【原】滑模变结构技术

摘  要：借助分数滑模变结构技术，针对PMSM驱动系统的优化方案，提出了一种转矩控制模型预测策略（MPTC）。具有双曲正弦波的自动干涉速度控制器。通过采用分数滑模变结构方法，观察速度、磁通和转矩并构造新的观测器以增加系统的速度、磁通和转矩来构造新的PMSM系统。此外，还可以准确、及时地估算所需时间。使用新驱动系统中设置的操作模型，建立与永磁技术同时工作的先进机电机械（PMSM）的数学模型； 借优化过的MPTC方案，实现转矩的脉动与磁性链条的节省。通过实验结果， 我们发现这个方法不但能够让驱动系统稳定可靠的运行。还实现了系统在转速、 磁条以及转矩方面快速准确地记录数据，而且是同步的。也实现了， 当初我们想减 少磁条降低转矩脉动的目的。让我们很意外的是，令人惊讶的是，动态性能和抗干扰性非常好。

0 引  言

在过去，普遍采用的滑模变结构控制，由于从滑动模态设计一开始就没有考虑到与系统的参数和干扰相关联，这就让变结构控制算法变得简单、反应非常快速、结构比较简明，同时还具备了鲁棒性强的特征，在使用的过程中，能够简单快速的达到物理实现的目标。因此适用这种结构辨认识别机电转速的方法，一直受到行业内的广泛的关注[1]。但这这个方法有一个明显的缺点。在工作的过程中，抖振现象不消消除，只能抑制振幅值[2]。在过去的一段时间里，专家们一直在延续研究分数阶滑模控制系统，并发现了这个研究可以削弱抖振的现象，并制定了相应的方案和措施。当我们把分数阶微分和积分与滑模变结构结合之后，会发现微分和积分的运算上的自由度空间变大了。这对于系统模型本身具有的不确定项目和干扰产生了较强的鲁棒性[3-6]。在文献[7]中提出的采用饱和函数工作的感应电机，也就是我们前面提到的分数阶滑模观测器，当这种观测器用饱和函数作为控制函数的时候，能够削弱系统的抖振现象。不过在系统进入稳定的工作状态之后，我们依然能够见到高频率的抖振现象一直存在[8]。针对这种问题，采用一种新的办法。就是下面文中所要用到的自抗扰中幂次函数fal(s,α,δ)。采用这种函数能够使系统的抖振现象不再出现，并实现单调收收敛[9]。

当前的PMSM系统通常是使用PI算法的系统中的速度调节器。对于其他速度和不确定的外部干扰，可以在PI中调整参数值以获得满意的控制结果。为了有效地提高系统速度调节器的鲁棒性，学者们提出了几种先进的控制策略。 [11-13]，这些策略被多数研究者关注。在文献[10]中提出的的转速调节器，是基于自抗扰技术(ADRC)应用的。的有点就是不需要精确的数学模型，并具有强大的鲁棒性、抗扰性。在文献[14]中，研究了跟踪微分器，发现采用反双曲正弦函数，能够获得理想的微分信号。这种办法追踪精度高，反应速度超快，几乎是同步的。在文献[15]中，用到的扩张状态观测器，是基于反双曲正弦函数老工作的，这种观测器能满足精确观测抖动变量需求，系统工作时，接收速度与响应速度很快，也不会出现明显的抖振；在这篇分析文章中，是把ADRC用来作为转速调节器的，依据的工作函数是反双曲正弦函数。

MPTC系统的实际作用就是帮助PMSM获取定子的磁链和电磁的转矩，但是需要借助特定电压矢量环境才能实现。

之后，评估预测误差的结果，选择具有最小指数函数的电压矢量以作用于电动机，并且通常使用PI算法研究用于MPTC系统的速度调节器。分数滑模可变结构方法使我们可以为PMSM系统的速度，通量和扭矩配置观察器，以快速，准确地实时估计系统的速度和扭矩。

实现提高系统的精度控制性能，并增强抗干扰能力。通过仿真实验的结果，我们发现了这种控制方法有两个好处，①能够实现PMSM系统的可靠稳定运行，②通过这样的控制，PMSM系统的动态性能、鲁棒性和它的抗干扰性都大为改观。

1 三相永磁同步电机的电压矢量

在这篇文章中，我们把三相的永磁同步电机用作系统中的控制对象，它的电压矢量图在图1中表示清楚了,在本文中，基本电压矢量由六个小矢量和零个矢量组成。

图1 基本电压矢量分布图

Fig. 1Voltage vector distribution

三相定子电压方程表示为：

  (1)

将上式(1)进一步化简可得：

(2)

通过将式(1)进行磁场定向的变换可得到电压不平衡补偿的静止参考坐标定子电压，所以在αβ坐标下的三相PMSM系统的电流，如果用动态方程于定子的磁链方程[4]表示，就是：

(3)

          (4)     

公式：k1=Rs/Ls； k2=1/Ls; iα，iβ，uα，uβ，ψα，ψβ分别是定子电流，定子电压和定子磁通α和β轴分量。有效磁通量是由[4]给出的定子有效磁通量α和β轴分量的微分方程：

               (5)

其中，

                      (6)

定子磁链的幅值表达式为：

                         (7)

PMSM的电磁转矩和机械方程为：

                 (8)

                  (9)

公式：P是极对数； Te是电磁转矩； ωr是机器角速度；B是阻尼系数； TL是负载转矩； J是惯性矩。

 

2 基于分数阶滑模观测器驱动PMSM系统MPTC

图 2 用分数阶的滑模观测器来驱动PMSM系统得到的自抗扰MPTC的结构框图

Fig. 2 Structure block diagram of active disturbance rejection  MPTC using Fractional-Order Sliding-Mode Observer for PMSM fed

2.1 分数阶滑模观测器的设计

从观察永磁同步的电机数学模型，就可以对定子电流的方程式(3)与定子有效磁链的方程式(5)罗列出来，而且可以发现，在定子电流方程的第一项与定子的有效磁链中间存在着奇妙的耦合项。把这些耦合项指定用函数h_α，h_β代替，就可以得到定子电流的方程，以及定子的有效磁链观测器的方程式，表达如下：

      (10)

              (11)

式中：          （12）

将公式(10)、公式(11)同时代入到公式(4)中之后，就能够可得到定子磁链的观测结果数值：

   (13)

定子的电流误差用e(t)表示，依据前面的计算，就可以设计出整数阶的积分型滑模面[16]，公式如下 ：

                (14)

式中：λ₁∈R⁺；λ₂∈R⁺。

再根据整数阶的滑模观测器的方程式(10)和(13)，我们就可以设计出一种分数阶的滑模观测器。

2.2 转速估计的设计

假设PMSM系统的电压的角速度、电压角度分别都是随时间变化的参数，(9(12)就地这样表示的：

               (15)

              (16)

根据前面的式(15)和公式(16)，可得出PMSM系统的转速观测表达式：

                    （17）

式中：为PMSM的电角速度观测值；为PMSM的转速观测值。

2.3 基于反双曲正弦函数的ADRC转速调节器设计

根据ADRC的分离工作机制，一阶的跟踪微分器(TD)、扩张状态下的观测(ESO)以及状态误差反馈制律的组合构成，要通过一阶的跟踪微分器来降低转速跟踪的误差，并采用ESO方法对系统的运用状态和抗干扰性运用进行实时追踪估算, 用运动状态误差反馈的控制律对扰动实行前馈补偿的方式。结构如图3所示。

图3 基于ADRC的PMSM系统转速调节器

Fig. 3 Speed regulator of based on ADRC PMSM system

2.3.1一阶跟踪微分器(TD)设计

根据反双曲的正弦函数arsh(·)，可以构造出一阶的转速跟踪 微分方程[14]：

               (18)

式中：ω_r为转速给定值，w为系统的过度变量，参数b₁>0,a₁>0。通常选取a接近于１。当我们适当的增加b的时候，响应速度会发生增强，但是跟踪误差却减小了。利用式(18)可得到ωr的理想响应输出w。

2.3.2二阶ESO设计

设置为状态变量，即：

                  (19)

再根据系统(9)中的转速微积分的方程，构造出一阶的状态空间方程如下：

            (20)

在公式中：Te和y1分别是速度控制器的输入和输出。从等式（20）的计算结果可以看出，扭矩扰动信号和粘滞摩擦系数在负载条件下发生变化。各种未知干扰用f（t）表示。                    (21)

令x₂(t)=f(x₁)；x₂(t)为扩张变量,即；一阶系统(20)扩张^[15]为：

                   (22)

构造系统(22)的二阶扩张状态观测器为：

               (23)

公式：b20，b30，a20通常使参数a2接近1。参数b2影响ESO的收敛，并且通常，如果条件满足b2-b3a20，则扩展状态观察器23可以实现扩展系统22。准确估算状态变量z1（t）→x1（t）和z2（t）→x2（t）。

2.3.3一阶自抗扰控制器(ADRC)

采用图(3)所示的状态误差反馈控制率u0(t)对干扰信号进行前馈补偿。状态误差反馈控制律为：

                     (24)

式中：参数b4>0, a3>0. 通常使参数a3接近于1.适当选取b4的值，可得到较小脉动的控制量u。

2.4 基于分数阶滑模观测器的MPTC策略

通过模型预测转矩控制（MPTC）的目标函数选择最佳基本矢量电压，这可以有效降低开关频率，转矩和磁通量波动。在图1中，六个小向量和一个零向量被用作ESFTI策略基本电压的向量，可以通过将每个扇区中的两个相邻向量组合成等幅向量来获得。有效降低功率管的开关能耗[16]。

在每个采集时间，目标函数用于通过评估七个基本矢量电压Vi（i=1,2 .7）的影响来选择最佳基本电压矢量。为了快速跟踪给定值的定子磁通和电磁转矩，MPTC策略的性能目标函数定义为：

(25)式中：就是电磁的转矩的给定值、为定子的磁链的给定值； 是k+1时刻电磁转矩预测值；是k+1时刻定子磁链预测值；是k+1时刻不平衡电压值； k1和k2为权值系数。

2.5 控制系统的延迟补偿

在实际的数字化系统控制中，由于采用控制策略在执行过程中，实际的输出电压的矢量与参考电压的矢量之间存着在一个节拍的延迟[10]。为了改善延迟对MPTC性能的不利影响，然后构造了新的目标函数式(26)，从而可以相应的补偿系统延迟。考虑一个节拍延迟补偿后的目标函数为：

(26)

3 仿真研究分析

图2中的仿真模型是专门在Matlab/Simulink环境中建立的，用于研究仿真环境，以验证所设计方法的有效性和准确性。永磁同步电动机的参数如表1所示。表1永磁同步电动机的参数

表1 永磁同步电机参数

Tab.1 Parameters of PMSM

参数	数值
定子电阻Rs / Ω	2.875
绕组电感Ls / H	0.0085
极对数P	4
额定转矩TN / (N·m)	3
直流电源udc / V	410
额定转速ωr / (r/min)	1500
母线直线电容C/μF	2040

本文给出了2种研究方案。

方案1:专门针对PMSM驱动系统的MPTC策略，构建分数滑模（包括整数滑模）观察器模型，并分析和比较系统的仿真数据。

方案2：研究目标是PMSM驱动系统的MPTC策略，也是采用了同样的ADRC转速调节器、分数阶的滑模观测器惯用参数，分别构建了依据模型预测的DTC和MPTC控制系统，并对他们的对抗参数变化的效果做了比较分析。

系统采样周期为10 µs，图1中ADRC的参数为：系统(18)、(23)和(24)中的参数为：a₁=a₂=a₃=0.5，b₁=2200，b₂=3500，b₃=450000，b₄=33；系统(26)中权值系数k₁=55，k₂=0.001。

3.1 分数阶滑模观测器的分析比较

把定转速参数ω*设置为1000 r/min，让PMSM系统带载(1N·m)启动，在0.2s时要加至到额定负载的3 N·m。图4是对不同阶次的分数阶滑模观测器的转速和转速观测候绘制的误差响应得曲线；图5为分数阶阶次u=0.1时的α轴定子电流观测和误差响应曲线；图6的分数阶阶次设置为当u=0.1时，得到的β轴定子得电流观测数值和误差响应的曲线。

(a)转速观测曲线

 

(b)转速观测误差曲线

图4依据分数阶滑模观测器工作时的转速和转速误差响应绘制的曲线

Fig. 4  Error response curve of rotational speed and rotational speed based on fractional sliding mode observer

(a) α轴定子电流观测曲线

(b) α轴定子电流观测误差曲线

图 5  α轴定子电流观测和误差响应曲线

Fig. 5 Measurement of stator current and error response curve of α-axis stator

(a) β轴定子电流观测曲线

(b) β轴定子电流观测误差曲线

图6  β轴定子电流观测和误差响应曲线

Fig.6 Measurement of stator current and error response curve of β-axis stator

从图4（a）的实验结果中，我们可以看到，分数滑动模式如果观察者的序列少，则观察到的转速值更接近实际功的值，并采用整数序列。当（u=1）阶u=0.1时，与滑模观察器的阶u=0.5相比，分数滑模观察器可以准确、快速地跟踪实际速度。 （b）中的结果表明，当系统启动并加载时，当分数滑模观测器的序列为u=0.1时，转速幅度较小，并且在整个操作过程中转速很少会发生错误。从图5和图6（a）的比较可以看出，当阶u=0.1时，分数滑模观测器实际上可以实现对定子电流的快速、准确的实时观测；图5和图6（b）表明当阶数u=0.1时，分数滑模观测器可以有效地减小震颤的幅度，同时定子电流估计误差小。因此，分数滑模观测器可以有效地减少颤动，在动态操作期间稳定系统性能，并获得良好的识别精度。

3.2 基于模型预测控制的DTC和MPTC系统的抗参数变化能力分析比较

给定转速ω*设置为1000 r/min，PMSM额定载(３N·m)启动，假设0.2s时，定子电感由Ls= 0.0085H突变为Ls= 0.01H；在0.3s时，定子电阻从Rs=2.875Ω变为Rs=2.9Ω。 图7与图8都是分别以分数阶滑模观测器的未优化DTC策略系统(系统I)和采用该观测器已经优化的MPTC策略系统(系统II)的运动状态下出现的响应数据做出的曲线。 

(a)转速响应

(b)电磁转矩

(c)定子磁链响应

图7 系统I的动态响应曲线

Fig. 7 Dynamic response curve of system I

(a)转速响应

(b) 电磁转矩

(c)定子磁链响应

图8系统II的动态响应曲线

Fig. 8 Dynamic response curve of system II

图7表明，当定子电感变化时，系统I的定子磁链产生畸变，并且具有较大的转速和电磁转矩脉动；定子电阻发生变化时系统并未产生较大的影响(原因是转速、电磁转矩和磁链的计算主要包含了定子电感)。如图7和8所示，与系统I相比，基于分数滑模观察器的MPTC优化策略具有强大的功能，可防止参数发生较大变化（即较小的电磁转矩波动产生强鲁棒）。

4 结论

通过对PMSM以数学建模的方式进行分析，在分析的过程中，我们要借助已经设计好的分数阶滑模观测器对PMSM系统的转速、电磁转矩情况和定子的磁链工作状况进行同步的跟踪估计。通过这个仿真实验，结果表明，用这样的控制办法确实能够确保PMSM系统实现稳定可靠的工作和运行，采用经过优化的MPTC策略，能有效的减少永磁链条与定子转矩的脉动，显著增强了系统的鲁棒性，开关的能耗损失也大为改观。