模型 | 双绝对值问题的新认识（）

男，中学一级教师，研究方向：初等数学，绍兴鲁迅中学任教，柯桥区百名优秀青年教师，在《中学数学杂志》，《中学数学教学》，《数学教学通讯》《数学通讯》等期刊发表多篇论文。

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一、文章摘要

浙江高考、学考对绝对值函数的考查素来情有独钟，热度可谓持续不减。绝对值的应用本身就是一个重要的数学概念，众多文献资料对绝对值问题的处理方法列举颇多，层出不穷，本文从另外的视角，对双绝对值问题带来新的认识。

二、试题呈现

2018 年8 月浙江20 校联考填空题压轴题（第17 题）

笔者在阅卷的过程中，发现得分率几乎为零。在与学生的交流中发现，此题对学生而言，有一种最熟悉的陌生人的感觉。熟悉的是题目条件又是绝对值形式，问题也是熟悉的最值嵌套问题，陌生的则是此题该如何下手，如何成功地破解题中的双绝对值。

三、常规解法

这道题主要考查的是双绝对值函数最值的求解，考验学生的阅读理解能力，转化能力，对绝对值不等式的理解与应用的能力。下面笔者先谈谈这个试题的常规解法：

如何处理这两个绝对值呢，有以下的三种视角：

视角一：利用绝对值三角不等式

解法1：由二次函数的性质可知

视角二：以形助数，利用图像处理绝对值函数值域

视角三：利用绝对值的几何意义

点评：以上三种方法应该说是解决绝对值函数问题最基本的手段，三种方法核心之处在于都用了一个重要恒等式 |a|+|b|=max｛|a+b| ,|a-b|｝，其本质是把两个绝对值问题转化为一个绝对值问题进行研究，自然可以从绝对值函数图象与值域，绝对值三角不等式，以及绝对值的几何意义等方面思考，水到聚成。

四、新的解法

如前解法，我们习惯于利用降维的思想，将两个绝对值减为一个绝对值，其实两个绝对值之和结构本身也具有良好的几何意义。笔者仍从三个不同的几何视角给出新的认识。

视角四：我们知道在线性规划里|x|+|y|=1是一个对角线长度为2的正方形，那么|x|+|y|=k呢？显然可以当成对角线长度为2k的，并随着k 的变化可以缩放的正方形。

同样的方法我们可以巧妙而快速地解决2017 年浙江金华十校模拟卷中的填空压轴题，如下：

再比如2018 绍兴市高一第二学期期末卷中选择题压轴题，如下：

视角五：两个绝对值之和除了几何意义可以表示为四边形外，还有什么其他意义呢？其实在现实生活中也有它的背景-----曼哈顿距离i

点评：本解法将目标式子视为“曼哈顿距离”的视角非常精巧，后面两动问题的处理也顺理成章，但分类讨论的能力要求较高。如果只是填空题，不少学生和老师会直接取临界状态，虽然少了解法中的严格说明过程，但也不失为一种巧解。

其实“曼哈顿距离”在高考中出现很多次，甚至可以有更多的形态，包含了很多变形与创造，形如2014 江西高考理科第11 题。

而2014 年的浙江高考理科第10 题，“曼哈顿距离”若隐若现。

视角六：分拆函数，V 型函数开路

点评：本解法是用动静分离的手段，将不等关系转化为两个函数图象的位置问题。尤其是两动问题，“一定一动，先定后动，逐步调整”的原则更是重要。

五、解后反思

新的视角呈现的三种解法，也是对两个绝对值处理的一种新的理解。从此题的探究过程中，我们有这样的认识，双绝对值直接理解就是两个点之间的曼哈顿距离，若是换一个视角那么双绝对值的几何意义可以认同为正方形的对角线长度。我们在解题中若是从不同视角多样化处理，那么我们的问题会变得层次分明，更有意思，我们学习数学的兴趣也会被更好地激发。

浙江高考《考试说明》明确指出高考试题对学生的个性品质提出了要求。何谓个性品质？个性品质是指学生个体的情感，态度和价值观，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美好意义。

笔者认为，作为教师，我们首先要自己打开解题的思维，在教学过程中尽可能增加一些视角，方能在课堂上引导我们的学生去尝试用不同的眼光审视数学的问题，感受数学解题过程中的乐趣，思考哪种思维方式更适合自己，从而塑造自己独特的个性品质。