2020高考100问之003：函数上某点处的切线与该函数的公共点只有一个吗？

昨天有同学问到“有可能一个函数的切线不存在斜率吗？”是有可能的，比如幂函数y=x^(1/3)，它是y=x^3的反函数，它们俩的图象如下：

y=x^(1/3)的导函数为y'=(1/3)x^(-2/3)，当x趋向于零时，y'趋向于正无穷大，其在x=0时导数不存在，但是切线是y轴，其实由y=x^3在原点处的切线为x轴也可以知道这个结论。

我们直观感知是，函数如果在某点存在切线，那么它在该点应该是光滑的，但是也有例外，比如幂函数y=x^(2/3)，其在原点处的切线也是y轴，但是其在原点处摸起来挺扎的慌。

回到正题，函数上某点处的切线与该函数是只有切点这一个公共点吗？

从我们初中最开始接触到切线，都是这个感觉，比如圆的的切线，一直到后面的二次函数(抛物线)，反比例函数(双曲线)，以及椭圆，指数函数，对数函数，都给了我们这个错觉。

到了三角函数以及三次函数，我们发现不是那么回事了，如下图，函数f(x)= x³-3x在(2,2)处的切线与f(x)是有两个公共点的，另一个公共点从下图局部来看不够明显，但从函数的走势可以猜出来会有，我们可以通过解三次方程去求出另一个交点横坐标，也可以联立方程后构造新的三次函数，研究其零点个数。

一般结论是：三次函数在其拐点外的任何一点处的切线与原函数都有两个公共点。证明如下：

大家一定要注意，在很早的高考题中，是默认定义在R上的三次函数的值域为R的，但是最近的高考题风向变了，不再默认了，对于三次函数y=ax³+bx²+cx+d，大家一定要将其化成y=x(ax²+bx+c)+d，然后由二次函数值域来说明一下三次函数的值域。也就是在大题中，如果你只由三次函数的极大值和极小值的符号，判断其有几个零点，是可能会扣分的。

可能你没听懂我说的什么意思，简单说也就是为啥上面的三次函数不会像下面这样呢？

你是不是笑的满地找牙，哪有这样的三次函数呀？的确是，上面我说到了，之前的高考题对三次函数基本上没在这方面纠缠，但是最近的高考题中，已经对这个有要求了，而且高考题中是代数来说明正负的，我觉得没必要，就像我上面那样解释即可。

如果是三角函数，它在某点处的切线与其公共点可能就会有更多了，甚至无数个，大家可以自己画图体会。

那么基本初等函数进行四则运算得到更丰富的函数，也会有类似的一些情况，比如下面这两道题：