2020高考100问之030 ：怎么快速求函数f(x)=|ax b| |cx d|的最小值?

比如18年全国二卷的不等式的第二问：

答案是这么给的：

2.当|a|≠|c|时，不可以直接利用绝对值的三角不等式，比如将上面的题改成：

|x+a|+|2x-2|≥4恒成立，求实数a的取值范围.

绝对值里面的x没法直接作差削去，那么很多同学是讨论-a和1的大小，然后x分三段去掉绝对值，利用函数的单调性来求最小值，这样讨论起来比较繁琐.

还有的同学会根据已有的经验判断函数f(x)=|x+a|+|2x-2|的特征，然后把x=-a和x=1代入，取较小者|a+1|，然后下结论|a+1|为最小值，这个结论没毛病，但是大题不可以这么直接说答案，否则会扣很多分.

那么有没有好点的想法呢，其实我们可以将原式变形：

|x+a|+|2x-2|=|x+a|+|x-1|+|x-1|，而|x+a|+|x-1|≥|a+1|，在x=1时取到等号，这时|x-1|恰好取到最小值0，所以|x+a|+|2x-2|≥|a+1|，当x=1时取到等号.

一般地，对于f(x)=|ax+b|+|cx+d|（ac≠0），当|a|>|c|时，其在x=-b/a取得最小值，注意这个结论不可以直接使用，只需要将|ax+b|拆成两部分，即可用绝对值三角不等式说明，过程如下：