自然数不是属于整数吗？为什么两者还一样多？

1 康托尔

本课会对自然数集  、整数集  、有理数集  、实数集  中包含的元素个数进行比较，以及解释为什么需要进行比较。所涉及到的内容也许非常反直觉，可能需要几个小时、几天才能逐渐摆脱不适。这并不奇怪，要知道最初的人们为了领会它甚至花了好几十年的时间。

1.1 康托尔的数学成就

让我们从现代集合论的奠基人格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845－1918）说起：

从 1874 年开始，康托尔开始研究各种数集的大小，也就是研究数集的基数，并且开始比较这些基数的大小关系。这在当时非常离经叛道，康托尔不光研究无穷大（有些神学家认为只有上帝才有权利解释无穷），还认为无穷大之间可以进行比较，这遭到以利奥波德·克罗内克（当时最著名的数学家之一，还是康托尔的老师）为首的众多数学家长期攻击，最终致使康托尔在 1884 年患上了躁郁症。在第一次世界大战期间，他陷于赤贫状态，最后死于哈雷大学的精神病院。

1.2 康托尔的数学成就

康托尔在 1874 至1884 这十年间的研究成果，是集合论的起源，并且真正开启了对无穷的研究，可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的”。所以，大卫·希尔伯特会说：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去”：

对无穷的研究是现代数学的特征之一，本课会借助数集基数的讲解，揭开无穷的冰山一角。

2 自然数的基数

2.1 自然数集的基数

自然数集中有无穷多个元素，康托尔直接定义它的基数如下，读作“阿列夫 0”：

  并不是传统意义上的数，只是给了自然数集无穷大的基数一个代号。

2.2 非负偶数集的基数

非负偶数集

也是一个无穷大的集合，它的基数为多少？康托尔的答案是，非负偶数集中的元素和自然数集中的一样多，即两者的基数是一样的：

这是一个非常革命性的结论，在当时也遭到了强烈的抨击。要知道非负偶数是自然数的一部分，居然说两者是一样多，那是不是以后出去吃饭，吃了一片牛排，就需要付整头牛的钱？

2.3 经典的非议

康托尔的逻辑是这样的，我们说三只羊和三个苹果一样多，这是因为它们之间可以一一对应起来：

而自然数也能和非负偶数建立一一对应关系，所以康托尔说两者的基数是一样多的：

不管你能不能接受这个说法，让我们先继续下去，在本课的最后你会看到这样做的好处。

练习题

对于正奇数：                                                                                                

 它的基数和自然数一样吗？

A: 一样     B: 不一样