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再论数学思想的转换
（一） 20世纪数学取得了惊人的发展，成绩是肯定的。它把数学推向了异常高深、复杂的领域，正由于它的高深和复杂，往往使一般群众无法理解和接受，故望而却步。数学成为数学家们专有的神圣殿堂,而脱离群众越来越远。我们必须反思，难道它真的完美无缺吗？否。 数学是科学之母，数论（算术）是数学之母。无论近代、现代数学发展到什么程度，我们都很有必要回到母亲那里，去请教一下，弄清一些数学的基本理论和概念；否则，我们必将迷路。比如： “部分小于全体或全体大于部分”；“等量加等量或等量减等量，其两端仍然相等”这些公理，是绝对不能违背的。 （二） 在现代数学中，特别是在微积分学中，所谓无穷大量、无穷小量，是人们十分熟悉的，已经刻录在人们脑中，成为不可动摇、不可怀疑的思维。例如： ， 这是可理解的，它奠定了微积分学的基础理论。 ， 是增量，增加到趋近于0（但不等于0），这就是微分；现代数学还使用 ,奠定了极限的理论基础，这些都是对的。 但是，把高等数学中的思维，用到初等数学之中，特别是算术之中，那就不对了。我们不能因为有了高等数学，就抛弃初等数学，连算术都不要了。 前面提到的两个公理，是五大公理中的两项内容，我们希望不要忘记。 费马大定理，使数学家们神魂颠倒了三百多年，难道不应该引起我们深思吗？ 用高等数学去研究初等数学中的问题，那就是用“高射炮打蚊子”，大材小用，难得实效。 我们必须强调，绝不承认有什么：无穷大+无穷大=2个“无穷大”；无限多+无限多=2个“无限多”，甚至还有无限多个“无限多”。 请认真研究伽里略的告诫，思考希尔伯特关于“无限多蓝苹果”的数学问题。我们绝不能随意地把自然数推向无限，在那茫茫的无限领域，什么是奇数，什么是偶数，什么是合数，什么是质数，概念已经完全模糊，无限范畴没有数学。 （三） 概率论也是这样，近几十年来，随着科技的迅速发展，概率论广泛用于各个科技领域，出现了概率微积分。而概率论的基础部分、基本原理，也许已经在人们头脑中忘却。说早一点：即1657年惠更斯的《论机会游戏的计算》，也许人们还隐约知道那些早已逝去的“昔日情况”。 洽好，笔者学习过并讲授这门数学。那是1960年，我们把概率论的基本原理，改称“公算原理”，强调必须首先学好基本原理，否则在进入概率微积分后，人们容易困惑，特别是只具有中学文化的学员。我们基本的定义是：概率论，它是研究一定对象在一定条件下偶然事件（随机事件）可能出现程度的一门数学，学习时反复强调打重点号的概念。 其基本原理规定： 必然事件的概率为：1 不可能事件的概率为：0 偶然事件（随机事件）的概率：大于0，小于1； 例如：在一个布袋中装有10个红球（这是既定的条件），试问：随意取出一个白球的可能性是多少？ 回答：概率为0。摸出白球是不可能事件，因为根本就没有白球。 再问：摸出红球的可能性呢？回答概率为1，因为全是红球。 但是，如果袋里有5个红球和5个白球呢？那么： 摸红球的概率为：0.5 摸白球的概率为：0.5 概率用小数表示。 过去，凡用于投掷分币、掷色子、摸扑克牌等和用于赌博的概率，叫古典概率；在赌博数学中，把概率叫“机会数”；在炮兵射击分析中，也叫“公算数”。在各个研究对象中，也有不同的术语，在科技领域中广泛使用，当然也各有特色。如：统计学中，叫统计概率；它是以大量调查数据为基础，通过计算（加权平均）而得来的，是一种提供预见性的“预测资料数”；在财务分析中，是以年度（季度）的财务成果指标为基础，计算出来财务情况的预测数，用于预测和制定新年度各项财务指标的参考。 在炮兵射击中的概率，建筑在“试射”的实验基础上，也叫“实验概率”。根据“大数定律”，实验次数越多，越可靠。在炮兵射击中，还有一个特点，例如：发射一发炮弹，可能同时有两种事件概率：一个是得远近弹的概率；一个是偏左或偏右的概率；这两种概率可以同时发生在每一发炮弹射击中。因此，炮兵射击理论用的概率中有所谓“相容事件概率的加法定理”等；这个问题在统计概率中一般不会有。 所以，关于概率论这门科学必须强调它的“研究对象”和“一定的条件”，必须明确是一种研究可能性（程度）的数学方法。绝不能张冠李戴，乱搬乱用。 好了，回过头来，再谈数论。数学家卡尔•弗里特列希•高斯说：“数学是科学的女王，而算术则是数学的女王”。数论，就是算术，也叫高等算术。 人们几乎已得到一个共识；“在自然数中，素数有无限多个”（这里的无限多，是不计其数的意思，不是整个宇宙都充满素数的那种模糊概念。） 为什么说“素数出现的概率为零”？自然数中一个素数都没有了吗？显然，这违背了客观事实。 什么叫“无穷大”？什么叫“无限多”？比如：一个无穷大数，它到底大到什么程度，用数字表示，它是一个无限长的“长字”，长到充满宇宙。整个宇宙只有那一个数，其他一切消失了，不存在了，哪还有什么数学？所以，我提出：“无限范畴无数学”。 现在，我把[美]数学家阿尔伯特•H•贝勒先生的那段话，改写如下： 费马的灵魂在暗中嘲笑，20世纪的数学精英，虽然你们把数学推向了极其复杂、高深的领域，然而，却徒劳无功地望着那迷失的“美妙证明”而神魂颠倒了三百多年，到如今。 所以，当今的数学思想要做到两者相容，既要高等数学，也要初等数学；既要专家学者，也要广大群众；可否相融（相容）呢？ 最后摘录贝勒的一段话，他说： 数论之所以具有难以抗拒的魅力，其中很重要的一个原因是它的问题浅显易懂，但特别迷人。另外，它并不需要太多的预备知识。只要掌握一般高中程度的数学基础知识，初学者即可登堂入室，理解它的许多内容。 数学家卡尔•弗里特列希•高斯也说过： “高等数学中一些美丽的定理，具有这样的特性，它们极易从经验事件中归纳出来，但其证明却隐藏得极深，只有高人一等的研究者才能把它们挖出来，正是出于此种原因，赋于高等算术以神奇魅力，使之成为第一流的数学家们最喜爱的科学”。 |
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