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很多同学在网上或者参考书中听过“瓜豆原理模型”一词。大部分人只知道种瓜得瓜种豆得豆，却不知道“瓜豆原理”是什么。 课本没有教的一些概念、模型，权当了解，可记可不记。 因为中考的每一道题目都可以归纳为一个模型。如果全部都记住，那不知道要到何年何月了。况且记住了，下次不考也是白费。 所以学校老师都说要“以不变应万变”，掌握好基础知识，学会问题的分析方法。这样才能面对新问题的时候不慌不乱。 本文内容选自以下地区： 2019·贵阳、2019·湖州 【题1】 （2019·贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是 ． 【分析】 仔细审题，题目中告诉我们△DFE的形状是不变的，始终为含30°角的直角三角形。当然，∠FDE是不变的。 而变化的则是点F的位置。 当点F由A运动到C的时候，点E也随之运动。 点F的运动路线是一条线段，易猜测点E的运动路线也是一条线段。 当然，我们还是可以通过确定起点和终点，来分析： ①起点：A与F重合，点E的位置与大小很容易确定。 ②中间位置：取一个特殊的点，不妨使得点E在DC上， ③终点：F与C重合的时候，点E的位置也是确定的。 通过以上分析，我们就知道点E的运动路线八成是线段了。起点和终点知道了，长度自然就知道了。 如果E的点轨迹是线段，从图中观察易得点E运动路线与DC始终保持垂直。 利用起始位置与中间状态，可以发现，这其实是一种旋缩的过程，始终保持形状不变，大小一直在变化，可以得出多个相似三角形，如图，△DEE′∽△DFA。 ∠DE′E=∠DAC=60°，所以点E的运动路线一直是在E'E这条直线上。 【答案】(4√3)/3． 【解析】解：E的运动路径是线段EE'的长； ∵AB＝4，∠DCA＝30°， ∴BC=(4√3)/3， 当F与A点重合时， 在Rt△ADE'中，AD=(4√3)/3，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°， ∴DE'=(2√3)/3，∠CDE'＝30°， 当F与C重合时，∠EDC＝60°， ∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°， 在Rt△DEE'中，EE'=(4√3)/3． 【总结】 这就是大家常说的瓜豆原理，种瓜得瓜种豆得豆。 当两个点与一个定点所连形成的三角形形状不变的时候，其中一个动点运动的路线会影响另一个动点的路线，它们的轨迹是一样的。 正如上题中，如果点F在线段上运动，那么点E也在线段上面。 如果点F在一个圆上面运动，那么点E也一定在一个圆上面运动。 【题2】 （2019·湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC=√3/3，D是BC的中点． （1）求OC的长和点D的坐标； （2）如图2，M是线段OC上的点，OM=2/3OC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F． ①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标； ②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长． 【分析】 这里重点分析第（2）②题。 本题中，我们可以确定D与B是定点，而点P是OM中的动点。 当点P运动时，点E与F也随之变化。 可以发现点F其实是因为点E的变化而变化的，因为F为DE与AB的交点。 所以点E的运动轨迹确定之后，点F的运动轨迹也容易确定，那么点G的运动路径也容易确定下来了。 首先我们可以令点P与O重合，得到E的起点；再令点P与M重合，得到E的终点。然后再构造等边三角形即可。 通过观察，其实我们只需要确定点F的起点与终点就可以了。 与上面的【题1】是完全类似的。∠DGG′=∠DFF′。 【答案】 解：（1）∵OA＝3，tan∠OAC=OC/OA=√3/3， ∴OC=√3， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC＝OA＝3， ∵D是BC的中点， ∴CD=1/2BC=3/2， ∴D（3/2，√3）； （2）①∵tan∠OAC=√3/3， ∴∠OAC＝30°， ∴∠ACB＝∠OAC＝30°， 设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处， 则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF， ∴∠DB'C＝∠ACB＝30° ∴∠BDB'＝60°， ∴∠BDF＝∠B'DF＝30°， ∵∠B＝90°， ∴BF＝BD·tan30°=√3/2， ∵AB=√3， ∴AF＝BF=√3/2， ∵∠BFD＝∠AEF， ∴∠B＝∠FAE＝90°， ∴△BFD≌△AFE（ASA）， ∴AE＝BD=3/2， ∴OE＝OA+AE=9/2， ∴点E的坐标（9/2，0）； ②动点P在点O时， ∵抛物线过点P（0，0）、D（3/2，√3）、B（3，√3） 求得此时抛物线解析式为y=-2/9 √3x²+√3x， ∴E（9/2，0）， ∴直线DE：y=-√3/3x+(3√3)/2， ∴F1（3，1/2 √3）； 当动点P从点O运动到点M时， ∵抛物线过点P（0，(2√3)/3）、D（3/2，√3）、B（3，√3） 求得此时抛物线解析式为y=-2/27 √3x²+√3/3x+(2√3)/3， ∴E（6，0）， ∴直线DE：y=-(2√3)/9x+(4√3)/3， ∴F2（3，(2√3)/3）； ∴点F运动路径的长为F1F2=(2√3)/3-√3/2=√3/6， 如图，当动点P从点O运动到点M时，点F运动到点F'，点G也随之运动到G'． 连接GG'．当点P向点M运动时，抛物线开口变大，F点向上线性移动，所以G也是线性移动． 即GG'＝FF'． ∵△DFG、△DF'G'为等边三角形， ∴∠GDF＝∠G'DF'＝60°，DG＝DF，DG'＝DF'， ∴∠GDF﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'， 即∠G'DG＝∠F'DF 在△DFF'与△FGG'中， DF'=DG'，∠F'DF=∠G'DG，DF=DG， ∴△DFF'≌△FGG'（SAS）， ∴GG'＝FF'=√3/6 即G运动路径的长为√3/6． |
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