无理数π，曾让数学家付出了生命

3月14日是π日，π就是圆周率。圆周率与费马大定理也有一定的联系。为了证明这个费马大定理，人类前赴后继挑战了三个世纪，多次震惊全世界，耗尽人类众多最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷。

 

费马大定理最早的出处——丢番图的《算术》

 

大约在1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”自此，一场对于费马大定理之证明的追逐与挑战开启，直到英国数学家安德鲁·怀尔斯手中，这个史上最深奥的数学谜题才得以完全解开。《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》讲述了怀尔斯经过数年秘密辛苦的工作，终于解决了挑战性的数学问题的艰辛旅程，并来回穿插着历代数学家是如何挑战这个数学之谜的故事。而承认π是一个无理数，也是提出费马大定理这一问题的基础，今天就让我们来看看，π是如何被发现和承认的吧。

 

文 | [英]西蒙·辛格

译 | 薛密

 

欧几里得生于公元前330年左右。与毕达哥拉斯一样，欧几里得只是为数学本身而探求数学真理，在他的著作中并不寻求应用。有一个故事讲到，有个学生问欧几里得他正在学习的数学有什么用处，当讲课一结束，欧几里得就转身向他的奴仆说：“给这个孩子一个硬币，因为他想在学习中获得实利。”然后这个学生就被驱逐了。

 

欧几里得一生的大量时间花在撰写《几何原本》（Elements）这本有史以来最成功的教科书上。直到20世纪之前，它是世界上仅次于《圣经》的第二本畅销书。《几何原本》共有13卷，其中一部分写的是欧几里得自己的工作，其余部分则收集了当时所有的数学知识，包括有2卷全部写的是毕达哥拉斯兄弟会的研究工作。自毕达哥拉斯以后的几个世纪中，数学家们已经发明了许多可以应用于不同场合的逻辑推理方法，欧几里得娴熟地在《几何原本》中使用了这些方法。特别是欧几里得利用了一种被称为“反证法”的逻辑武器，这种方法围绕这样一个有点不合情理的想法展开：企图证明某个定理是真的，但首先假定它是假的；然后数学家去探讨由于定理是假的而产生的逻辑结果。在逻辑链的某个环节上会出现一个矛盾（例如，2+2=5），而数学不能容忍矛盾，于是原来的定理不可能是假的，也就是说它是真的。

 

英国数学家G.H.哈代在他的《一个数学家的自白》这本书中概括了反证法的精髓：“欧几里得如此深爱的反证法是数学家最精妙的武器之一。它是比任何弈法更为精妙的弃子取胜法：棋手可能牺牲一只卒子甚至更大的棋子以取胜，而数学家则牺牲整个棋局。”

 

欧几里得的一个最著名的反证法确立了所谓的“无理数”的存在性。也有人怀疑无理数最初是毕达哥拉斯兄弟会在几个世纪前发现的，只是由于毕达哥拉斯如此地厌恶这个概念以致他否认了这种数的存在。

 

当毕达哥拉斯声称天地万物是由数支配的时候，他所指的数只是总称为有理数的整数以及整数的比（分数）。无理数是既不是整数又不是分数的数，这就是无理数使毕达哥拉斯如此惊骇的原因。事实上无理数是这样奇特，它们不能被写成小数，即使是循环小数。像0.111 11…这样的循环小数实际上是一个相当简单的数，它等于分数1／9。数字“1”永远重复这个事实意味着这个小数有非常简单的规则的构成方式。这种规则性，尽管它无限次地延续，仍意味着这个小数可以被重新写成为一个分数。然而，如果你企图将一个无理数表示为一个分数，那么最终会是一个构成方式毫无规则的（或者说非一贯的）永远延续下去的数。

 

无理数的概念是一个重大的突破。数学家们当时正在寻找、发现或者说发明整数和分数以外的新的数。19世纪的数学家利奥波德·克罗内克说：“上帝创造了整数;其余则是我们人类的事了。”

 

最著名的无理数是π。在学校里，它有时被近似为3.14；然而，π真正的值接近于3.14159265358979323846，但即使这个值也只不过是一个近似值。事实上，π不可能被精确地写出，因为小数位会永远延续下去且无任何模式。这种随机的模式有一个美妙的特点，51即它可以利用一个极有规则的方程来计算：

 

π=411-13+15-17+19-111+113-115+…。

 

通过计算开首的几项，你会得到π的一个非常粗糙的值，但若计算越来越多的项，就会达到越来越准确的值。虽然知道π的39个小数位就足以计算银河系的周界使其准确到一个氢原子的半径，但这并不能阻止计算机科学家们将π计算到尽可能多的小数位。当前的纪录是由东京大学的金田康正保持的，他于1996年将π算到60亿个小数位。最近的传闻暗示，在纽约的俄国人丘德诺夫斯基兄弟已经将π算到80亿个小数位，他们的目标是达到1万亿个小数位。但即使金田或者丘德诺夫斯基兄弟继续计算直到他们的计算机耗尽世界上所有的能量为止，他们也仍然不会找到π的准确值。由此不难理解为什么毕达哥拉斯要将这些难以驾驭的数的存在性隐瞒起来。

 

当欧几里得大胆面对《几何原本》第10卷中的无理性问题时，其目标是证明可能存在永不能写成为一个分数的数。他并没有尝试证明π是无理数，而代之以研究2的平方根2——自身相乘后等于2的数。为了证明2不可能写成一个分数，欧几里得使用了“反证法”，并从假定它能写成一个分数开始着手。然后他证明这个假定的分数总能简化。分数的简化意指，例如，分数812经过用2去除分子和分母可以简化成46。接着46可以简化成23，而23再也不能简化，因而这个数被认为是812的最简形式。然而，欧几里得证明了他假定的代表2的那个分数可以无限多次地反复简化但不会化成它的最简形式。这是荒谬的，因为一切分数最终一定有它的最简形式。因而，这个假定的分数不可能存在。于是，2不可能写成一个分数，所以是一个无理数，附录2中给出了欧几里得的证明的概要。

 

使用了反证法，欧几里得得以证明无理数的存在，这是第一次使数具有了一种崭新的、更为抽象的性质。在这以前，一切数都可以表示成整数或分数，而欧几里得的无理数向这种传统的表示法发起了挑战。除了把2的平方根表示成2之外，没有其他的方法来描述这个数，因为它不能写成一个分数。而企图将它写成一个小数的结果永远只能是它的一个近似值，例如1.414213562373……

 

对毕达哥拉斯来说，数学的美在于有理数（整数和分数）能解释一切自然现象。这种起指导作用的哲学观使毕达哥拉斯对无理数的存在视而不见，甚至导致他的一个学生被处死。有个故事说，一个名叫希帕索斯的年轻学生出于无聊摆弄起数2来，试图找到等价的分数，最终他认识到根本不存在这样的分数，也就是说，2是一个无理数。希帕索斯想必对他的发现喜出望外，但他的老师却并不如此。毕达哥拉斯已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他的信念的怀疑。希帕索斯的洞察力获得的结果一定经过了一段时间的讨论和深思熟虑，在此期间毕达哥拉斯本应承认这个新的数源。然而，毕达哥拉斯不愿意承认自己是错的，同时他又无法借助逻辑推理的力量来推翻希帕索斯的论证。使他终身羞耻的是他判决将希帕索斯淹死。

 

这位逻辑和数学方法之父宁可诉诸暴力而不承认自己是错的。毕达哥拉斯对无理数的否认是他最不名誉的行为，也可能是希腊数学最大的悲剧。只有在他死后无理数才得以安全地被提及。

 

虽然欧几里得明显地对数论有兴趣，但这不是他对数学的最大贡献。欧几里得真正的爱好是几何学。《几何原本》13卷中的第1到第5卷集中写平面（二维的）几何学，而第11卷到13卷则处理立体（三维的）几何学。它是如此完整的一套知识，以至于《几何原本》的内容在以后的2000年内构成中学和大学中几何课程的基本内容。

 

在数论方面，编纂了有同样价值的教科书的数学家是亚历山大的丢番图，他是希腊数学传统的最后一位卫士。虽然丢番图在数论方面的成就完好地记载在他的书中，但是关于这位杰出数学家的其他方面人们差不多一无所知。他的诞生地不详，他到达亚历山大的时间可能是五个世纪中的任何一年。一方面，在他的著作中丢番图引用了海普西克尔斯的话，因而他一定生活在公元前150年之后;另一方面，他自己的工作又被亚历山大的西奥所引用，因而他一定生活在364年以前。250年前后这段日期一般被认为是合理的估计。流传下来的丢番图的生平是以谜语的形式叙述的，很适合解题者的口味，据说曾被镌刻在他的墓碑上：

 

上帝恩赐他生命的16为童年；再过生命的112，他双颊长出了胡子；再过17后他举行了婚礼；婚后5年他有了一个儿子。唉，不幸的孩子，只活了他父亲整个生命的一半年纪，便被冷酷的死神带走。他以研究数论寄托他的哀思，4年之后他离开了人世。

 

挑战是算出丢番图的寿命，这个谜语是丢番图喜爱的那类问题中的一个例子。他的专长是解答要求整数解的问题，在现今，这一类问题被称为丢番图问题。他在亚历山大的生涯是在收集易于理解的问题以及创造新的问题中度过的，然后他将它们全部汇集成一部书名为“算术”的重要论著。组成《算术》的13卷书中，只有6卷逃过了欧洲中世纪黑暗时代的骚乱幸存下来，继续激励着文艺复兴时期的数学家们，包括皮埃尔·德·费马在内。其余的7卷在一系列的悲剧性事件中遗失。这些事件使数学倒退回巴比伦时代。

 

从欧几里得到丢番图之间的几个世纪中，亚历山大一直是文明世界的知识之都，但在这段时期里，该城不断地处于外敌的威胁之下。第一次大攻击发生在公元47年，当时恺撒大帝企图推翻克娄巴特拉，放火焚烧了亚历山大舰队。位于港湾附近的图书馆也被累及，成万册图书被毁坏。对数学来说，幸运的是克娄巴特拉很赏识知识的重要性，决心还图书馆昔日的辉煌。马克·安东尼认识到图书馆是通向知识心脏的途径，因而进军帕加马城。这个城市已经开始兴建一座图书馆，并希望会给这个图书馆提供世界上最丰富的藏书，但是安东尼却将全部藏书转移到埃及，恢复了亚历山大的最高地位。

 

在接下来的四个世纪中，图书馆继续收藏图书直到389年它遭受到两次致命打击中的第一次打击为止，这两次打击都起因于宗教的偏见。命令亚历山大的主教狄奥菲卢斯毁坏一切异教的纪念物。不幸的是，当克娄巴特拉重建和重新充实亚历山大图书馆时，她决定将它放在塞拉皮斯神庙之内，因而对圣坛和圣像的破坏就殃及图书馆。“异教”的学者们曾试图挽救六个世纪积累的知识财富，但是来不及做任何事就被基督教的暴徒们屠杀。向着中世纪愚昧黑暗时代的沉沦开始了。

 

一些最重要的书籍的珍本幸免于基督教徒的袭击，学者们继续来到亚历山大寻求知识。然后在642年，一场伊斯兰教的进攻成功地打败了基督教徒。当问及应该如何处置图书馆时，获胜的哈里发奥马尔命令凡是违反《古兰经》的书籍都应销毁，而那些与《古兰经》相符的书籍则是多余的，也必须销毁。那些手稿被用作公共浴室加热炉的燃料，希腊的数学化为烟灰。丢番图的绝大部分著作被毁灭了，这并不令人惊奇。实际上，《算术》中的6卷能设法逃过亚历山大的这一场惨剧倒是一个奇迹。

 

随后的一千年中，西方的数学处于停滞状态，只有少数的印度和阿拉伯的杰出人物使这门学科继续生存下去。他们复制了幸存下来的希腊手稿中描述的公式，然后他们自己着手重新创造许多遗失的定理。

 

（本文节选自《费马大定理》）

 

费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜

[英]西蒙·辛格 著

薛密 译

广西师范大学出版社 | 上海贝贝特

2022-2