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“画数学”中学数学 ——“数学画”教学概述 儿童受认知发展水平限制在学习以高度的抽象性、严密的逻辑性为特征的数学时常常发生困难，怎样在儿童与数学之间建立良好的关联？怎样引导儿童学好数学？怎样让数学成为儿童健康成长的滋养？这些问题无疑是小学数学教学的核心问题。 “数学画”教学正是在寻求解决以上问题过程中产生并发展起来的，面向小学生，探索其数学学习的有效途径。 一、价值理念 本研究着眼于改变数学及数学教学在人们心目中固有的枯燥、乏味、难懂等刻板印象，着力引导儿童喜欢并学好数学。小学数学教学既要关注儿童心理特征和认知水平，具有儿童趣味；又要扎根数学学科本质，深蕴数学真味。 “数学画”教学找到了一个能兼顾以上思考的切口，那就是回到源头，回到数学的研究对象上，聚焦数与形的关系，利用数形结合思想，探索出一种有趣有效的数学学习（教学）方式：儿童运用直观之“形”表征抽象之“数”，或运用精微之“数”阐明简达之“形”，从而帮助理解数学概念、解决数学问题和提升数学思维。这是引导儿童认知逐渐“数学化”的过程。 【陈昱老师此书由安徽科技出版社2019年7月出版。目前市面上还有吴正宪老师主编的《让儿童在涂画中学数学》，刘善娜老师的《把数学画出来：小学画数学教学实践手册》】 二、研究策略 自2014年“数学画”教学正式实施以来在问题解决的实践中我们逐渐总结出“人事相融 理实相生”实施方略： 图1 “理念与设计”是聚焦问题，寻得解决问题的突破口。针对“怎样引导儿童学好数学？”，秉持着“数形结合”思想以及工作室“阳光数学”教学主张，我们找到的突破口便是“数学画”教学。我们做了“数学画”教学的顶层设计，有两条指导思想，一是“以人为本”，为了学生的数学发展，依靠教师的教学智慧；二是“扎根实践”，扎实地、持续地、发展地做。 “以人为本”引出“团队与基地”，依托陈昱小数名师工作室，领衔人先行实验探索，再团队研究，分工合作；确立“数学画”教学研究基地校，从1个实验班到N个实验班，再到全年级课程实施，滚动发展，渐成规模。 “扎根实践”便有“实践与研究”，沿着“课外作业-课堂教学-课程建设-课题研究”我们走出了一条清晰的“数学画”“4课”教学路径，“4课”循序而来，又并存发展，后来增加“课例研讨”而成“5课”，至今仍是我们的落脚点。 “人”和“事”是两条线。 “5课”路径是“事”之线，“人”之线则是“领衔人教学探索-团队教研跟进-基地校课程实施”。两线是一体二面，每条线上每个阶段都会有成效反思和成果提炼，不断丰富“数学画”实践，不断完善“数学画”理念，这就是“成果与进阶”促使一次次、一轮轮的螺旋发展。 “数学画”教学可以按照上述“方略”实施，适用于小学一至六年级学生，最好是贯穿小学六年。需要注意的是： 1.首先是“理念认同”，对“数学画”教学秉持的教学主张、理论依据和价值追求能够理解和认同。 2.“团队与基地”这条“人”之线，关键是教师培训，除了认同理念，还需通过案例学习熟悉“数学画”实际教学。“数学画”教学既可以单个教师进行，也可以一个年级组团队实施，或者一所学校整体推进；既可以从起始年级开始，也可以从中途任何一学期开始，这种灵活性是本研究的一大优势。 3.“实践与研究”线需要关注每一“课”的实施要点，我们积累了丰富的案例，有专题文章与专著。 4.“数学画”教学除了上述实施的灵活性之外，还具有简易性特点，这一点与其哲学追求“简单的深刻”十分契合。所谓“简易性”即无需特别的硬件设施，有纸有笔有孩子就行，城市乡村无障碍。 5. “数学画”教学目前已形成“5画”教学形态：画概念即在概念教学中引导学生把心中所理解的数学概念画出来；画思路即在问题解决教学中引导学生用画图的方式表征题意、思路，借助画图厘清数量关系、找到解决问题的方法；画计算即在计算教学中引导学生画计算过程、方法和算理，从而促进算法探究和算理理解；画结构即在复习预习教学中引导学生整理绘制知识结构图；画绘本即引导学生用所学数学知识创作数学绘本，顺应小学生天性爱故事、爱想象、爱创造的特点。 6.“数学画”课程在各年级均有实施，循着数学国家课程的知识体系，是对国家课程的有益补充和拓展，我们编著并使用的校本教材《“数学画”学材》已经做到五年级；六年级也有做，尚待梳理。 三、教学实效 “数学画”教学回归儿童视角、尊重个性差异、培育数学眼光、鼓励想象和创新，以其情境化、可视化、个性化和符号化引儿童亲近数学、喜爱数学、学好数学，让“学困生”找到数学学习的入口，让“学优生”找到数学表达的自信，让“问题生”找到热爱数学的理由，让“专长生”找到编绘数学的乐趣。参差“5画”（指上文中“5画”教学形态）皆是学习之源。 （一）概念理解：抽象与举例 学生的概念学习离不开抽象和举例的过程，“画概念”教学通过 “画图”等一系列活动创造机会让学生充分经历举例和抽象，较好把握概念的内涵和外延。“画概念”其实有两种教学场域，一种链接学生生活，一种承接常规课堂。前者指新课教学中画，学生会调动已有生活经验画出自己对概念的理解；后者是新课后画，反映学生对新知的掌握情况。 图2 图3 图4 图5 图6 图7 图8
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图10 不论哪一种情况，画概念首先是对概念外延的举例，比如学生画数0（图2、3）、（图4）、0.07（图5）等；画概念还会反映对概念内涵不同的理解水平，比如画方程，图6只是举出个例；图7不但举多个例子还从构成要素、与等式关系等方面进行归纳；图8试图从正反例和关系角度说明，暴露了概念内涵理解上的迷思，这也恰是教学得以有效展开的着力点；图9超越要素和形式上的理解，比较接近方程概念的本质。 画作反映了学生对概念的已有理解水平，是教学的起点，不论是新课还是作品展评课都会有一个提升认识的过程。教学包括对“认识偏差”的修正，比如只表达出“0像什么”（图10）的同学可以在同伴作品评析中明白“0是什么”；通过作品辨析，图8的小作者可以真正理解方程和等式的含义。教学更是对多样举例的反思和归纳，达成对概念更高层次的抽象，展评不同的0后追问：0还可以怎么画？这样能画得完吗？0到底是什么意思？从而抽象出“0表示1个也没有”这样的概念内涵（还有表示起点等其他含义）；或者在多个正反例的对比中归纳方程的含义，再通过实例深入理解方程的本质。 （二）问题解决：提问与求解 “数学画”教学鼓励儿童运用数学的眼光观察周围世界，从习见的日常生活和学习中发现和提出数学问题，培育儿童基于数学思考的问题意识。可喜的是很多同学在画数学过程中因思生问、由问促思，图4小作者在画分数时提出问题“4的是多少？”；“升和毫升”课堂上一位同学阅读课本图例时提出“1大杯相当于多少小杯？”；画图探究分数除以整数算法时，有同学提出质疑“真的不能用第一种方法算吗？”……当然，很多问题指向的不一定是“画思路”，也可能是“画概念”“画计算”等。 “画思路”更多是对问题的分析，其前提是问题的表征，方法是画图，关键是思维可视化，指向思维的发展。 1.化虚为实，帮助儿童把握思维的关键点 对儿童来说，文本往往是“虚”的，他们需要在脑海里将之转化成具体可感的形象才能够理解，“数学画”更进一步，将文本内容化虚为实、落笔成画，可感可思、易于把握。有道思考题：小宇和妈妈去外婆家，买两张火车票一共用去96元，小宇的火车票票价是妈妈的一半，请问小宇火车票多少元？孩子们通过画图发现：总票价96元被分成3等份，小宇票价占其中1份，于是问题迎刃而解。（图11、12）
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图12 2.化动为静，帮助儿童突破思维的难点 有些数学问题会蕴含一种动态的过程，儿童的思维难以跟上，需要借助“数学画”将动态的过程记录下来，转变成静态的运动轨迹，从而易于把握。比如图13、14中“小欣走了多少米”和“三个回合游了多少米”这样本来很难思考的问题，在画明路线后显得非常容易解决。
图13
图14 还有一些数学问题，并非直接涉及运动的“行程问题”，而是在其数量关系里呈现动态的特征，成为儿童思维的难点。比如图15、16，在探究“蓝花有多少朵？”和“红花有多少朵？”过程中，儿童的思维循着动态化的数量关系“蓝花朵数比红花的4倍多2朵”和“蓝花朵数比红花的4倍少1朵”一步步暂停，逐步分析逐个化解，步步推进最终解决。此时，“数学画”展现的是儿童思维的轨迹，可以帮助教师了解儿童是怎么思考的，也可以帮助儿童厘清自己的思维路径，从而使思维提升更容易发生。
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图16 3.问题符号化，促进儿童思维更简洁 在解决“红花有多少朵”时，图17代入图形符号，将问题中的数量关系加以转换和梳理，刚上三年级有这样的符号意识颇让人惊叹！其实，“数学画”从来离不开符号，我们会在展评课中有意引导学生使用简洁的符号代替实物，从而促进儿童思维的简洁高效。
4.表达多样化，促进儿童思维更灵活 “每只小猴要抬多少米？”问题解决中，一个班学生中出现了“排列法（图18）”“组合法（图19）”“反向思考法（图20-21）”“整体思考法（图22-23）”等多种方法，展现了多姿多彩的思维个性。即便是同一种方法，不同的学生也会有不同的表达方式，以组合法为例，有“情境分析式（图24）”“元素分析式（图25）”“线段图分析式（图26）”等。多样化表达是学生思维个性的真实反映，保证学习真实发生的同时，也使交流成为可能和必要。读懂别人，反思自己，取长补短；路径各异，方法多元，开拓思路，促进儿童思维逐渐提升，变得更加灵活敏捷。
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图26 （三）计算推理：画图与图画 “数学画”的“画”兼有动词和名词义，既可以指画图操作，也可以指图画表征。计算的本质是推理，在“画计算”中，画图操作偏向算法探究，图画表征偏向算理理解。 “分数除以整数”教学，学生先画图探究=？出现图27、28两种算法，当然学生的画法非常多（注意“画法”≠“算法”，指算法的不同图画表征），课堂上引导他们充分言说、互动，通过比较、归纳得出：分数除以整数有两种方法，一种是用分子除以整数作分子，一种是乘上整数的倒数。再计算，多数学生发现第一种算法不适用而用第二种算法（图29）；就在我准备引导学生总结一般算法时，有学生提出不同意见：第一种方法也可以！原来他是这样想的（图30）：我发现第一种方法分不了，4不能整除3，到这里就堵住了；怎样才能整除3呢？我想起分数的基本性质，就把分子分母同时扩大3倍，变成；就能除以3了，每份是这张纸的。于是课堂生成了如下板书：=÷3===×=，最后讨论得出统一的算法：分数除以整数等于分数乘这个整数的倒数。
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图30 上例算法探究的过程也是对算理的理解，只不过更侧重探究。两种“画计算”的主要区别是：算法探究前不知道怎么算，算理理解则是把已知算法的计算过程和道理画出来。比如“分数除以整数”课后若请学生画计算，那就偏重算理理解了。 “画计算”常与学具操作等学习方式结合运用，比如“两位数进位加法”引导学生经历“摆小棒——拨珠子——画图”等活动，充分感知“满十进一”，从而较好掌握算法、理解算理。在这个过程中，除了学生画图，往往还有教师画图（一般用课件）作为学具操作的一种记录呈现给学生。因为动手操作是动态的，难以留痕，不利于学生观察分析。画图记录既可以保留操作的动态性，即画图；又可以形成静态痕迹，即图画。所以在课堂上，学具操作一般自主学习时用，画图呈现一般全班交流时用（图31-32）。其实，“数学画”学习本身也包含着多种学习方式的整合，有“画图操作”“读图观察”“说图表达”“评图讨论”“改图提升”等流程（详见案例），动手动眼动口动耳更动脑。
图31
图32 “画计算”特别重视“画算结合，图式对照”，即图画与算式的统一，相互印证说明。比如课堂上会请学生充分对照图31-36与竖式（图37），完成对算法的归纳和对算理的抽象。
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图37 “画结构”是对某一学段、年级、学期、单元、课时或某一专题学习内容的结构化把握，包括整体关照、循序梳理、关系联通、定点举例再全面检阅等过程。学生经历“整——分——整”的知识梳理过程，再结合单元（或其他）学习的“整——分——整”知识学习过程，促使学习由“浪漫”走向“精确”再到“综合”。提炼重点和建立关联是“画结构”的关键。 “画结构”教学操作示意图
在实际教学中，以上操作不求全不求快，而是慢慢渗透、循序渐进，初学作品允许粗陋和不完善。图38是二年级学生初次画“家庭树”，图39是四年级学生初次画整本书结构。
图38
图39 “画绘本”给予喜欢想象、涂鸦和故事的孩子很大的创作空间，他们总会用儿童特有的想象力将数学与生活编织进自己的故事中，并把这样的数学故事画出来。儿童正是在这样的能够给予他们心灵愉悦的故事情境中被不自觉地吸引，自然地与数学亲近起来；他们也在编绘数学的过程中享受着无穷的乐趣。孩子天然喜欢故事，这在日常画数学中多有体现，图40是一位男孩在“三角形的高”学习前测中所画，若非亲眼所见，我真无法想象孩子会如此生动地表现“高”！
图40
图41：二年级“我的一天”（局部）
图42：四年级学生《百变宠物》（局部）
图43：五年级学生《负数的认识》 【了解数学画，教学不一样】 |
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