 ——百年病态集论的症结 黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631） [摘要]数（点）集最起码常识凸显应有几何起码常识:至少有两个元点的图A平移非0距离变为B（≌A）必≠A。此常识让几何学有史2300多年来一直未能识的伪重合直线一下子暴露出来。由自然数组成的两数集（列）是否相等的问题是初等数学中的初等数学问题。医学若将前所未知的“新冠”病毒误为已熟知的流感病毒，后果...；初数中的初数将前所未知的集合（元为自然数）误为已熟知的集就使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。初等几何最最起码常识:图A≌A让5000（2500）年都无人能识的>N（R）一切数的标准无穷大自然数（实数）及其倒数一下子浮出水面(伟大科学家莱布尼茨早就洞察到存在这类无穷数但一直未能从数的高度上来证明存在这类“更无理”数)揭示存在比R轴长的直线从而推翻百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”、...。 [关键词]用而不知的N（R）外“更无理”标准自然数（实数）；伪重合直线；将无穷多各异假N（R）误为N（R）；长度不同的直线；可成与不可成为数对集的数集；世界著名数学家庞加莱、莱布尼茨 李醒民等编科普书《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首。有科普书将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。然而科普文《数学科普：看图识破康脱百年“骗术”：“部分可=全部”》（见深圳科普网）指出集论是极荒唐谬论，所以“最伟大创造”其实是将歪理邪说误为“高深理论”。集论是统治数学王国的国王，科普文将这国王“拉下马”了，但限于篇幅该文不得不漏掉了极为重要的论据，本文是对该文的重大补充。教（读）书的科普知识：科教工作者应：不唯书不唯上，只唯实。学习前人知识是为了见前人所不能见以创造前所未有的知识（杰出人才的特征），而非为了简单重复前人认识和应付考试。注：现在是互联网时代，俄罗斯一数学家获百万奖的论文只是发表在网上而没在纸质期刊上发表。 1.图说数集最起码常识凸显“R各元x的对应数x+1的全体是R”是中学数学几百年重大错误 初等几何2300年“最起码常识”：有无穷多个公共点的直线必重合。据此有初中几何的直线公理即希尔伯特的《几何基础》中的公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线。继而有……。直线A有两异元点a和b，另一直线≠A经运动变为通过a和b的直线B，据直线公理A=B，于是有“定理”：凡直线必≌。 设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A；G=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表F各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。本文中集合均至少有两元。定义：若数集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。可将本文中关于图形的论述全部去掉（即可没点与点集概念）而不作任何几何解释地仅凭数（数组）集相等、≌的定义证明两集是否相等是否≌。 数（点）集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应）则称A=B；若可一一对应近似相等则A≈B。若点集A与B各元点可一一对应重合则称A=B。本文最关键论据之一：若A与B是同一集则A必可（不是“只可”）恒等变换地变为B=A。 天体力学中的地球可是质点。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），此x变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的点是同一点）。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为R轴各点，变数可形象化为g内动点。 a=0.0001≈0,R各元x保距变为y=x+a≈x+0组成｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴各元点x沿管道g保距平移变为点x+δ=y=x+a组成元为点y的y=x+a轴即R轴沿轴平移变为y=x+a轴叠压在x轴上。中学数学认定y轴=x轴（自有函数和无穷集概念几百年来数学一直有函数“常识”：R各元x的对应数x+a的全体是R），因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。显然R各元x只可与各对应数x+a∈｛y｝中的x一一对应相等而与各x+a≈x本身一一对应近似相等：x↔x+a≈x。在平移变换：x↔x+a（↔两边的x是同一x）中当且仅当a=0时才是恒等变换（a≈0时是近似恒等变换）。各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换；因“≈”与“=”不能同时成立故x轴近似恒等变换地变为y=x+a（≈x）轴≠x轴。在平移运动中显然当且仅当平移的距离=0时才是恒等变换。其实“对R从小到大一个不漏的每一（一切）元x都有对应数y=x+a>x”明确表示有数y（∈y=x+a轴）>R一切数x而不可与R任何元x对应相等（严格证明见第5节）。关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含意。可见数集相等及近似相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+c（c是正常数）轴≠x轴，当平移的距离≈0时y轴≈x轴。当然肉眼不可察觉此事实，但下文使人凭肉眼就能察觉。 有共同横坐标的点（x，y）与点（x，y′≈y）近似重合。xy平面的x轴各点（x，0）均有两对应点：点（x，y=x）∈直线y=x和点（x，y=x+a）∈直线y=x+a≈x，所有对应点组成平面直线：y=x（y 的变域是R）和y=x+a≈x，这两线近似重合的原因是：两线各有共同横坐标x的点的纵坐标y=x与y=x+a≈x一一对应近似相等；显然若一一对应相等则两线必重合，故其不重合形象直观地说明R各元x与各对应y=x+a不可一一对应相等。将y=x+a换为y=x+1就形象直观地说明各x与各对应x+1不可一一对应相等。第5节严格证明了有正数x∈R的对应数x+1“更无理”地>R一切数x。 图：○→○表示圆盘A平移非0距离变为新圆盘B≌A，显然当且仅当平移的距离=0时才是恒等变换。所以应有h几何起码常识:至少有两个元点的图A平移非0距离变为B（≌A）必≠A（因A不可恒等变换地变为B）——推翻直线公理。据此常识x轴即R轴沿本身平移非0距离|c|变为y=x+c轴≠x轴可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛；而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异线（数轴）误为同一线（轴）：x轴。进而将无穷多各异平面（空间体）误为同一点集。注：平面（空间体）由无穷多相互∥的直线（平面）组成。可见h几何起码常识使2300（300）年初等几何（解析几何）一直未能识的伪重合直线一下子露出原形。 2.数学大师莱布尼茨洞察到客观存在无穷小、大数但一直只有感性认识 数学史表明没无穷数就没高等数学，正如没数学就没物理学一样。有过人科学洞察力的莱布尼茨在其科学实践中深深体会到:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的[1]”百年极限论之前的二千多年数学一直“非法”使用无穷大、小数进行计算推理从而取得一系列辉煌成就（“实践是检验真理的标准”），但对这类未能引进但又一直使用的“黑数”一直无力实现由感性认识到理性认识的飞跃而一直解不开为何“用'不存在’的'数’进行推理计算竟能使莱布尼茨及数学得到一系列正确结果”谜团，正如西医无法解开：人体“不存在”经络系统，但经千百年实践检验的中医的经络学说却为何行之极有效这一谜团一样。伟大科学家的太伟大实践往往要超前理论千百年。经千百年实践检验的中医药学因还处于理论上还说不清的唯象论阶段故有人说其是伪科学，因不能从理论的高度上来说清楚存在无穷小、大数使标准分析否定存在这类数。下节证明标准分析一直在使用R外标准无穷小、大正数，只不过一直将其误为∈R罢了，正如群众将便衣警察误为非警察一样；没这些“非警察”(标准无穷小、大正数) 就没社会的平安（没标准分析）。 3.百年病态集论的症结：初等数学几百年重大错误：将假N误为N 变数n取自然数。“自然数集（列）”N=｛n≥0｝，“实数集”R⊃N各元x均有对应标准实数x+1、2x、等等。同一字母x可代表各不同的数，同样为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集，其余类推。设“集（序列）A～B”表A与B有一样多个元（项）。 设F=｛（x，y）｝表F是元为有序数对的数对集, 但F同时也可是以数为元的数集；当且仅当数集A各元可两两配对时，A才可成为数对集。将一数对（x，y）中的x（或y）挖去就留下一“单身”数y（或x）；挖去F中部分x就使F变为有“单身”数y的Θ=｛（x，y），（，y）｝——表Θ是由有序数对和单身数y组成的混合集（可规定单身y只能与F内x配对）。其余类推。 h定理1：混合集Θ=｛（x，y），（，y）｝（各数互异）中的x与y任意重新配对不能使Θ变为没“单身”数的数对集。 证：Θ中数y只能与Θ中数x配对使一单身y变为非单身的同时必拆散一数对（x，y）而生一新的单身y，这是一对一的。所以任意重新配对不能使Θ中“单身”的个数有任何减少。证毕。 本文将序列的首项编为第0号项且设在某些时候可将序列的某些逗号省略。挖去N=｛n≥0｝的0得N+=｛n≥1｝⊂N。N的偶数n=2q=0，2，4，...和奇数n=2q+1可一一配对使N各数n可两两配对成一数对序列（集）N=｛（0，1）（2，3）…（2q，2q+1）…｝，挖去N的0得N+={1，（2，3）（4，5）...}=｛n≥1｝是既有数对又有“单身”数1的混合序列；“拆东补西”地让一偶数n与奇数1配对，n的原“配偶”就成一新单身奇数，故N+中偶、奇数无论怎样重新配对后都保持有一单身奇数从而使N+不能成为数对序列。为什么？因N+中奇数比偶数多从而使N+各数不可两两配对。关键：据h定理1“拆东补西”不能使混合序列N+变为没“单身”项的数对序列。混合序列N+各数n≥1减1变为y=n-1（≥0）∈N使N+变为N′={0，（1，2）（3，4）...} （～N+）是N的子集，混合序列N′各数不可两两配对，而N各数可两两配对，这说明N={n≥0}≠N′={n-1≥0}（n≥1）⊂N。包含N′的N≠N′说明N中必至少有一“更无理”的N′外自然数>无穷数列N′一切数。详论见[2]。自有函数和无穷数列（集）概念几百年来数学一直将～N+的N′误为N⊃N+使中学有函数“常识”：定义域为N+=的一次函数y=n-1的值域N′=N⊃N+～N′，从而使康脱推出：N⊃N+～N。 各点按规定进入各指定位置才能形成一点集。R轴即x轴各点x都在位置x内而与该位x结成对子（点x，位置x），挖去R轴一个点x就留下一个“洞”（空心点）：“单身”的位置x。故R轴是元为对子的对子集，而有洞直线是有“单身”元的混合集，挖去R轴一切点x就留下一空“洞”（空心点）集～R。可用○表示“洞”即表示R轴上点的位置。 数集N一切奇数n=2q+1组成E={2q+1}，N各数n变为奇数2n+1组成的E′={2n+1}（～N）=E吗？这是师生们不屑一顾的初数中的初数问题。中学几百年函数“常识”： E′=E其实是将两异集误为同一集。 元为对子的对子序列（集）F={ⓞ，①，②，...， ⓝ，…}（可看成是配对图，F中数列是N。）中ⓝ表示n在第n号洞内而与该洞配对成F～N的第n个对子。挖去F一切数就留下一空洞序列（集）K:○○○...，K各元○与N各元一一配对成对子集F={（n，n号洞）}。挖去F中数列N的一切偶数n=2q就留下一有无穷多空洞○的混合序列（集）Θ={○①○③○⑤...}（Θ与F有一样多个项），“拆东补西”地让一奇数n=2q+1离开原位去与一○配对成新对子ⓝ的同时必生一新单身洞○，故Θ中○与数无论怎样重新配对，新配对前有多少个单身○，新配对后也有多少个单身○。所以Θ中数2q+1∈E不可填满F的洞○（一○只能容一数）即E={2q+1}⊂N中数2q+1不可填满F的洞○，原因显然是Θ中数∈E比○少（说明E⊂N的元少于N～F～K的元），正如“整数点集”Z={...，-2，-1，0，1，2，...（各数是数轴上点的坐标）}各点不可填满R轴的洞○的原因是Z 的点比R轴的洞○少一样，两集的元不可一一配对的原因是其中一集的元少于另一集的元。这表明同是有首项的无穷序列，此列的项可多于彼列的项；鲜明对比的是F={ⓞ①②...}各数n变为奇数2n+1∈E′得对子序列 J′={①③⑤...} 中奇数可填满F的洞○。这说明E={2q+1}⊂N的元少于E′={2n+1}～N的元。E′～N的奇数可填满F的洞○，而E的奇数不可填满F的○充分说明E是E′的真子集；下节严格证明了E′～N有元2n+1在N⊃E外！h定理1表明Θ={○①○③○⑤...}各数2q+1左移改与q（=0,1,2，...）号洞○配对成新对子得 J={①③⑤...；...}（几百年假象：J=没空洞○的对子序列J′） 还是混合序列而必有新的空洞○在一切新对子的后面，且Θ有多少个○J也有多少个○。不能想当然地简单认定J无空洞○项，对“无穷”须特别小心谨慎、过细，否则就要出错。所以中学几百年“E={2q+1}=E′={2n+1}”是肉眼直观错觉；这错觉使康脱推出康健离脱的病态“定理”：N～E′=E⊂N 。地球上的人因视野太狭窄从而凭肉眼不能看到地球是球体，如[3]所述，没思维望远（显微）镜从而目光太短浅的“肉眼”数学无法正确认识无穷远处的情况而有肉眼直观错觉：J中没空洞○,正如有肉眼直观错觉：两∥直线可在无穷远处相交（人站在两铁轨之间看两铁轨是逐渐靠近而不∥的）那样。肉眼不能将J的项都看到，但人有逻辑推理能力，“拆东补西”不能使有空洞项○的序列中的○有任何减少；“慧眼数学”能洞察J中有无穷多个空洞○而不被肉眼所骗。详论见[3][4]。显然J中各空洞○的序号数全都是与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数，人类认识自然数后的5000年里一直无人能证明存在此类自然数从而使初数一直将前所未知的自然数误为已熟知的自然数。“肉眼”数学一直被无穷对象中的假象迷惑而以为Θ中各数保序移动可无中生有地使Θ中数变多：多到可填满F（Θ）的○，正如幼稚小孩以为魔术师真能无中生有那样。 可将○看成是空圆盘，设一空间位置只能容纳一圆盘，Θ={○①○③○⑤...}中各圆盘与各位置已一一配对；一圆盘前移“夺占”另一圆盘的位置的同时其原所在位置也变空，故被夺占位置的圆盘都可后移到空位上。所以Θ各写有奇数2q+1的非空圆盘可保序前移到q（=0，1，2，...）号位内，而各空圆盘可保序后移到空位内得J={①③⑤...；...}中必有无穷多个空盘○在一切非空盘的后面，因圆盘的移动只是改变位置。“幼稚小孩”以为“魔术师”真能仅改变圆盘的位置就可使Θ中空盘○凭空消失。显然J中①与任一空盘○之间的所有项形成一有首、末项的无穷序列。 无穷级数x=[+1]+（-1+1）+（-1+1）+（-1+1）+...（小括号内有一对项：-1和1）=1+0=1的原因是式中1比-1多，几百年级数论一直认定：通过重新配对，x中的-1和1能一一配对使x变为（1-1）+（1-1）+（1-1）+...=0。据h定理1这是错误的。 4.图A≌A让中学生也能一下子认识5000（2500）年都无人能识的N(R)外标准无穷大自然数（实数）——证实著名数学、物理学家庞加莱百年前伟大科学预见 数学图形可是离散的点的点集。“无界”的“整数点集”Z={±n}各元点x=±n（n∈N）∈R轴不保距平移变为点x+δ=2x=±2n组成｛±2n｝不≌Z从而更≠Z。 h定理2：数（点）集A=B的必要条件是A≌B。 证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换，所以B=A的必要条件是B≌A。注：若点集B=A≌A则B与A大小与形状都相同即B≌A。证毕。 保距对应是“一对一”的对应，“一对多”的对应不是保距对应使相应的像与原像不≌。N各数n不保距变为奇数y=2n+1组成E′={2n+1}（～N）不≌N。如[5]所述，N=｛n｝各数n有两个对应数：n、y=2n+1>2n，所有对应数生成B={n、2n+1}=｛n｝∪｛2n+1｝=N∪E′，这是不保距变换使B不≌N（这变换等价于N先不保距变为E′不≌N，然后N与E′合并成B。）不≌N，据h定理2B≠N。包含N的B=N∪E′≠N说明B必至少有一元y∈E′在N外，这N外的奇数y=2n+1（是与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数）显然>N一切数n使上节的E={2q+1}（⊂N）≠E′。 y=n+1>n=0，1，2，...（数列N）一目了然地显示y可>N一切数n而取N外数。N各n的后继数y=n+1的全体组成H=｛n+1｝。N=｛n｝各n变为两个数：n、y=n+1>n生成D={n、n+1}=｛n｝∪｛y=n+1｝=N∪H不≌N，据h定理1D≠N。包含N的D=N∪H≠N说明D必至少有一元y∈H在N外，这N外的y=y0=n0+1>n0∈N显然>N一切数n，式中n0=Ω是N最大元，因其后继y0在N外,所以数列N有末项。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数（其倒数是标准无穷小正数），人类认识自然数后的5000年里一直无人能证明存在此类与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。其实y=n+1>n=0，1，2，...（数列N）一目了然地显示y可>N一切数n而取N外数。初等数学的“对N（R）一个不漏的每一（一切）元n（x）都有同∈N（R）的对应数n+1（x+1）>n（x）”显然是病句：N（R）有元n+1（x+1）>N（R）一切元n（x）；从而使康脱推出病上加病的集论。注！庞加莱百年前就预言：后代人将把康脱的集论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了（见张锦文等《世界数学名题欣赏●连续统假设》20页）。 5.几何学有直线概念后的2300年里一直都无人能知有长度不同的直线 y=x+1>x∈R中：x可遍取R一切数使y>x可遍比R一切数x都大而取R外数——说明有x∈R的对应数y=x+1是R外数。将上节中的N换为R就相应有：R=｛x｝各元x变为两个数：x、y=x+1>x生成包含R的P={x、y=x+1}=R∪｛y=x+1｝不≌R中必至少有一元y=x+1>x∈R在R外而>R一切元x，若将此R外数记为σ则σ和σ+1等等及其倒数均是标准分析一直用而不知的标准无穷大、小正数，确如伟大的莱布尼茨所说:它们与R内有穷数是同时存在的。人类认识无理数后的2500年里一直无人能从数、数量关系的高度上来证明存在此类“更无理”数。所以如第1节所述，“R各元x的对应数x+1均∈R”是重大错误。这说明R轴即x轴沿轴平移变为y=x+1轴，y轴与x轴={x}合并成的P数轴={x、y=x+1}不≌x轴，所以“凡直线必≌”是被假象迷惑的肉眼直观错觉。两直线不≌说明其若无形状差别则必有大小差别。包含R轴的P轴不≌R轴有元点的坐标y=x+1=σ>R一切元x说明P轴是比R轴长的直线。 注：N有偶数n=2q和奇数n=2q+1，“N各数n（=2q、2q+1）变为两个数：n=2q、n=2q+1”其实是n变回自己；......。 6.结束语 “肉眼”数学因目光太短浅、视野太狭窄从而一直被无穷对象中的假象迷惑。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造5千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：从“肉眼”数学一下子突变成科学慧眼数学。王前：“当代数学大师陈省身先生曾预言:21世纪将是中国数学界在世界上发挥重大影响的世纪[6]”。详论见已在“预印本”上公布的黄小宁的相应长文。 参考文献 [1][美]鲁滨逊著，申又枨等译。非标准分析[M]，北京：科学出版社,1980:30。 [2]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。 [3]黄小宁。初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数[J]，课程教育研究，2017（50）：107。 [4]黄小宁。数列、集合、逻辑学起码常识暴露课本一系列重大错误——数列起码常识否定5千年“常识”：无最大自然数[J]，科技视界》2015（32）头版头条。 [5]黄小宁。几何、集合起码常识暴露中学数学一系列重大错误——几何起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，科技视界，2016（3）：92。 [6]王前。探索数学的生命：哲人科学家大卫·希尔伯特[M]，福州：福建教育出版社：1996：188。 |
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