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北师大高等数学教学视频介绍 高等数学是相对于初等数学而言的,在数学发展的最初阶段,所接触到的数学问题几乎都属于初等数学的范畴,随着研究的不断深入,在17世纪之后建立的数学基本属于高等数学的范畴。 19世纪以前确立的几何、代数、分析三大数学分支中,前两个都原是初等数学的分支,其后又发展了属于高等数学的部分,而只有分析从一开始就属于高等数学。分析的基础——微积分被认为是“变量的数学”的开始,因此,研究变量是高等数学的特征之一。原始的变量概念是物质世界变化的诸量的直接抽象,现代数学中变量的概念包含了更高层次的抽象。如数学分析中研究的限于实变量,而其他数学分支所研究的还有取复数值的复变量和向量、张量形式的,以及各种几何量、代数量,还有取值具有偶然性的随机变量、模糊变量和变化的(概率)空间——范畴和随机过程。描述变量间依赖关系的概念由函数发展到泛函、变换以至于函子。与初等数学一样,高等数学也研究空间形式,只不过它具有更高层次的抽象性,并反映变化的特征,或者说是在变化中研究它。例如,曲线、曲面的概念已发展成一般的流形。按照埃尔朗根纲领,几何是关于图形在某种变换群下不变性质的理论,这也就是说,几何是将各种空间形式置于变换之下来来研究的。 无穷进入数学,这是高等数学的又一特征。现实世界的各种事物都以有限的形式出现,无穷是对他们的共同本质的一种概括。所以,无穷进入数学是数学高度理论化、抽象化的反映。数学中的无穷以潜无穷和实无穷两种形式出现。在极限过程中,变量的变化是无止境的,属于潜无穷的形式。而极限值的存在又反映了实无穷过程。最基本的极限过程是数列和函数的极限。数学分析以它为基础,建立了刻画函数局部和总体特征的各种概念和有关理论,初步成功地描述了现实世界中的非均匀变化和运动。另外一些形式上更为抽象的极限过程,在别的数学学科中也都起着基本的作用。还有许多学科的研究对象本身就是无穷多的个体,也就说是无穷集合,例如群、环、域之类及各种抽象空间。这是数学中的实无穷。能够处理这类无穷集合,是数学水平与能力提高的表现。为了处理这类无穷集合,数学中引进了各种结构,入代数结构、序结构和拓扑结构。另外还有一种度量结构,如抽象空间中的范数、距离和测度等,它使得个体之间的关系定量化、数字化,成为数学的定性描述和定量计算两方面的桥梁。上述结构使得这些无穷集合具有丰富的内涵,能够彼此区分,而变得异彩纷呈,并由此形成了众多的数学学科 |
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