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我们已经知道，根据旋转轴分类法，理论上看，乒乓球旋转一共有26种（类）。分别和13根旋转轴相对应。其中一维、二维、三维旋转球的种类数分别是 6、12、8。 这 26 种（类）旋转球的出现概率是一样多的吗？各占二十六分之一？当然不是。 从理论上说，一维旋转球极少出现、二维旋转球很少出现、三维旋转球大量出现。大家都这么说，书上也都这么写。可是它们少到什么程度，或者多到什么程度呢？有个具体的数量关系吗？换言之，它们出现的理论概率能计算出来吗？ 下面请跟着笔者的思路粗略估算一下（参见图1）。 图1 3轴 3平面 1立方体 8 象限示意图 先从简单的平面算起。xy蓝色平面是一个水平面，旋转轴在xy平面内的旋转有上下顺逆4种一维旋转和 4 大类无数种顺上、顺下、逆上、逆下旋转。假设旋转轴每相差1度就是一种新的旋转。那么，整个平面有180根旋转轴，其中 89*2 = 178根是二维旋转轴，关联着顺上、顺下、逆上、逆下这4大类旋转。一维旋转轴2根，但这2根分别在另外两个坐标平面里复用一次，在这里只能算半根。所以，二维旋转轴与一维旋轴转数量之比为178：1。这个比例到后面整体推算时更容易证实。1/178 = 0.56 %。 再推广到xz平面和yz平面，情况完全类似，这样我们就可以得出初步结论：假设旋转轴每相差1度就是一种新的旋转。那么，二维旋转数目是一维旋转数目的178倍，一维旋转数目是二维旋转数目的0.56%。 再精确一点，假设旋转轴每相差0.1度就是一种新的旋转。那么，二维旋转数目是一维旋转数目的1798倍，一维旋转数目是二维旋转数目的1/1798 = 0.056%。 再精确一点……，就不必算了吧。总之，二维旋转种数比一维旋转多很多，这是毫无疑问的。 推广到三维空间，还是假设旋转轴在两个互相垂直的方向都相差 1 度为不同的旋转。笔者试着采用最简单的球面方格微面积法估算一下，所得数据粗略接近正确数值，有一个数值总比没有好，聊胜于无吧。精密方法恐怕还得请热爱乒乓球运动的数学专家出马，给出准确答案。翘首以盼。 假设旋转轴在两个互相垂直的方向都相差1度为不同的旋转，则以每根旋转轴与乒乓球壳表面的交点为中心都可以划分出两个独占的位置相对的球面小方格（参见图2）。这两个球面小方格的面积之和被乒乓球壳表面积除一下，就得到旋转轴总数。从总数中减去3和89×2×3，就得到三维旋转轴数量了。 图2 旋转轴交球面处的红色小方格 如果每根旋转轴与球壳交界处画一个小方格，横平竖直地排列布满球壳，就成为图3的模样。 图3 球面小方格排布于球壳表面示意图 当然这只是一个近似值，首先因为用平面正方形面积代替球面小方格面积存在误差，用弧长代替弦长也存在误差，其次因为球面小方格在球壳表面分布不一定能达到无间隙最紧密排列，毫无冗余。好在这三个误差对结果的影响部分可以正负抵消，总的影响不是太大，可以忽略。 虽然见过球面三角形和球面六边形能完全密置覆盖整个球面，但两者似乎都并不符合前面的旋转轴方向间隔假设，应用困难。 本帖具体计算思路及过程如下： 乒乓球表面积 = 4pir^2 = 4*3.1416*20*20 = 5026.56mm^2 乒乓球赤道大圆的周长 = 2pir = 2*3.1416*20 = 125.664mm 每根轴独占球面小方格的边长 =周长/360 = 125.664/360 = 0.349mm 每根旋转轴独占的两个球面小方格的面积 = 2*0.349*0.349 =0.2436mm^2 三大类旋转轴总数 = 5026.56/0.2436 = 20634 根 一维旋转轴数目 = 3 根 二维旋转轴数目 = 89*2*3 = 534 根 三维旋转轴数目 = 20634-3-534 = 20097根 一维旋转轴数目占比 = 3/20634 = 0.0145 % 二维旋转轴数目占比 = 534/20634 = 2.59 % 三维旋转轴数目占比 = 20097/20634 = 97.4 % 图4 三大类旋转轴数对旋转轴总数所占比例的柱方图 上述计算的结果是：在假设旋转轴每相差一度为一种新的旋转之前提下，一维旋转轴数目3根，二维旋转轴为534根，三维旋转轴为20097根，旋转轴总数为20634根。三大类旋转轴占旋转轴总数比分别为0.0145 %，2.59%，和 97.4 %。 当然，三大类旋转种数之比不是一个定数，除了一维旋转6种固定不变以外，其它复合旋转种数都与假设条件有关。假设条件越精细，复合旋转种数越多。 图5 三类旋转轴的数量之比示意图 前面从数量上估算了三大类旋转轴的数量、比例关系。现在从图形上观察、比较一下。图5白色部分显示是八分之一乒乓球壳，其中三个红色小圆点代表一维旋转轴端点的位置，绿色小圆点代表二维旋转轴端点的位置，其余整个灰白色区域都是布满了密密麻麻的三维旋转轴的端点，显然要多得多。这三大类旋转轴数量的比例关系，谁多谁少一目了然。而且小圆点分布越紧密则三维旋转轴所占比例越大。 可见，无论是从计算数据大小来看，从几何图形的空间方位多少来看，还是从球友打球的日常经验体验来看，都可以从不同角度证明，前述结论是合情合理，站得住脚的。即“严格从理论上说，一维旋转球极少出现、二维转球很少出现、三维旋转球大量出现。” 以上是理论估算平均结果。实际上呢？ 我们平时打乒乓球健身、娱乐、竞赛，实际打出哪一种旋转球最多呢？实践中，最多的当然还是 8 类三维复合旋转球。 这和我们平常各种击球技术动作的使用频率密切相关。以右手握拍为例，使用频率最多的击球技术动作一般是是正手拉球、反手拨（推挡球）、反手搓球、正手削球、正手攻球。它们打出的旋转球一般分属左逆上旋（旋转更强）、右顺上旋、右逆下旋、左顺下旋、左逆上旋（撞击更强）。至于各占百分之几？要看实战统计数据。 |
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