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数学是一门严谨的学科，但是总有些出人意料的数学题，他们都具有悖论和概率的特性，而且总是能引起一些争论。下面分享几个有趣事实，颠覆你的思维？ 1.偶数（奇数）与自然数一样多 偶数与自然数，哪一种数多？这时，恐怕很多人都会说：“当然是自然数比偶数多了。”可能还会有人说：“偶数个数等于自然数个数的一半！”什么道理呢？因为奇数与偶数合起来就是自然数，而奇数与偶数是相间排列的，所以奇数与偶数一样多，其个数都是自然数的一半。 自然数包括偶数，偶数是自然数的一部分，自然数比偶数多这不是显而易见、再明白不过的事吗？听起来好像确实是这么一回事，可事实是不是这样的呢？ 16世纪，意大利著名科学家伽利略也曾研究过这个问题。他曾提出过一个著名的悖论，叫作“伽利略悖论”，内容类似偶数和自然数一样多。这似乎违背常识，因为在1～10中，你只要数一下，就可以知道自然数有10个，偶数有5个，两者相比较，很清楚，自然数比偶数多5个。但毕竟自然数和偶数可远不止那几个，所以在比较两者数量的时候这往往是不正确的，为此伽利略提出了无限的问题。对于无限的数量，数的办法是不行了，因为无限多是永远数不完的。 那有什么方法可以用来比较它们的数量呢？其实，我们可以用“一对一”的方法来进行比较。一一对应是比较物体的个数是否相等的最简便、最直接的方式。 自然数集 偶数集 1← →2 2← →4 3← →6 4← →8 ... ... 我们发现两者的数量一样多，但是根据现有理论得出的结论却违反常理，这个问题最终以康托尔的集合论创立而解决．  康托尔 根据康托尔的理论，它把无限集分为可数集与不可数集，可数集是指集合里的元素能与正整数形成一一对应的关系的集合；从这个角度说，奇数能与正整数形成一一对应关系，偶数也能与正整数形成一一对应的关系，故奇数与偶数个数是相等的，同理自然数与正整数形成一一对应的关系，那自然数与奇数一样多，自然数与偶数也一样多；是不是很奇妙！ 2. 0.999999999999999(无限循环）=1 很多人看到这个式子时，第一感觉是等式不成立，造成这种原因是我们很多人无法理解无限的概念。 其实早在 1770 年，大数学家欧拉在他的《代数的要素》中证明了一个类似的等式： 10＝9.999... ，缩小十倍是不是就是以上我们看到的等式？  欧拉 在欧拉之后极限这个概念出现之后，渐渐出现了以下这种更为形式化的极限证明方式： 0.999999999999999(无限循环）=9/10+9/100+9/1000+…无限加下去，这是个等比级数，且当公比|q|<1时,这个级数就收敛，也就是有极限，极限值为a1/(1-q)，所以这个级数当n趋于无穷时就收敛于0.9/（1-0.1）=1 一石激起千层浪，这个问题引起了科学界广泛而持久的讨论，在这个问题引发争论之后，各路数学豪杰均试图证明这个等式。 大卫·福斯特·华莱士在他的 《Everything and More》一书中给出了一个著名的证明方式： 令 x = 0.999... 所以 10x = 9.999... 两式相减得 9x = 9 所以 x = 1 历经几百年，很多伟大的数学家给出了自己的证明方式。我选取了以下简洁优美的证明过程： 有除法：1/3 = 0.3333333（无限循环） 两遍同乘3：3 * 1/3 = 3 * 0.3333333（无限循环） 得：1 = 0.9999999（无限循环） 尽管随着时间的推移，一代代人的不懈努力，证明是越来越完备了，但是人们的疑惑却从来没有因此而减少。当大家看到这个等式之后，总是会大吃一惊地说：你特么逗我呢，这怎么可能呀，0.999… 显然应该比 1 小呀。历久弥新，时至今日这个等式的魅力依然不减。 3.男孩（女孩）谬论 这个问题是这样的：假如一个家庭中有两个孩子,其中一个孩子是男孩,那么第二个孩子也是男孩的概率有多大呢? 很多人看到这个问题时候，肯定会不加思索说是1/2，因为第二个孩子要么男孩，要么女孩，概率当然是1/2，事实真是如此吗？正确答案是1/3，很多人就有疑问了，哪算出来荒谬的1/3。 我们一起来分析下：两个孩子总的可能性有：哥哥弟弟，哥哥妹妹，姐姐弟弟，姐姐妹妹四种情况，其中一个男孩的概率3/4，两个都是男孩的概率是1/4，而题目问的是在一个男孩的基础上第二个是男孩的概率，这是一个条件概率的问题，答案是1/4÷3/4=1/3 看完上面你是否感觉要怀疑人生了，但这些却都是无可争辩的事实。其实数学这门学科，如果你认真去思考，你会发现其实很有趣，很好玩。 |
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