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前几天讲函数的单调性了。 作为函数最重要的性质（没有之一），总觉得还是要再强调下。 虽然书中说的很直观，但毕竟要将它应用于解题，对于高一新生来说，还是有一定难度的。 1 概念辨析 一.定义： ①增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。 ②减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。 二、理解： ①图像直观： 增函数：从左向右看，图像是上升的； 减函数：从左向右看，图像是下降的。 ②数量直观： 增函数：自变量越大，函数值越大； 减函数：自变量越大，函数值越小。 ③动态直观： 减函数：图像上的点越往右越低。 增函数：图像上的点越往右越高； 三、特别提醒： ①认准自变量的任意性： 比如：不能因为f(3)>f(1)而确定f(x)在含有1、3的区间内是递增的。 ②写好多个单调区间： 单调性相同的几个区间之间不能用并集。 如下图所示的函数，可以说函数在区间(-2,1)和(3,5)上单调递增，但不能说函数的单调增区间为(-2,1)∪(3,5)。 若要写出上面函数的单调增区间， 应写成“单调增区间为(-2,1)和(3,5)“。 ③认识两种单调等价性： 函数y=f(x)单调递增： f(x1)>f(x2) 函数y=f(x)单调递减： f(x1)>f(x2) ④规范证明五个步骤： 设值：令x1，x2∈D，且x1>x2(或x1<x2)； 作差：（或作商）：f(x1)-f(x2)； 变形：变形方式主要方式为因式分解、 配方和根式有理化； 定号：确定f(x1)-f(x2)的正负； 下结论：确定f(x1)与f(x2)的大小， 从而确定函数单调性。
2 单调性判定
现阶段，函数单调性判定主要有两种方法：图像法和定义法，有时也可以利用单调性的运算法则进行判定。 单调性运算法则是指： "增函数" + "增函数"═增函数 "减函数" + "减函数"═减函数 "增函数" – "减函数"═增函数 "减函数" – "增函数"═减函数 法则成立前提：在两个函数公共区间内成立。
附：图像解析  对称轴在区间左边 对称轴经过区间 对称轴在区间右边 动态图形说明
图像法是研究函数性质最直观的方法，对于函数单调性更是如此。 因此，要熟练掌握一些常见基本初等函数的作图要领，在应用其解题时，才会让自己更加的游刃有余。
附：“对勾函数”与其倒数
如果不能做出函数的图像，则可以考虑用单调性定义去进行判定，但须注意五个步骤的完整性，尤其是作差后的代数变形是关键，不可省略。 当然，并不是所有的函数都能用定义或图像来判定单调性的，在后续会介绍更一般性的方法——导数法。
3 单调性与参数范围
附：动态图像分析
附视频讲解： 你也练练手呗：
4 单调性与不等式
附视频讲解： 抽象不等式的处理，首先要考虑将其变化为具体不等式。主要途径有两二： ①已知解析式，代入即得具体不等式； ②未知解析式，借助单调性消对应用法则f得具体不等式。
5 单调性定义等价性
（答案见下方视频讲解） 视频讲解： 附标准答案：
6 单调性与方程
其实，研究函数单调性的最终目的，主要是为了求得函数的最大（小）值。 毕竟，函数的最值才是我们追求的最终目标。 所以，单调性的一个重要应用，就是求函数最值。 如果你注意观察所做过的习题，就会发现，大部分与函数相关的问题，都会涉及到求函数的最值。 但限于篇幅，最值的求法，本次不做说明，令做专题讲解。 END 相关链接： |
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