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第十三课 碧波堆里排银浪——振动与波 主讲人 《云里 · 物理》系列微课简介  同学们好，欢迎来到悟理学院，今天很高兴向大家介绍一下“振动与波”。 “波”听起来非常寻常，没有什么特别的，但实际上波和我们的生活息息相关。想象一下，我们在三亚度假，沐浴在温暖的阳光下，晒在我们身上的是光波；我们看着海浪涌上来、退下去，这是水波；我们听着优美的音乐，这是声波；有时候还要刷着手机，发个朋友圈，联络靠的是微波，由此可见波和我们的生活息息相关，没有了波，我们的生活将失去99.9%的色彩。  在物理学里波也是一个非常特别的存在，不管是热、力、光、电，从原子到分子再到宇宙学，波无处不在。虽然没有做过统计，但是我相信如果大家看完悟理学院整个节目的话，保守地说有80%的内容都会涉及到波。 振动 01 让我们从振动讲起。为什么从振动开始呢？因为振动实际上是波的起源。最简单的振动是简谐振动，而第一个记载简谐振动实验的人是伽利略。有这么一个关于伽利略的传说，他从意大利的比萨斜塔上面扔下两个质量不同的球，证明了这两个物体的下落速度是一样的。但实际上这是无法在比萨斜塔上实现的，因为要考虑空气阻力的影响，我自己也做过这个实验，但是失败了，所以我相信这个传说是不存在的。但是在比萨斜塔旁边，同样著名的建筑是比萨大教堂，教堂里面有一个非常长的吊灯，它的摆动周期非常长。据说伽利略用自己的脉搏当做参照时钟，观察到这个吊灯随风摆动每个周期所需的时间总是一样的。根据这个现象，伽利略在后面做了大量的实验，并在他的两本对话书里做了记载，非常推荐大家去看这两本对话书——《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》和《关于两门新科学的对话》。  比萨大教堂 伽利略在这两本对话书里阐述了观察实验与数学原理相结合的科学方法，这就是他被称为现代科学之父的原因。他观察到的现象，总结下来有这么几点：第一，单摆总是回到一个稍低的位置，这实际上对应的是能量守恒原理；第二，它总是倾向于回到与原来一样的高度，但是由于能量损失，最高点总会比原来稍微低一点；第三，摆动的状态与单摆球的种类、质量无关，这个球不管是铅球、木球还是铁球，摆动周期不变；第四，摆动的状态和振幅也无关，不管是起摆角度是1°、2°还是5°，摆动周期不变；第五，唯一和周期有关的就是摆绳的长度，摆动周期的平方和摆绳长度是成正比的。结合这些观察结果，伽利略和他的孩子根据单摆原理设计出了吊钟。这个吊钟利用单摆周期非常稳定的原理，可以快速修正摆钟的周期，如果摆钟摆得快了一点，可以调整它的重心稍微往下一点；如果周期变长，时间走得慢一点，可以稍微提高一点它的重心，非常便于操作。这种摆钟现在可能在博物馆才能看得到，但是在几十年前比较常见，我的外婆家就有这么一个摆钟。  摆钟摆动角度-时间图像 如果把摆钟摆动的角度和时间做成二维图，可以看到它的角度和时间成一个正弦函数的关系，做完一个完整的摆动回到原位，所用的时间就是它的周期，而它一秒钟摆动的次数就是频率，频率的单位是赫兹。后来发现简谐振动其实是一个非常普遍的现象，比如一个弹簧振子，看到的很多乐器像吉他、钢琴发声，小到分子之间的振动都是简谐振动。这些现象都是简谐振动的原因，就是因为当一个物体处于平衡态时，稍微偏离一点，它所受到的回复力总是和它的偏离距离成正比的，是一个线性关系。简谐振动是一个非常简单的模型，在这一课里主要针对非常简单的线性模型来进行讨论。提到振动，当然要提到共振。不少小孩子都非常喜欢坐秋千，在推秋千的时候，要把秋千推得越来越高，利用的就是共振原理。共振最关键的地方在于，外力的共振频率要和秋千本身摆动的振动频率一样。这个原理非常容易理解，秋千往这边摆的时候，用力的方向与之一致，它就会越推越高；而当它往这边摆的时候，你反方向用力就会使之降低高度或者停止。因为秋千的频率总是一样的，所以当力的频率与它完全吻合，秋千就会越来越高，把所有的能量都集中到秋千上，这就是共振的基本原理。当力的频率和它本身的振动频率不一样时，虽然秋千也会跟着力走，但实际上你是和它“较着劲”，有时它想往一边走，你非要硬往另一边推它，它虽然往这边走了，但是实际上秋千本身的能量损耗了一些。强扭的瓜不甜，你的能量很难在秋千的摆动中积累起来，这就是共振和非共振的区别。 波 02  弦乐器 波有几种形式，波根据它行进与否可以分为行进波或者驻波。如图所示，当一个物体振动时，产生的波会往外传播出去，大家看起来像是物质也往外传播了，其实不然，物质并没有传播，它只在原地上下振动。这是一个什么样的原理呢？大家如果在体育场看过人浪的话，可以观察到在一定节奏下所有的人站起来落下去，看起来就像一个波在体育场中传播，但所有的人并不是在移动，而只是上下运动，看起来的效果就是波在往前传播。同样的道理，从一个波峰到另外一个波峰，就是这个波的波长，一秒钟振动多少次，就是这个波的频率，用频率乘以波长就得到了这个波的行进速度。大家经常看到的水波往往就是一个行进波。 另外一种波是驻波，驻波的特点是其两端被固定了，所以波没有办法传播出去，只能在上下振动。和行进波不一样的地方在于，行进波的每个点都可以从波峰到波谷，而驻波波峰和波谷的位置是一定的，所有的振动在每个点振幅也是固定的。由于两端振幅为零，所以这个波的正弦函数只能取一些固定的数值，如图所示，它们的波长与整个长度具有整数倍的关系，很多乐器发声的原理往往就是一个驻波。 驻波 不知道大家有没有玩过鱼洗这个玩具，当摩擦的时候可以观察到非常大的水波溅起来，而且水波的位置一定是固定的，这实际上是一种驻波。电子波也能产生驻波，如图所示，这是科学家们做出的一个原子围栏，中间这种波的形状就是电子的驻波形状。  原子围栏 波的性质 03 波具有一个很显著的效应——多普勒效应。声波是多普勒效应一个典型的例子，如图所示，当一个波源向人耳靠近的时候，它的频率会升高，而远离的时候，它的频率会降低。  多普勒效应 基本原理是波的速度由介质和波本身共同决定，而不是由波源速度决定，这会导致什么现象呢？我们先从一个静止的波源开始思考，假设它发出的波长一定，如果声源再前进一点，会发生什么现象呢？声源处先发出一个波峰，波峰往前移动，这时候声源也在往前移动，当它发出下一个波峰的时候，两个波峰之间的距离相应地缩短，频率因此会提高；相反如果声源向你远离，波峰之间的距离自然会被拉长，频率因此会降低，这是多普勒效应的本身的原理。多普勒效应最极端的例子可能是音障。  音障 我在美国的时候，有一天早上睡觉睡得正香，一声晴天霹雳把我从床上炸了起来，当时也不知道发生了什么。后来在几公里之外的国家实验室给大家发了一封群体信，解释早上的爆炸声不是爆炸，而是有架飞机速度超音速了。音障是怎么回事呢？当飞机的速度低于音速的情况下，发生简单的多普勒效应，但是当它速度接近声速的情况下，这就不一样了。想象一下波的速度和发声的速度一样，那么波峰永远在声源的前面，这时候非常类似于冲浪，和冲浪不一样的地方在于冲浪是波峰推着你往前走，但这里是你推着波峰往前走，你产生的新波峰永远会叠加到前面波峰上去，波峰随着时间积累越来越高，最后达到一个非常大的值，这个时候飞机受到的阻力会非常的大，当这个非常高的波峰传到你的耳朵，对照冲浪感觉就像声音的海啸，产生出非常大的声音。而当飞机的速度超过声速时，这种效应便消失了，受到的阻力反而比它在接近音速的时候要小，这就是音障的原理，一个极端的多普勒效应。 波的干涉和衍射 04 提到波我们就不能不提到波的两个特性——衍射和干涉。 什么是衍射？当一个波穿过一个孔，孔径远远大于波长的情况下，主要的波好像并不会碰到孔径，虽然两边被挡住了，但中间的波还是沿直线传播，而当孔径比波长还要小的情况下，如图所示，就像一个球面波往外传播，我们所有的理论都要和实验相结合，下边的图是用水波做的实验，与理论计算符合得非常漂亮。  衍射  水波实验 解释衍射现象，有一个非常简单的原理——惠更斯原理，当波在往前行进时，每一个点都相当于是一个点波源发出圆形波，最后波的形状是把这些包络连接起来。如图所示，每一个点光源发出一个圆形波，把包络线连接起来，在散射之前它是一个平面波，而当它达到小孔时，波联络起来，和计算模拟的结果符合得非常好。当它的孔径远比波长小，可以认为它就是点光源发出的圆形波。 波的干涉现象又是什么？在一维情况下，如果波峰对上波峰，波谷对上波谷，会产生波的干涉增强，因为波所有的振幅被拉大了；而当波峰对上波谷，波谷对上波峰的情况下两两互相“抵消”，这就是波的相消。但是在三维情况下，不可能做到完全的相消或者相增，如图所示，用水波做实验，大家可以看到总有地方波是增强的，但也有地方波是减弱的。  水波 波的干涉效应可以被应用于消声耳机，在人耳里声音是被相消的，但在某个地方声音一定会被增强。再用惠更斯原理来分析一下干涉现象，如图所示，一个平面波到达有一段距离的两个孔径，将其看作两个点光源相互作用产生干涉条纹。这和在水面上做的实验非常的接近，由此知道我们的分析是正确的。再看衍射现象，根据惠更斯原理，衍射也不过是一些点互相干涉产生的结果而已，唯一的区别是干涉是离散的点，衍射是连续的点，由此可以说从惠更斯原理，干涉和衍射本质上是没有什么区别的。 干涉（左）与衍射（右） 在这里有一个非常重要的东西，就是波长和两孔距离的关系。相信经过前面的演示已经验证了我们的模拟非常接近于事实。如图所示，这是一个干涉条纹图，当两孔距离远大于波长时，干涉条纹非常清楚的；当它距离小一点，干涉条纹发生一些变化；当它距离小于波长时，可以观察到它已经非常接近一个圆形波了；当这个距离等于0的情况下，就回到了单孔的衍射。所以我们可以得到一个结论：利用波只容易区分比波长更大距离的障碍物，因为比波长更小的距离情况下，看起来已经和没有距离区别不大了。 干涉条纹图 再做一个模拟，如图所示，假设一个缝非常大，在中间我加入一个物体，这个物体将会对波的前进产生影响，那么我们会得到什么结论呢？假设d为物体长度，λ为波的波长，当d=0时，就是一个波往前行进；当d<<λ时，对波形也没有太多影响；当d=0.5λ时，看起来好像也没有什么明显的变化；d≈λ时，两边的阴影很明显地显示出来，这说明通过波我们只容易看到比波长更大的物体。波和物体大小的关系能告诉大家什么呢？波存在极限分辨率，当阻碍物的大小等于λ情况下，可以看到在阻碍物的旁边，出现两道很清晰的阴影。 模拟图 利用这个知识，可以解释一些现象。比如说蝙蝠为什么用超声波而不是次声波来观测物体，超声波频率非常高，大概在105赫兹，空气中声速大概是300m/s，算出来波长大概是3mm，换言之3mm大小的物体，可以被它探测到，如果小于3mm就不能探测到。如果它用的是次声波，次声波频率大概几赫兹，波长大概是30m，它只能看到大于30m的东西，那蝙蝠和瞎子也就没有什么区别了。在医学中经常用到的B超也是声波反射成像，频率大概是106赫兹，假设声波在人体内传播的速度是1000m/s，分辨率大概就是1mm左右，1mm的分辨率足够检测宝宝的生长发育情况，看清有5根手指还是有6根手指。 光是粒子还是波，在历史上有着长期的争议。托马斯·杨利用双缝衍射实验证明了光的波动性，激光笔是一种非常好的相干光源，在家里就可以利用它做一下这个实验。设计一个单缝衍射实验或一个双缝干涉实验都非常简单，随着微加工技术的提高，在激光笔上装上一个激光头，就会陈列出非常漂亮的图案。这些漂亮图案实际上是衍射的条纹。 衍射条纹 可见光的波长在400纳米到800纳米之间，波长比较短的是蓝光，波长比较长的是红光。在光的多普勒效应里面，如果波长变长，叫做红移；波长变短，就叫做蓝移，利用这个多普勒效应，著名的物理学家哈勃发现了在宇宙中离我们越远的星系离开我们的速度越大，这就是宇宙膨胀的一个证据。如图所示，假设宇宙是这个球，我们的星系就是球上的这些小甲虫，当它等比例放大的情况下，假设两个甲虫原来的距离是1，另外两个甲虫原来的距离是2，当你放大一倍之后，两个甲虫的距离原来从1变成了2，原来从2的就会等比例放大到4，这说明原来距离越大的物体，它的速度也会越大，形成一个正比的关系。 把我们的星系看作球上的小甲虫 既然光是一种波，那它一定可以产生干涉现象。干涉有什么用呢？在这里举一个非常著名的例子——迈克尔逊干涉仪，这是当时检测出光速不变的一个仪器。它的基本原理是：当光从激光器发出到一个分光片被分成两束光，一束到另一个镜子反射回来到屏幕，另外一束光到另外一个镜子同样反射回来到屏幕，这两束光在屏幕上会发生干涉，当这两个臂的距离有相对的变化，那么它的衍射条纹会随着它的距离的变化而改变，稍微改变一点它的衍射条纹就可以改变很多，可以精确测量。 迈克尔逊干涉仪 电磁波 05 在高中课本里，我们就知道变化的磁场会产生变化的电场，变化的电场也会产生磁场，麦克斯韦利用这个关系再加上其它两个方程，写出了很多物理学家认为是美轮美奂的麦克斯韦方程组，并在这个方程组里预测了电磁波的存在。电磁波基本的原理就在于磁场产生电场，电场产生磁场，就像鸡生蛋，蛋生鸡，电磁波会一直的传播下去。 著名的物理学家，就是频率单位的命名者——赫兹同学知道了这一点后，就去验证了一下电磁波的存在。现在大家知道电磁波是广泛存在的，从非常长的波长（无线电波）到非常短的波长（γ射线）。因为当时他的实验条件所限制，他不能做出这么简单的实验，虽然原理是一样的。当输入一个正型的电流信号时，这个线圈会产生一个变化的磁场，这个变化的磁场随着空间传播到达一个线圈，被它接收之后又会产生一个变化的电场被它接收。利用这个原理，赫兹证实了电磁波的确是存在的。很有趣的是赫兹本人认为这个发现并没有什么用处，直到后人利用这个原理发明了无线电的通讯技术，从此为人类打开了一个新世界的大门。著名的泰坦尼克号就装了这种无线电的电报装置，在泰坦尼克号的航行之中，撞上冰山之前就已经收到了各个船只用电报发来的冰山警告，但泰坦尼克号的船长认为自己的船是永不沉没的游轮，继续高速往前进。直到它撞上冰山之后，船长发现泰坦尼克号必定会沉没，赶紧用电报向大家发出了求救信号，据说最远500公里外的船只都收到了求救信号，100多公里以外的一艘船只经过三小时赶来，挽救了700多人的生命。大家可以想象，如果没有电报可能这700多的生命都会在汪洋大海中消失。自从泰坦尼克号事件之后，大家发现无线电通信技术非常重要，于是一代一代的通讯技术发明虽然有的是有线、有的是无线，但实际上本质都是用到了波。从电报、电话、老式的手机到现在的无线通讯装置智能手机，本质上都是用波把大家联系在一起。 微观粒子的波动性 06 光电效应 赫兹在证明电磁波存在的时候，由于当时的装置比较简陋，偶然也发现了光电效应。爱因斯坦从理论上解释了光电效应，密立根定量地测试了并证实了爱因斯坦的理论，这个解释就是光的波粒二象性。在光的波粒二象性以及相对论的存在下，德布罗意受到了启发，他认为如果光具有波粒二象性的，那么也许所有的微观粒子都具有波粒二象性，他假设微观粒子的波长就等于除以它的动量。假设电子的动能是10eV，用这个公式就可以推出电子的波长大概在4个左右，很难做出比4个小的孔来进行衍射实验。人们想到可以利用晶体本身来做实验，因为晶体的原子和原子之间的距离大概就是几个之间的量级，后来科学家用镍的电子衍射证实了电子确实是有波动性的。既然电子有波粒二象性，波长又非常短，那它将会有比可见光更好的分辨率。新型冠状病毒的大小可能就是100个纳米左右，可见光的波长最少也要400个纳米，所以你想用光去看到这个冠状病毒是不可能的，但可以利用电子显微镜看到非常清晰的病毒形态。如果加大电子的能量，那么它的波长可以更短。石墨烯每个格子的点可能就一个左右，用高能的电子成像，我们可以很清晰地拍到石墨烯的图像。 新冠病毒（左）与石墨烯（右） 金属可以导电是因为里面有很多自由的电子，自由电子会形成一个电子海，应该怎么去观测电子海呢？大家可以从水来想象，如果一个水面非常之平静是很难观测到水面的，但如果上面有个物体形成了波的话，看到波就很容易看到水面的存在。利用这一点，科学家在电子海中放上一些原子，就可以看到电子海形成的电磁波。著名的IBM拍出的原子电影里所有的原子都被放置在金属铜之上，金属铜之上就会有电子海，大家可以看到这些原子就相当在平静水面上的一些小舟，在它的周围就形成了一些波浪，这就是电子海的电子波。 IBM原子电影 当然粒子的波动性在现在的研究之中十分常见，比如电子衍射、中子衍射等，它们放射在了一个周期性的物体中产生了衍射信号，同样会形成一个周期性衍射的图案。大家现在知道所有的微观粒子都是有波粒二象性的，利用波粒二象性我可以向大家简单地解释一下什么是不确定性原理。所谓不确定性原理，一个最简单的说法就是如果你去测一个微观粒子如果你想把它的位置测得很精确，那么它的动量就很难测精确；反之如果你把它动量测的很精确，那么它的位置你就很难确定。这是为什么？大家知道电子的波长等于普朗克常数除以它的动量，动量因此就等于普朗克常数除以波长。在这里简单理解一下，位置和动量很难同时测得很准，意思就是动量和波长很难测得很准，在现实中电子不可能是无限大的，它有一定范围，我们在这里把它用波的形式画成如图所示的图，那它位置的不确定度可能就是整个的长度，而它的波长我们就非常容易定义，从两个相邻波峰的距离就是波长。所以它的波长的不确定度就非常小，反过来说这就是动量的不确定性非常小，而如果你把它的位置限定的非常小，小到都看不到一个周期，那就很难定义出它的波长是多少。换句话来说，你也不能定义到它的动量是多少，如果你把它的位置确定的准，它的动量你就很难确定的准，这就是一个不确定性原理的简单的说明。 不确定性原理 引力波 07 极小尺度的粒子都是有波动性的，在极大尺度上来说同样是有波的，一个例子就是著名的引力波。引力波是爱因斯坦通过广义相对论预测的，他预言如果有两个质量非常大的物体在互相旋绕，就会产生时空的涟漪，也就是关于时空的波，这种波会光速向四周扩散，那么会引起什么样的结果呢？实验物理学家花了100年来寻找引力波的实验证据，直到最近LIGO终于探测到了引力波。LIGO用了两个4公里长的臂来检测引力波，要检测到引力波的存在，在引力波发射过来会引起两个臂长短变化，这个距离差是10-19m，这个大小大概是一个质子直径的万分之一。可能大家对这个大小没有什么概念，换一个例子，三体星人离我们大概4.2光年，也就是说光也要走4.2年才能达到那里，如果科学家要达到同样的精度来测量这个长度的话，这个长度的误差将会小于一根头发丝的长度。所以这是一个非常精准的实验，怎么去实现这种精度呢？用到的就是迈克尔逊干涉仪，迈克尔逊干涉仪是测量两个距离差的一个最好的实验仪器。为了放大效果，他们在这4公里长的臂上装了两面镜子，这个光会在镜子之间来回被反射300次，也就是说用这个镜子可以把有效距离实际上放到了1200公里，最终用光波在这个精密的迈克尔逊干涉仪探测到了引力波的存在。这是一个非常漂亮的用波来探测另一束波的实验。 LIGO 在此做个小结，从单摆开始引入到简谐振动，谈到波的干涉、衍射、多普勒效应等现象，以及波长和障碍物大小的关系，当然我们还没有讨论波的反射、折射、吸收等等，但是我相信大家在平常的生活和以后的学习中都会涉及到这些知识，当大家涉及到这一点的时候，希望大家可以记住波是有类似性的，不管是光波、电子波还是引力波。学过光的折射后，可以想想声波到底有没有折射现象，身处一个录音的消音状况下，可以想一下我们是否可以设计出一种隐形战斗机来针对电磁波进行吸收。从前面的学习知道了波不但有水波也有微观上的电磁波、宏观上的引力波。借用我的女神之一寡姐在《超体》电影中最后的那句话来作为总结，波说：“我无处不在”。 、、、、光明网、中国教育电视台、科普中国、科学网、、中科院SELF格致论道讲坛、、微信公众号、、腾讯看点、腾讯教育、、新浪新闻、、、、、猿辅导、小猿搜题、、青云学堂、荔枝新闻、科学少年社、看看新闻、茅以升科技教育基金会、7kid、蔻享学术（持续更新中……） 主办单位 中国科学院物理研究所长三角研究中心 中国物理学会科普工作委员会 出品单位 悟理学院 支持单位 中国青少年科技辅导员协会 北京青少年科技教育协会 江苏中关村科技产业园管委会 校对：小林绿子 编辑：米老猫 |
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