浅谈高等数学知识背景下的高考数学命题

(湖南省临澧一中，湖南

临澧

450 ) 1 20

数学考试大纲明确指出高考命题要与高等数学相关联，要为进入高校学习作准备。纵观近几年高考试卷，不难发现试题

( )写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； 1 ( )直线Y l 2 k交椭圆于两点c,) (, ): 0 ( Y,Dx Y (> ) . 2 2Y;直线

中出现了大量与高等数学衔接紧密的问题，主要表现为它们或 Y k交= z椭圆 于两点 (,) (,)40 G 3 x (>) x,H 4 y求证： Y 二 2 堂；以高等数学概念直接出现，或以高等数学的概念、定理作为依 ()对于 ( )中，,, 3 2 CD GH,设C交列曲 H于点P: D轴 G交托融于初等知识中，或体现高等数学中常用的数学思想方法和于点Q,求证：l P=o (明过程不考虑C O I ol证 l H或G垂直于轴 D

推理方法。此类题目的设计虽源于高等数学，但一般起点高、 的情形 ) 分析：显然，第 3问是蝴蝶定理的推广。如图 3:过一定落点低，其解决方法还是中学所学的初等数学知识，较易突破。 它能宽角度、多观点地考查学生基本的数学素养，深入地了解圆的弦Ⅲ的中点 0作弦 H、C,连 H、D G D C G交弦于点 P,、Q 学生的数学理性思维和进一步深造的潜能。 一

则 O=Q P O,这就是著名的蝴蝶定理。椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞，

、

高等数学知识背景下的导数题

它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里 率公式，用到了解析几何最基本的方法，人惊叹！令

导数是联系初等数学与高等数学的纽带，它作为选修部分证明它，却只需用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜引进新课程，为研究函数提供了更有力的工具和更广阔的空间。

导数就像一把解决函数难题的“刀”,可以有效而彻底地解快决很多初等数学问题，又能有效地衔接起初等数学和高等数学， 高考对函数的考察重点也随之向用导数研究函数的问题而转移， 这是命题必然的趋势。 ( 0 2湖南理数 2 21 2题 ) 图I 图2

9 图3

例 1 .己知函数. =e x, )“一，其中a。’ (≠0 ( )若对一切∈,' l 1 R厂 )恒成立，求a的取值集合；

( )解

略 1

( )证明：将直线 c 2 D的方程Y= 入椭圆方程，得皇代|x—r i}=ab, ( )在函数，的图像上取定两点Ax, ) (,( ) x 6+4 (l ) 2 2 () (,()Bx, ) 2 2 ( ) 记直线A的斜率为k B,问：是否存在X∈(。 2, ) o x x)使f >成立？, ( 整理(+ 一 r( r~ 2 )根据韦达定理，得 6口砰) 2 x ab:o a X 1+ X2=

若存在，求%的取值范围；若不存在，请说明理由。 略解：这是一道典型的高等数学中的数学分析题。 ( )易知≥+,对一切∈恒成立，此点也可由函数 1 x1 R=e,Y:X+l 的图象可知即可得出d的取值集合为{ l j ( )拉格朗日中值定理： 2 如果函数/x在(6 ( ) )上可导，在 a上连续，则必存在 (6, n),, 估得 r()丛 :# ~ 。 d —b

可鲁等所 …… ’ 以 i……=…① , =

将直线 G H的方程 Y=kx代入椭圆方程，同理可得 2

蔫=…… ② 由①,②得= 以结论成立。 ( )证明：设点 PpO,点Qq0,由 C、H共线， 3 (,) (,)、P

得 嚣鲁 p= ,而/( a - e 1 理可得 。 ￣ '

,D、同自 Q共 、G , IP:O . N o I QI P I

故可知存在 (,,使八盐∈ ) )

所 a1三，=,得=以￣=警即三解 -焉 e:￣ -兰 n 又，(: 2” )a 叵成立，得，在定义域内为下凸函数 ()显然当x∈时，f )成立。 o (, ) > ( 点评：此题涉及高等数学中的拉格朗日中值定理，它有着

l 2

X挚由生+ 34形q k=1x一 鼍，,一 2一+变得k—3 k I l k— 2 2 x 一 x 1, 12￣ x3 X1 X2 , ,一，

n 一即一 k k=置 1

I d,所 ’ 7^P 0,

点评：若将第 3问，将圆变成了椭圆，将圆中的任意弦

很强的借鉴价值和现实意义。实际上，与高等数学相联的题目，

变成了椭圆中与其长轴平行的弦，如图 2。当然，我们还可以

或以高等数学知识为背景，或体现

高等数学中常用的数学思想作进一步思考：将圆中的任意弦变成椭圆中与椭圆的对称轴垂或平行 )的弦，结论成立吗？将圆中的任意弦直接变成椭和推理方法，其解决的方法是中学所学的初等数学知识，所以直 (圆中的任意弦，结论成立吗？如将圆变成双曲线或抛物线，又没有将高等数学引进高考的误导，这类题目，起点高、落点低，

也就是所谓的“高题低做”,是高考的命题专家从更为宽广的会怎样呢？这为我们的研究性学习提供了良好的平台！认真研范围所寻找的命题灵感点，有利于区分考生能力，解决好这类究近年的高考真题，挖掘其潜在高等知识的改编背景，找出解 题目的关键是培养学生的创新能力。

题规律，举一反三，触类旁通，从而增强备考的针对性和有效性。

二、高等数学知识背景下的解析几何题 解析几何就是利用代数的方法研究几何，高中阶段学习了

三、高等数学知识下的数列题 递推数列问题是中学数学的重要内容，也是高等数学学习

用代数的方法研究平面曲线，大学将还要研究高等几何和空间的基础和后续内容，其解题方法通常可通过对递推式的变形转解析几何，因此，大学几何定理对高中数学的渗透也在情理之化成等差数列或等比数列把问题解决。这类问题多年来一直是 中了。

高考久考不衰的热点题型，许多学生常常感到困惑不已，有时

例 2如图 1椭圆的长轴4 .,与轴平行， 在短轴轴上，显得束手无策。 例3 .设数列{}足：+= n 1=, 3一口满 l口+, 1 , 乙 2 中心为M(, (>> ) O) r 0 r6 8