|
数学是什么？这个问题是如此简洁，每个人都学过数学，似乎都可以回答这个问题。但是，真正来回答这个问题的时候，我们又感觉到某种力不从心，“茶壶煮饺子——有嘴说不出”。不过，我们还是可以从自身受过数学教育背景经历说出：“数学是运算”，“数学是测量、估算”，“数学是制定模型，解决问题”，“数学是研究数量关系和空间存在的学科”等等，这些观点无疑说出了“数学是什么”这个问题的一部分答案，那么，数学到底是什么呢？ 1、认知方法 我们暂且把这个问题先放置一边，先讨论一个有关认识方面的问题。请看如下所示，猜测一下这个图1 ~ 图4分别代表的什么？
从图1猜测，图1代表某个人的腿；从图2猜测，图2代表某人的手；从图3测，图3代表某人的鼻子和嘴；从图4猜测，图4代表一个女性的头部。其实，图1~图4是如下图所示美女身体的一部分：
图5 美女 对图1腿的观察，有两种方式：一种就是采取局部观察，只观察图1；另一种是采取在整体框架内观察，就是在图5所示整个人这个框架内观察腿。这两种不同的观察方式，会带来思维及认识方面的不同。采用局部方式观察，我们大脑里面一般仅仅是在思考腿，很难会去想象身体的其它部位，例如手、鼻子、口、眼睛，更不会去想象，把手和脚联系到一起了，手脚并用协调地工作，完成一件具体的任务。 笔者举上面的例子是想介绍一个认知观点：1、先逐一考察事物的各个片面部分；2、抽象出事物各个片面之间本质的联系；3、运用事物各个片面本质之间的联系，将事物的各个片面“融合”在一起，从而获得事物的整体性认识。 对于上例而言，我们是逐一认识人的大腿、手、鼻子嘴巴、眼睛等片面部分，这些身体部位是通过骨骼紧密相连，最后形成了一个完整性的人--美女，从而获得一个对人的整体性认识。 2、什么是数学？ 其实，对于数学的认识也是这样的。德国著名的数学家菲利克斯.克莱因的名著《高观点下的初等数学》将数学的各个分支归纳为算术（数及数论）、代数（实数方程、复数方程）、分析（对数函数、指数函数、角函数、无穷小）、几何等，如果用数学理论的精确程度来分类，又可以将数学分为精确数学、近似数学。我们可以把数学的所有分支都类比到人身上各个部位，如下图所示：
图6 类比 是什么东西将算术、代数、几何、分析等数学分支相联系在一起的呢？或者说，这些数学分支之间的本质联系是什么？答案是逻辑。这里的逻辑是指亚里士多德式形式逻辑，不是中国古代名家逻辑，更不是什么辨证逻辑。逻辑是数学的“骨骼”，所有的数学分支都是通过逻辑这个“骨骼”紧密相连。 我们接受数学教育，会逐一学习算术、代数、分析、几何等数学分支学科，如果我们学习算术的时候，思维仅仅在思考算术问题，与上面观察人体类比这个例子中，仅仅观察其中第一幅图是一回事。换句话说，没有把算术（问题）放到数学这个整体框架下来思考，或者很少把算术（问题）与几何（问题）这样“手脚并用”来思考和解决一个具体的数学问题或实际工程问题。 那什么是数学呢？要回答这个问题，要先学习数学的各个分支（算术、代数、分析、几何等），然后把这些分支通过逻辑这个“骨骼”合成一个整体，这就是数学。反过来，对于各个数学分支，例如算术（问题）的思考，要放到数学这个整体下来观察和思考。 下面笔者再提出几个具体的数学问题，进一步说明上述观点。 问题1：什么是分数 问题2：分数与有理数和无理数有什么关系？ 问题3：循环小数的循环位数如何确定？ 问题4：连分数有什么意义？ 对于第1问题“什么是分数”，我们多半只是想到一个饼子分成几个相等的部分，其中之一就是几分之一，很少会去思考第2、3、4个问题。如果我们脑海里面对分数的印象只有第一个问题的话，那么，我们对分数的了解和理解无疑是肤浅的。分数意义的完整理解，是要将这4问题，通过逻辑合并起来，才能获得整体性理解。 我们先讨论第2个问题。有理数包括整数和分数，分数又分有限小数和无限循环小数，例如1/4，1/3，前者1/4 = 0.25是有限位小数，后者1/3 = 0.3333....是无限循环小数。其实，整数也可以用分数表示，例如5可以表示为 5/1或者10/2等。那无理数与分数是什么关系呢？一方面，无理数不能用分数来表示；另外一方面，无理数可以用两个分数来“夹逼”。 人类对无理数的认识始于古希腊数学家希帕索斯（Hippasus，500 BC--），相传因这个发现，希帕索斯动摇了其老师毕达哥拉斯的关于宇宙的信条“宇宙是由数和数的比组成”，使得毕达哥拉斯的理论面临破产，从而引起了他的震怒，毕达哥拉斯派人到处找他，最终在希腊爱琴海某处一艘小船上找到希帕索斯，手下人将希帕索斯丢到大海喂鱼了。由此可见，人类每获得一个真知，是多么不容易，很多时候还要付出生命的代价。[1] 后来，古希腊数学家喜帕克斯（Hipparchus，190 BC - 120 BC），在沙盘上研究正五边形作图的时候，发现了不可公度比存在，进一步加剧了“无理数危机”（史称第一次数学危机）[2]。虽然无理数的认识，当时引起了包括毕达哥拉斯在内的数学家的恐慌，但是，古希腊数学家欧多克斯（Eudoxus，390 BC - 337 BC）用“夹逼定理”解决了“无理数危机”。虽然无理数不可能用一个分数（两个整数之比）来表示，但是，依据“夹逼定理”可知，可以把任意一个无理数用两个非常接近的有理数来“夹逼”：一个从下限逼近，另外一个从上限逼近。用数学来表达，对于任意大的整数N，恒有m，使得下列不等式成立： m / N < 无理数 < (m + 1) / N 对于“夹逼定理”，我们可以形象地这样理解：我们想象用一双筷子去夹一块肉，肉就代表无理数，一双筷子就代表两个分数，我们用筷子想将肉夹多紧就多紧，相当于我们可以用分数无限逼近一个给定的无理数。 对于问题3，可以这样来表述：考虑一分数1 / p，其中p为2和5以外的素数。由此可证明，1 / p等于一无限循环小数，循环位数δ是使得10δ 除以p余1的最小的指数δ，用数论语言来说，δ是满足下列同余式的最小指数： 10δ ≡ 1（mod p） 这个问题的证明要涉及到数论中的费马小定理，具体证明过程请见菲利克斯.克莱因《高观点下的初等数学》一书。[3] 对于问题4，连分数是这样的一种特殊分数：
其中n0，n1，n2，...都是正整数。例如，π的连分数是：
“如果在连分数的第一个、第二个、第三个......偏分母之后停止展开，那么就称之为收敛子的有理分数”：[4] n0 = p0 / q0，n0 + 1 / n1 = p1 / q1，n0 + 1 / (n1 + 1/n2) = p2 / q2，... 每一个分数都给出了ω的一种近似，随着展开项的不断延展，近似的精度越来越高。“更准确一点说，其中每一个分数给出的近似数，比其它任何一个没有比该分数分母大的有理数更接近ω”。对于π = 3.141592665...而言： p0 / q0 = 3， p1 / q1 = 22 / 7 = 3.14285...，p2 / q2 = 333/106 = 3.141509...，p3 / q3 = 355/113 = 3.141592292...。 对于p2 / q2 = 333/106 = 3.141509这个近似而言，不存在一个分母比106小的有理数对π的近似比这个近似的精度高。因此，连分数在提高无理数计算的精度方面有重大的实用价值。换句话说，连分数是夹住无理数这块肉最好的“筷子”。 “从上面可以看出，收敛子p0 / q0 、p1 / q1 、...交替小于和大于π。这一点具有普遍性：即ω的连分数相继的收敛子交替地小于和大于ω，并把ω夹在不断缩小的数限之间。” 我们再来回顾一下整数、分数、连分数、素数、费马小定理、无理数等概念，前面的内容是把这些概念通过逻辑这个“骨骼”骨肉相连地串在一起了。我们现在对分数的认识，已经超越了将一块饼子分n等分这个水平了，现在我们脑海里面的分数是与整数、连分数、有理数、无理数紧密联系在一起的，从而极大地丰富了我们对分数的认识。 我们对于上面的这些概念的认识就算完了吗？上面这些认识仍然还是属于上面“第1~4幅图”的认识方法，仍然局限于在算术范畴。我们要把上面这些概念放到数学这个整体框架里面来认识，起码要做到“手脚并用”，就是要探讨整数、分数、连分数、素数、无理数的几何意义。 不失一般性，我们只考虑笛卡尔解析几何第一象限，将其中所有的正整数点都标出来，形成了格点平面，如下图7所示：
图7 格点平面 我们作一条从原点O（0,，0）到格点（a，b）的射线，其方程如下 x / y = a / b 设 λ = a / b（其中a和b是有理数，从而λ也是有理数），那么上式变为 x / y = λ “在这条射线上，有无穷个整数点（m*a，m*b），其中m是任意整数。当然，这些无穷个整数点，并没有包括第一象限里面所有的格点，仅仅是其中一部分。其实，这个第一象限区域包括有理数（整数、分数）和无理数。从O点向外看出，仅仅只是在有理数方向能够看到格点，在我们的“视野”之中，这些格点是处处稠密，但不是完全连续，就像我们在夜空中贯彻银河系一样，银河系里面的星星是处处稠密，同样也不是连续。如果x / y = ω，式中ω 是无理数，这类射线称为无理数射线，那么这类无理数射线仅仅只是在O点这一个地方通过格点，在第一象限任何地方都不与格点相交。初看，这非常令人惊讶。如果我们知道戴德金的无理数定义，就会明白，这类射线将第一象限分割成了两个部分，或者说两个数的点集，一个在射线之右，一个在射线之左。如果要问这些点集如何向x / y = ω趋近或收敛，那么可以发现，这与无理数ω的连分数有着非常简单的关联。在第一象限标出对于与无理数ω的连分数的收敛子pν / qν的每一个点（x = pν，y = qν） ，可以看到这些点交替地从左和从右不断逼近于无理数射线x / y = ω，正像pν / qν不断逼近ω无理数一样。我们还可以想象，把每一个格点都钉上铁钉，用两根扎头发的橡皮筋，一根把无理数射线ω左边的格点扎一下，另外一根把无理数射线ω右边扎一下，那么，形成的两个凸多边形的顶点，恰恰是无理数ω对应的连分数的收敛子格点（pν，qν），这些格点的坐标分别是收敛子的分子和分母，它们相继收敛于，左边凸多边形的诸顶点是偶序收敛子，右边凸多边形的诸顶点是奇序收敛子。换句话说：我们用两根扎头发的橡皮筋，扎出两个凸多边形来定义了连分数。”[4] 3、菲利克斯.克莱因的数学观 菲利克斯·克莱因(Felix Christian Klein，F.克莱因)（1849年4月25日－1925年6月22日）是德国数学家。克莱因生于德国杜塞多夫。他在埃尔朗根、慕尼黑和莱比锡当过教授，最后到了哥廷根，教授数学。他的主要课题是非欧几何、群论和函数论。他的将各种几何用它们的基础对称群来分类的爱尔兰根纲领的发布影响深远，是当时很多数学的一个综合。著作有《高观点下的初等数学》。他死于哥廷根。菲利克斯·克莱因是与法国庞加莱和德国希尔伯特齐名的伟大数学家。 菲利克斯.克莱因的数学观，一言以蔽之，就是“融合”，就是要将数学的各个分支（算术、代数、分析、几何等）通过逻辑这个“骨骼”融合成一个整体。反过来，对于各个数学分支，例如算术（问题）的思考，要放到数学这个整体下来观察和思考。 笔者后面将著文介绍菲利克斯.克莱因的“融合”数学观在解决实际的数学问题的巨大作用。 参考文献： 1、http://zh./wiki/%E5%B8%8C%E5%B8%95%E7%B4%A2%E6%96%AF 2、《千古之谜与几何天文物理两千年》，项武义等著，高等教育出版社，2010，p6 3、《高观点下的初等数学》，【德】菲利克斯.克莱因著，复旦大学出版社，p36 4、《高观点下的初等数学》，【德】菲利克斯.克莱因著，复旦大学出版社，p39~p40 http://blog.sciencenet.cn/blog-39840-623739.html 上一篇：孔乙己新传 下一篇：科学与经验 |
|
|
