数学趣史 | 数学的分类

如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门学科的历史和现状。       ——庞加莱

数学作为人类历史上最早形成、最具基础性的学科，由于其知识体系的积累性而非替代性特点，如今已经形成一个极为庞大的学科体系。著名化学家傅鹰说过“科学给人知识，历史给人智慧。”现在分别从数学历史的角度(纵向)和数学结构的角度(横向)来整体认识数学。

一、从历史看数学

从纵向来看，数学可以划分为四个阶段：初等数学和古代数学阶段、变量数学阶段、近代数学阶段、现代数学阶段。

1、初等数学和古代数学阶段

初等数学和古代数学指17世纪以前的数学。主要是古希腊时期建立的欧几里得几何学，古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术，欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等。一般来讲，现行中小学数学知识属于初等数学范畴。相对于以后时期的变量数学，初等数学又叫常量数学。

2．变量数学阶段

变量数学指17－19世纪初建立与发展起来的数学。其突出特点是，实现了数形结合，可以研究运动。这一时期可以分为两个阶段：17世纪的创建阶段（英雄雄时代）与18世纪的发展阶段（创造时代）。创建阶段有两个决定性步骤：一是1637年法国数学

家笛卡尔建立解析几何（起点），二是1680年前后英国数学家牛顿顿（ Newton，Isac，1642－1727）和德国数学家菜布尼兹（ Leibniz， Gottfried Wilhelm，1646－1716）分别独立建立的微积分学（标志）。

17世纪数学创作极其丰富，解析几何、微积分、概率论、射影几何等新学科陆续建立，近代数论也由此开始。18世纪是数学分析蓬勃发展的世纪。在这一时期，作为微积分的继续发展所产生的微分方程、变分法、级数理论等相继建立，形成数学分析学科体系，同时微分几何、高等代数也都处于萌芽状态。

3、近代数学阶段

近代数学是指19世纪的数学。19世纪是数学全面发展与成熟阶段，数学的面貌在这一时期发生了深刻变化，目前数学的绝大部分分支在这一时期都已经形成，整个数学呈现出全面繁荣的景象。

概括地讲，这一时期的数学有三个特点：分析严密化、代数抽象化、几何非欧化。

在分析学方面，产生了以勒贝格（ Lebesgue， Henri Leon，1875～1941法国数学家）积分为核心的实变函数论。在代数学方面，引进了群、环、域等概念，这些概念具有广泛的应用价值和潜在的理论意义，成为抽象代数的基础。在几何学方面，产生了完全不同于欧几里得几何的几何，这就是非欧几何。射影几何、拓扑学学、微分几何等几何分支也都产生于这一时期。

4、现代数学阶段

现代数学指20世纪的数学。1900年德国著名数学家希尔伯特（Hilbert，David,1862—1943）在国际数学家大会上发表了一个著名演讲，提出23个未解决的数学问题，拉开了20世纪现代数学的序幕。这一时期的数学有一大基础、三大趋势和六大特征。

一大基础：康托的集合论。

三大趋势：

1）交错发展、高度综合、逐步走向统一

2）边缘、综合、交叉学科与日俱增

3）数学表现形式、对象和方法日益抽象化

六大特征：

1）从单变量到多变量，从低维到高维

2）从线性到非线性

3）从局部到整体，从简单到复杂

4）从连续到间断，从稳定到分岔

5）从精确到模糊

6）计算机的应用

二、从对象与方法看数学

从横向角度，也就是从数学学科的内部结构来讲，不同的国家有不同的分类方法。在中国，数学目前划分为五大分支，它们分别是：基础数学、应用数学、计算数学、概率统计、运筹学与控制论。

1、基础数学

基础数学又称为理论数学或纯粹数学，是数学的核心部分，包括代数、几何、分析三大分支，分别研究数、形和数形关系。

2、应用数学

应用数学是指能够直接应用于实际的数学。从长远观点和广泛意义来看，数学都应当是有用的。即便是纯粹研究整数内在规律性的数论，如今也发现了它在密码等领域有用武之地。因此，应用数学与基础数学的界限并没有那么分明。

3、计算数学

计算数学研究诸如计算方法（数值分析）、数理逻辑、符号数学、计算复杂性、程序设计等方面的问题。该学科与计算机密切相关。

4、概率统计

概率统计包括概率论与数理统计两大分支。概率论是一门研究随机现象的科学，起源于所谓的“赌金分配问题”，数理统计是以概率论为基础的，主要研究如何收集、整理和分析实际问题的数据，使对所研究的问题作出有效的预测或评价。概率统计是一个在科学技术和社会经济领域有着广泛应用的学科体系。

5、运筹学与控制论

运筹学是利用数学方法，在建立模型的基础上，解决有关人力、物资、金钱等的复杂系统的运行、组织、管理等方面所出现的问题的一门科学。控制论则是关于动物和机器中控制和通信的科学，主要研究系统各构成部分之间的信息传递规律和控制规律。

应当说明的是，以上分类方法是按照中国几十年的惯例进行的，不同国家对待这一问题的观点有所不同。

选自《数学欣赏》

编辑：李佳航、郭玉莹