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将心中的数学画出来——低年级“数学画”教学探索与思考 合肥市南门小学上派分校 陈昱 缘起 2014年9月本人接手一年级一个班的数学教学，发现低年级儿童对数学文本的认读和理解比较困难，而借助图画可以帮助儿童学习数学，并能使其爱上数学、探究数学，很好地发展数学思维，于是我尝试进行“数学画”教学，取得意想不到的教学效果。随后，作为教学副校长和肥西县小数名师工作室领衔人，我将“数学画”教学尝试和思考与本校和工作室老师交流分享，共同开展“数学画”教学研究。一年半的尝试、反思、实践、研讨，我们逐渐积累了一些实践经验和理论思考；但是由于一线教师理论基础薄弱, 科研水平有限，往往是“用好，就是说不好”，“数学画”又是一种新的教学尝试，没有现成的参考模式，只能在此作一个粗浅的梳理，更完善的总结阐述有待于实践研究的进一步深化。（注：本文成稿于2015年底，2017年修改后发表于《云南教育-小学教师》，这里呈现的是原生态模样） 什么是数学画？ 简而言之，即儿童运用直观之“形”表征抽象之“数”，从而帮助理解数学概念、解决数学问题、发展数学思维的一种数学学习（教学）方式，其立足点是儿童认知特点和数学学科本质。所以说，“数学画”教学既有儿童趣味，又深蕴数学真味，是引导儿童认知逐渐“数学化”的过程。 壹、“数学画”的形态 回顾“数学画”教学探索的历程，一年级上学期主要是“画数学”:鼓励儿童将学习的数学知识画出来；一年级下学期后开始“画思路”：通过画思考过程厘清题意和数量关系，辅助解决数学问题。这两种形态的“数学画”一开始都是以实践作业（及其展评课）的形式成为数学课的有益补充。二年级以后我们开始有意识开发“数学画”创意课程，并付诸课堂教学。（注：“数学画”的形态除了本文论及的“画数学（概念）”、“画思路”，还有“画题意”、“画绘本”、“画结构”等。） 图1：0 图2：1-5 （一）画数学，促进概念理解 1.画“数” 在第一学期起步阶段，我们只是要求孩子“画出心目中的数学”，比如：学习了自然数的认识，孩子回家画出自己心目中的“数”。从孩子们的画作看，只有个别孩子表现的是“数像什么”（图1），或者将数字拟人化（图2），大多数孩子都画出了“数是什么”（图3-图9），少数用同一幅画既表示出“数像什么？”又表示出“数是什么？”（图6）。有一个孩子一口气画出6种不同场景表示“0”，既有“1个也没有”、也有“起点”的含义，生动活泼、极富想象力和童趣（图7）。 图3：1-5 图5：0 图4：0 图6：0 图7：0，图8、9：第1-5
2.画“生活中的数学” 国庆节假期孩子们观察生活，画出“生活中的数学”，很有意思，每幅画都是儿童视角下的多彩数学，比如（图10-图13）：
3.画加减法 后来，孩子们逐渐学会用简单的数学符号表达数学含义，画加减法的算式意义。在不断进步的同时，他们渐渐形成了自己的“数学画”风格，这可以从画连加、连减的画作对比中清楚分辨（组图1-组图7）。
（二）画思路，辅助问题解决。 到了一年级下学期，孩子们已经会用“数学画”辅助解决一些思考题，也就是画出问题的思路。我们深刻感受到，“数学画”不仅因其形象直观、富有童趣而被孩子们广泛喜爱和接受，更重要的是通过数形结合，特别是几何直观，将比较复杂、困难的问题变得简单、容易，能够培养学生有序思考、大胆猜想、勇于尝试、逐步抽象等能力，成为学生学习数学的思维拐杖。 1.送给小明多少支彩笔？
2.这幢楼一共有几层？
贰、“数学画”的特点 （一）“数学画”回归儿童视角。 心理学研究﹝1﹞表明，7-8岁是儿童概念性工具发展的一个决定性转折点，这个阶段的儿童的运演已经不再受自我中心和中心化的影响，逐渐具有可逆性、守恒性以及依赖于实物的整体性，处于这一阶段的儿童很难回答“a比b长，b比c长，谁最长？谁最短”的问题，但借助实物就可以回答。我们在实践中发现，图画可以达到实物同样的效果。“数学画”教学契合了低年级儿童认知规律，让我们的数学教学回归儿童视角，更有利于儿童的数学学习。 发现儿童是教育的前提，是教育成功的密码，也是教师的最高境界,“课程的方式应该是儿童的生活方式﹝2﹞”。小学数学教学应该回归儿童视角，鼓励儿童用自己喜欢的方式学习数学。儿童是天生的画家，几乎每个孩子都喜欢涂鸦，当他们用动物、植物、人物、景物乃至简单的图形、符号等这些自己熟悉的形象表达自己所理解的数学知识时，他们的心情是愉悦的，思想是自由的。 孩子们创作的一幅幅数学画满蕴浓浓的儿童趣味：在儿童眼中，数学不是灰色的、枯燥的，而是彩色的、有趣的；数学不是冰冷的、生硬的，而是温暖的、丰润的。小学数学教学只有回归儿童视角才能走向高效。 （二）“数学画”尊重个性差异。 我们认识并充分尊重儿童在数学学习上的差异性，允许他们在各自的学习基础上、从已有经验出发、采用自己擅长的方法学习数学、表现数学、解决问题，尤其强调独立思考，并在自我反思和同伴交流中不断进步。下面以《豆豆在哪儿》为例具体说明： 1．尊重学生思维的层次性差异。 针对配套练习册问题：27个小朋友排成一排，豆豆排在正中间的位置，从左往右数，豆豆排第（ ）；从右往左数，豆豆排第（ ）。每位学生都能通过“数学画”解决问题，作品呈现出多种思维层次，大体可分成两大类：（1）将27个人（也有用毛毛虫、苹果等代替）一个一个全部画出来的；（2）只画出部分人的。 第1类也分为不同的层次：①仅仅画出27个并指出豆豆位置的，举例：
②标有相关数字和箭头等符号表明思路的，举例：
③图文并茂，专门用文字和算式说明思路的，举例：
第2类蕴含的数学思考更加丰富和有价值，反映的数学思维更有品质。表面上看，好像不如第1类完整美观，但只要问问小作者是怎么想的，立马令人惊喜！举例：
生1：我画了7个后不够画了，我不想重画，就想啊想，还剩20人，心里知道每边站10人，所以豆豆在从左往右第14个，从右往左也是第14个。
生2：因为27太多了，画不下。我想，27里有20和7，20是双数，很好分；7是单数，不好分；只要把7分好就行了！
生3：27人太多了，画不下，我就画个长方形表示10人，两边就是20人，剩下的一边一个分，21、22、23、24、25、26，正好分完，最后第27个不能分，放在中间，就是豆豆。 2.尊重学生思维的形象性差异。 低年级儿童在用“数学画”解决问题过程中，启动其形象思维，会根据自己的生活经验和喜好赋予数学抽象以个性化的直观形象，让儿童的数学思考附着在具体物象上，帮助儿童理顺问题的内在关系，解决问题。所以同样的问题，甚至同样的思维层次，展现的形象却各不相同。有人物、苹果、篮球、毛毛虫等，也有简化小人、几何图形等，形象各异。 （三）“数学画”培育数学眼光。 邱学华先生说过：小学数学有两个姓，一姓“小”，一姓“数”﹝3﹞。“小”，其实就是指小学数学是儿童数学，要有儿童趣味；“数”，指的是小学数学的“数学本质”、“数学真味”，应该培养学生的数学素养。“数学画”具有较浓儿童趣味的同时，也有利于培育儿童的数学素养。在明艳的外表下，“数学画”具有坚固的数学内核： “数学画”的内容是数学知识。 1．“数学画”的内容是数学知识。 第一种“数学画”是表现数学知识的，它的内容无疑是数学知识；第二种“数学画”是通过画思路厘清数量关系从而解决问题的，其内容也离不开数学知识。 “数学画”的形式逐渐数学化。 2．“数学画”的形式逐渐数学化。 “数学画”的表现形式是图画，一开始孩子通过具体的物象表现数学概念，因为是课后作业时间充足，很多作品画得色彩明丽、线条细腻、形象生动，非常美观，不亚于一般的美术画——这也从另一个侧面反映出低年级学生乐于绘画，“画数学”比“写作业”对他们更具吸引力。 随着学习的推进和展评课的引导，“数学画”中“非数学”成分逐渐减少，我们有意识地引导孩子在创作中运用箭头、省略号、问号、括线、虚线、圈线、几何图形以及算式等数学符号，尽量用几何图形等代替具体物象，绘制物象时力求简洁，逐渐数学化。一年级下学期解决问题的“数学画”已经是简洁的示意图了。 学生在成长，数学学习在深入，“数学画”也将不断发展变化，中高年级的“数学画”将渐变成“示意图”、“线段图”、“知识结构图”等形态。我们还将尝试开发“数学画”校本教材，以便“数学画”教学的常态化，使之发挥更大作用。 “数学画”蕴含丰富的数学思想。 3．“数学画”蕴含丰富的数学思想。 从上面的画作和案例中不难得出：“数学画”教学有利于培养学生的符号思想和符号意识、数形结合思想和几何直观、对应思想、推理能力、应用意识、空间观念等等，不再赘述。名师吴正宪曾指出：有些学生在看到别人用画图法轻松化解难题时，觉得这种策略简便实用，不过他们同时感叹：这样好的方法，我为什么想不到呢？——画图、几何直观、数形结合等这些策略、方法、思想需要从低年级开始渗透培养。“数学画”教学能达到从起始年级起渗透数学思想方法、培养学生诸多数学核心素养的目的。 （四）“数学画”鼓励想象和创新。 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中﹝4﹞。古希腊哲学家亚里士多德认为：想象力是发明、发现及其他创造活动的源泉；中国学者吴克杨说：想象力不是生来就有的先天素质，而是后天开拓的结果，它是完全能够培养的一种能力。“数学画”教学有利于培养学生的想象力和创新意识。 1.先想后画——留给儿童自由想象的空间。 “数学画”落笔之前需要思考，所以一直多以家庭作业方式出现，而且不设限制，鼓励孩子“想怎么画就怎么画”，只需围绕主题（某个数学知识或数学问题）即可，留给孩子充分的思考时间和想象空间。思考的自由避免了思维的束缚，激发了想象的力量，为孩子们的创造打开大门。 2.边想边画——引导儿童借助图画辅助思考。 对儿童而言，“数”是抽象的、难以理解和把握的；“形”是直观的、容易理解和探索的。数形结合的画图策略既可以帮助儿童理解数学概念，又可以辅助儿童分析数量关系、解决数学问题。 在画图分析的过程中，几何直观发挥巨大作用，形象直观的“形”能有效促使儿童思考和发现，找到创造性思维的生发点，给予他们无穷的启示。儿童就在这样边想边画、边画边想中体会数学的本质、寻得问题的解决方法。 3.画过再想——教会儿童提升数学思维。 教学实践表明，对某一知识和问题的反思整理有助于儿童从整体上把握分析问题、解决问题的方法，从而有机会超越方法产生策略，感悟数学思想，提升创造能力；而欣赏和评价同伴作品则能给予儿童很好的启发，促使其优化思考。“数学画”展评便具有这样的作用： （1）在推介画作中整理思路、完整表达，使思路和理解更清晰更深入。 （2）在欣赏评价他人画作中反思借鉴，使思考更全面更优化。 （3）在改进画作中体会进步，使思考更积极更愉悦。 “数学画”沟通抽象与具象，打通已知与未知，连接生活与数学，鼓励和培养儿童的创造性思维，儿童在“数学画”教学过程中不断增进多种能力，最终使创新成为可能。 “数学画”中绚丽的色彩、变化的形象都是儿童丰富想象力的表现，我们并没有因其“失真”或不够数学化而加以批评，代之以尊重基础上的引导，增进数学思维的同时尽可能满足儿童的心理需求。 叁、“数学画”的课堂展评 作为数学实践作业，“数学画”的课堂展评很重要。以第一种形态的“数学画”为例，“画数学”只是手段和方式，目的是促使学生深刻理解数学知识、准确掌握数学概念。这样的教学目标除了有赖于学生课堂上对数学知识的学习，有赖于课后在理解数学知识基础上的再创造，还要靠“数学画”展评课来引导和落实。 “数学画”展评课的大体流程是：1）教师选择典型“数学画”课堂分层交流；2）小作者推介画作；3）学生提问和评议，教师点拨和引导，小作者回答和改进。具体来说，“数学画”展评课要做好三件事： 1．分享“我画的是什么？为什么这么画？” 在“数学画”的课堂展示中，首先请作者说说“我画的是什么？为什么这么画？”，从而了解作者对于所画数学知识的理解情况，教师可以有针对性地加以提问和引导，力求突破学生的认识困难，扫清学习障碍，深化概念理解。
图12：生活中的数学 有些画作，只有听了作者的解说，我们才能看懂。比如图13，这是一位小男孩的作品，画的是他和爸爸在洗澡，老师问：“画得不错，可是这里有数学吗？”男孩立即高声答道：“有数学呀！老师，你不知道我爸爸是怎么洗澡的？”老师捂嘴笑：“那我哪知道啊？”小男孩也得意地笑：“我爸爸可牛了！每次洗澡都带我做'洗澡操’——1、2、3、4，2、2、3、4……”边说边比划着搓澡动作……不用我多说了，孩子们眼中的数学是多么鲜活多么有趣啊! 有的画作包含着小作者没有意识到的数学含义，需要老师点拨。比如图28，小作者只提及楼房按照从高到矮可以排出第1-第5，老师可以顺势追问：“你是从高到矮排的，还可以怎么排？”“除了按高矮排，还可以按什么排？”启发学生灵活思考：还可以从矮到高排序，也可以按照从左到右或从右到左的位置顺序排序等。 图28
图29：第1-5 有的画作容易引起学生对数学知识的误解，需要老师“反例正用”。比如图29，小作者解说中序数第1-第5（花瓶从左往右顺序）正好对应着基数1-5（花瓶中花儿的朵数），容易造成思维定势，老师可以作如下处理： ①追问：那从右往左数，第1-5分别在哪？ ②拿掉其中第4个花瓶里的1朵花，问：从左往右数它还在第4个吗？为什么？ ③打乱花瓶的位置，比如将一开始第2瓶花移到最后，问：现在它排第几？ ④小组讨论：刚才按位置排序，插2朵花的花瓶有可能在第2，有可能不在第2；如果要使插2朵花的花瓶不论怎么数都是第2个，应该按什么排？（按花的数量从少到多排） 2）欣赏“他画的是什么？可不可以这么画？” 同样的数学知识，不同学生理解不同、表达也不同。相互交流作品，多元表征，利于学生全面认识数学概念。 数字“0”，甲同学：1杯果汁喝完，是0杯；乙同学：2只小鸟从树上飞走，是0只；丙同学：5个苹果全部落下，树上是0个苹果；……让学生思考：“他画的是什么？可不可以这么画？”让学生认识：原来0还可以这样画！ 学生间互动分享，可以相互补充、相互启发。比如在展评课上，为了引导孩子们增进概念理解和数学思考，我和孩子们展开互动：
图30：第1-5 师（问图30小作者）：你的画里有第1-5吗？在哪呢？看不懂哦！ 还没等他回答，同桌站起来了：我知道！房顶有5层，我来指给你们看！（自告奋勇地上台，从上向下一路指）第1、第2、第3、第4、第5。 小作者笑了：可是我画的是从底下往上面第1-5层。（台上的立马尴尬） 师：那他指错了？这样数出第1-5行吗？（短暂的沉默） 小作者：也行！从下往上数和从上往下数出来的不一样。 |
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