【24模型】弹簧模型的应用

弹簧模型

（1）弹力的变化特点——物体做变加速运动

（2）弹力不能突变的特点——形变的发生和恢复都需要一定的时间

（3）物体做简谐运动的特点——运动状态存在对称性

（4）弹力做功与路径无关的特点，重力势能只取决于状态的特点

（5）有临界状态和转折状态的特点——分离状态、合力为零状态、拉力和压力转折状态等

（6）弹簧问题多解的特点——对同一大小的弹力弹簧对应两个状态，要注意不要漏解解题关键：画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。

轻弹簧是一种忽略弹簧自身质量的一种理想化模型。

高中物理常以轻弹簧模型设置一些复杂的物理问题情境，着重考察学生对力的概念，物体的平衡，牛顿运动定律的应用以及能量的转化与守恒等知识的理解与处理。

轻弹簧的特点

①轻弹簧各处受力相等，其方向与弹簧形变的方向相反；

②弹力的大小为F=kx，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的伸长量或缩短量；

③弹簧的弹力不会发生突变。

特别提醒：

橡皮筋与轻弹簧极为相似，只是橡皮筋不能被压缩！

典型习题

例1：劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为12kg的物体A、B，将它们竖直静止放在水平面上，如图所示．现将一竖直向上的变力F作用在A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.40s物体B刚要离开地面．（g=10m/s2 ）
试求：

（1）物体A重力势能增加了多少
（2）物体B刚要离开地面时，物体A的动能
（3）弹簧的弹性势能公式：Ep=kx2，x为弹簧的形变量，则此过程中拉力F做的功是多少？

（1）开始时弹簧压缩，求解出压缩量；物体B刚要离开地面时，求解出弹簧的伸长量；然后根据重力势能的定义公式求解重力势能的增加量；

（2）物体A向上做匀加速运动，已知时间、初速度、位移，根据运动学公式求解末速度；根据动能定义公式求解动能；

（3）拉力对A、B、弹簧系统做的功等于系统机械能的增加量，根据功能关系列式求解即可．

【解析】
（1）开始时弹簧压缩：mAg=kx₁
当物体B刚要离地面时弹簧伸长：kx₂=mBg
解得：x₁=x₂=0.15 m
物体A重力势能增大，△EpA=mAg（x₁+x₂）=36 J

（2）物体A向上做匀加速运动，根据位移时间关系公式，有：
x1+x2=at²
根据速度时间关系公式，有：
vA=at
联立解得
EK=mAvA2=13.5 J

（3）因开始时弹簧的压缩量与末时刻弹簧的伸长量相等，对应弹性势能相等
【解法一】动能的增加量：△Ek=EK=13.5 J
由功能关系：WF=△EpA+△Ek=49.5 J
【解法二】动能的增加量：△Ek=EK=13.5 J
重力做功：WG=-mAg（x1+x2）=36 J
根据动能定理：WF+WG=△Ek   
解得：WF=49.5 J

答：

（1）物体A重力势能增加了36J；
（2）物体B刚要离开地面时，物体A的动能为13.5J；
（3）此过程中拉力F做的功是49.5J．

例2：如图所示，质量m1=2kg的物体A与一劲度系数为k=500N/m的轻弹簧相连，弹簧的另一端与地面上的质量为m2=1kg的物体B相连，弹簧竖起．A、B均处于静止状态．另有一质量为m3=1kg的物体C从物体A的正上方距离h=0.45m处自由下落．落到A上立刻与A粘连并一起向下运动，其速度为1m/s，它们到达最低点后又向上运动，最终恰好能使B离开地面但不继续上升．（A、B、C均可视为质点，g取10m/s2）

（1）求C与A碰撞前的速度V；
（2）从AC一起运动直至最高点的过程中弹簧对AC整体做的功．

（1）碰前物体做自由落体运动，由动能定理可求得下落后的速度；

（2）由胡克定律可求得开始及离开时物体的位移，则由动能定理可求得弹力所做的功．

【解析】
（1）设物体C与A碰撞前速度为V，则根据动能定理：

解得：V=3m/s．

（2）根据F=kx，开始时弹簧压缩量
B刚要离开地面时弹簧伸长量
则AC一起运动的最高点和碰撞位置的距离为h′=x1+x2=0.06m
设从AC一起运动直至最高点的过程中弹簧弹力做功为W，根据动能定理：
解得W=0.3J．

例3：如图所示，质量为M=1Kg的长滑块B静止放在光滑的水平地面上，左边固定一劲度系数为K=8N/m且足够长的水平轻质弹簧，右侧有一不可伸长的轻绳连接于竖直墙壁上，细线所能承受的最大拉力为T=4N．现使一质量为m=2Kg，初速度为v的小物体A，在滑块B上无摩擦地向左运动，而后压缩弹簧．（已知弹簧的弹性势能EP与弹簧的形变量x的关系：，K为弹簧的劲度系数）

（1）小物体A的速度v满足什么条件，才能使细线被拉断．
（2）若小物体A的初速度，滑块B向左的最大加速度为多大．
（3）若小物体A离开滑块B时相对地面的速度为零，则小滑块的初速度v为多大？

（1）假设绳子不断，当滑块速度减为零时，弹性势能最大，弹力最大，绳子的张力最大，等于弹簧的弹力；然后根据机械能守恒定律和胡克定律列式求解；

（2）当滑块与长木板速度相等时，弹力最大，加速度最大；先求解出断开时滑块速度，然后根据动量守恒和机械能守恒定律列式联立求解出共同速度，得到最大加速度．

（3）滑块与长木板分离后，速度恰好为零，根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式后联立求解即可．

【解析】
（1）设弹簧压缩量为x1时，绳被拉断，即
kx₁=T①
压缩弹簧过程动能转化为弹性势能，依题意有
  ②

联立解得：  ③

（2）设绳被拉断瞬时，小物体的速度为V1，有
 ④
绳断后长滑块加速，小物体减速，当两者速度相等时，弹簧压缩量最大为x2，长滑块有向左的最大加速度am，此过程动量守恒，有：
mv1=（M+m）v2 ⑤
根据机械能守恒，有：
⑥
由牛顿第二定律得：kx2=Mam ⑦

联立①④⑤⑥⑦解得：=8m/s2．⑧

（3）要使小物体离开长滑块时相对地面速度为零，即弹簧恢复原长时小物体速度为零，此时长物块速度为v．在绳断开至弹簧恢复原长过程中，动量守恒，能量守恒，故有
Mv=mv1 ⑨
  ⑩
联立①④⑨⑩解得m-M=
由于，必有m＞M 
所以小物体最后离开滑块时，相对地面速度恰好为零的条件是m＞M且满足m-M=．
代入数据解得m/s．

答：

（1）小物体A的速度v满足v＞1m/s，才能使细线被拉断．

（2）滑块B向左的最大加速度为8m/s2．
（3）若小物体A离开滑块B时相对地面的速度为零，则小滑块的初速度v为．

每日一题解析

如图所示，一轻质弹簧固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动．则以下说法正确的是（    ）

A．物体落到O点后，立即做减速运动
B．物体从O点运动到B点，动能先增大后减小
C．物体在B点的速度为零，加速度为零
D．在整个过程中，物体m机械能守恒

物体接触弹簧开始，合力向下，向下做加速度逐渐减小的加速运动，运动到某个位置时，合力为零，加速度为零，速度最大，然后合力方向向上，向下做加速度逐渐增大的减速运动，运动到最低点时，速度为零，加速度方向向上，逐项分析即可．

【解析】
A、物体接触弹簧开始，弹簧的弹力小于重力，其合力向下，向下做加速度逐渐减小的加速运动，运动到某个位置时，合力为零，加速度为零，速度最大，后来弹簧的弹力大于重力，合力方向向上，向下做加速度逐渐增大的减速运动，运动到最低点B时，速度为零，所以速度先增大后减小，动能先增大后减小，故A错误，B正确；

C、若小球轻轻的放在弹簧的上端，则小球做简谐运动，到达最低点B时合力等于重力，则在弹簧上方h处释放小球到达最低点的合力必然大于重力，所以在B点的加速度大于重力加速度，故C错误；

D、在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒，物体的机械能不守恒，故D错误．
故选：B

明天分析上抛模型

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