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∞用来表示某物是无限的或无止尽的。在古希腊时代，人们第一次探索无限的本质时，哲学家们常常讨论无限的性质，以致于无限有了自己的哲学范畴。在17世纪，人们用微积分和无穷小量的思想来探索无穷大。令人惊讶的是，无穷大在微积分领域的表现非常出色，从自动驾驶汽车到水箱维护，它在许多现实世界的应用中都表现出色。 人们很容易沉浸在无穷这个概念中，尤其是当它被用作一个数的时候。根据哲学上无限的含义下面的说法似乎是正确的。
当然，当无穷大与其他数字一起使用时，会产生许多矛盾。这就是为什么像上面这样的数学表述被认为是愚蠢的。然而，即使无穷加1仍然等于无穷这一观点在数学上被排除了，无穷意味着什么的哲学表明它的概念是有意义的。无穷大并不像静态意义上那样被认为是最大的数，而是一个连续不断的过程，比如不断地在已知最大的数上加1。然而，对于人类的大脑来说，把这样一个非人类的想法储存成数字之类的东西是很方便的。 在微积分中，无穷大并不是一个数字，而是一个概念。它和我们所理解的数字的性质是分开的 由于我们对无穷大的性质所知甚少，因此我们可能会惊讶地发现，无穷大的大小是不同的。这可以用康托尔著名的对角论证来证明，它表明无限集可以有不同的大小。我们知道整数集（1，2，3……）是无限集，实数集（0.5，π，e……）也是无限集，这两个无限集是否具有相同的大小？本质上，实数要比整数要多，如何比较这些集合的长度？ 康托尔的对角论证明确指出，无限集合T和自然数的无限集合大小不同。 考虑一个集合T由无限集合S(n)的几个子集组成，每个子集都由0和1组成。因为显然有无数个S(n)，因为n可以是无穷大，所以集合T的长度也是无限的。
此外，集合T与自然数N的集合是双射的，这意味着T可以与自然数的集合一一对应。这意味着T和N是相同的大小。 。构造一个序列q，使得每个下标n从0开始，一直到无穷，q的第n个指标是T的第n个元素的第n个指标的补数(对边)(T[n])，这在康托尔的对角论证中创建了对角线。下面的图可以清楚地说明qsh
集合q不等于T的其他元素，因为它们的第n位数字总是不同的。因此，通过构造，q不同于T的任何元素，尽管T已经无限长，包含所有可能的0和1的无限组合。 因此，集合T，加上一个附加的子集q，不能与无限自然数集合一一对应。
此外，可以构造一个新的序列m，使得它对于包括q在内的T的所有元素都是唯一的。因此，即使集合T已经是无限的，它也会随着唯一的新元素无限增长。在这个意义上，T可以被认为比集合N大无穷倍，尽管它们都是无限集。 康托尔的对角论证告诉我们存在许多大小不同的无限集。这太迷人了！ |
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