研究的是三维向量，因此一个向量函数表示为如下的形式：

其中t是自变量，x(t)，y(t)，z(t)都是关于t的一元函数，那么上面的式子就相当于给我一个t，我就得到了一个三维向量，用r(t)来表示。

当t变化起来的时候，得到的向量也在随着变化，当t取很多值的时候，就可以得到无数多个向量，将这无数多个向量的终点连成一条线，就得到了一条空间曲线，这也是我们表示空间曲线的非常常见的一种方式。

各式各样的空间曲线

向量函数作为以t为自变量的函数，也是可以关于t求导的，它的求导方法就是对每个分量分别关于t求导：

同样对于向量函数也是可以做积分的，方法就是对每个分量进行积分：

同样为了以下证明的需要，我们还要了解向量微分的一些计算性质

，下图中u(t)和v(t)都是向量函数，f(t)是普通的一元函数:

在研究运动学问题中，t通常表示的就是时间

，而r(t)是一个向量，它的终点及物体所处的位置，因此我们就利用向量函数来描述空间中一个物体的运动轨迹。而我们在中学学习微积分的时候就知道，对位移求导得到的就是速度v，对速度求导得到的就是加速度a，并且速度与加速度都是向量。在三维空间中运动也是如此，对表示位置的向量函数求导得到的就是速度，对速度求导得到的就是加速度，即

而空间中运动的速度方向就是其运动轨迹的切线方向：

4.向心力场

物体在任何一点的受力方向都指向空间中一个固定的点，这种力场成为向心力场。

为了研究向心场，我们把固定点作为坐标原点，建立三维直角坐标系。于是物体无论位于哪个位置，它受到的力都是指向原点的，我们用F(t)来表示。同时物体本身所在的位置是r(t)，所以很明显，F(t)和r(t)是反方向的，而力的方向和加速度a(t)的方向是一样的反方向也是一种共线，根据我们前面提到的过向量叉乘的性质，两向量共线则叉乘为0，于是：

我们来研究 r×v，对该式子关于t求导，需要使用叉乘的求导法则，得到：

因此 r×v 是一个常向量，我们记为b，即

4.万有引力定律与加速度向量

中学物理课我们都学过，两个质量分别为M和m，间距为r的物体，之间的引力大小是GMm/r²，用F表示M对m的引力，于是就有

任何一个向量等于自身的长度乘以该方向上的单位向量，我们把M放在坐标原点，于是引力的方向正好是由物体的位置r指向原点，因此F和r反向，而r则表示了r的长度（注意！这里面的r一个加粗了一个没加粗，前面已经说过，加粗表示向量，没加粗表示数量），于是我们可以得到：

带入到万有引力表达式中有：

再根据加速度计算公式：F=ma，就有

两边消去m就得到：

这就是绕质量为M的中心天体运动的加速度公式。

有了上述的准备知识，我们就可以来证明开普勒三定律了。

开普勒第一定律的证明

首先以太阳为原点建立直角坐标系和极坐标系，并假定t=0时，行星位于近日点，运动方向垂直于x轴，初始位置用r0表示，初始速度用v0表示，如下图所示：我们上文已经证明了r×v是个常向量，用b表示，因此r0×v0也等于这个b，我们用r0表示r0的长度，用v0表示v0的长度，于是就有：并且为了表示的方便，我们再引入单位向量u：

其中θ就是极坐标系中的θ.

于是表示行星位置的向量函数r就可以写成将这个r带入到前面加速度计算公式中可以得到再代入到速度的计算公式中，就有因此

再利用向量函数求导的链式法则对u进行求导

因此带入到b的表达式中就得到我们再让加速度a和b做叉乘再利用b是常向量，因此关于t的导数为0，就有对这个式子两边做不定积分，可以得到其中，C是某个常向量。为了求出具体的C，将t=0时的r0，v0和b代入，可以得到再代回不定积分式子中再在式子左端用r做点乘，利用混合积的运算性质有

同样的比较上面两个式子就有于是就可以反解出r我们简记于是关于r的式子就可以写成

根据我们前面讲过的圆锥曲线的极坐标形式，它就是一条圆锥曲线，而具体的取值要有e来决定。可以把万有引力常数、太阳质量、行星运行的参数代入，就可以得到，太阳系的九大行星绕太阳旋转，轨道都是椭圆形。

开普勒第二定律的证明

我们知道，在坐标系下计算曲线r=f(θ)围成的面积，公式为

它的推导同样是利用微元法

我们计算一下行星从θ0运动到θ时扫过的面积，这是一个以θ为积分上限的变上限积分：

利用变上限积分的求导公式对t进行求导可得根据前面的两个式子和可得而r0v0是常数，因此dA/dt也是常数，这就是说明面积随时间的变化率是固定的，即相同时间内扫过相同的面积。

开普勒第三定律的证明

椭圆的半长轴和半短轴分别用a和b来表示，于是整个椭圆的面积就是A=πab。另一方面，前文又得到面积随时间的变化率，因此整个面积就相当于一个周期之内对变化率的积分，即两边平方并移项：

再利用离心率的公式代入就有和椭圆的极坐标方程相对比可以得到于是

而4π²/GM是常数，这就说明了T²和a³成正比。至此开普勒三定律全部证明完毕。

可以看出，开普勒定律从最初提出到最终证明，凝结了无数人的汗水与智慧。第谷留下的宝贵的观测资料，开普勒灵光乍现的灵感，以及牛顿天才般地创立了微积分，是人类思想史与科学史上浓墨重彩的一笔。整个过程是人类理性对宇宙自然不断发掘的过程，处处闪耀着人类理性之光！无怪乎微积分被恩格斯称为人类精神的最高胜利。

参考资料：

[1] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC

[2] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE

[3] Precalculus, 7ed, James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, CENGAGE

[4] Precalculus, 9ed, Michael Sullivan, PEARSON