MGARCH 模型

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正文 

1. 描述（Description）

mgarch估计了多变量广义自回归条件异方差(mgarch)模型的参数。MGARCH模型允许条件均值和条件协方差都是动态的。

一般的MGARCH模型非常灵活，不是所有的参数都可以估计。由于这个原因，有许多MGARCH模型可以更简洁地参数化问题。

Mgarch可以设定四种常用的参数化模型:对角vech模型、常数条件相关模型、动态条件相关模型和时变条件相关模型。

2. MGARCH模型的介绍（An introduction to MGARCH models）

多元GARCH模型允许因变量的条件协方差矩阵遵循灵活的动态结构，并允许条件均值遵循向量自回归(VAR)结构。一般的MGARCH模型对于大多数问题来说都太灵活了。由于没有总能在灵活性和间接性之间提供最佳权衡的参数化模型，文献中有许多受限制的MGARCH模型。

mgarch实现了四种常用的参数化 :对角vech (DVECH)模型、常数条件相关(CCC)模型、动态条件相关(DCC)模型和时变条件相关(VCC)模型。

Bollerslev, Engle和Wooldridge (1988)；Bollerslev, Engle和Nelson (1994)；Bauwens, Laurent,Rombouts (2006)；Silvennoinen和Ter¨asvirta(2009)；Engle(2009)对MGARCH模型进行了一般性介绍。我们围绕在mgarch中实现的模型，提供了一种简单的介绍。

我们给出了一般MGARCH模型的正式定义，以建立便于对模型进行比较的符号体系。下面给出一般的MGARCH模型：

其中：

y_t 是mx₁的因变量向量；

C是mx_k 的参数矩阵；

x_t 是kx₁ 的自变量向量，可能包含的滞后项；

为时变条件协方差矩阵H_t的Cholesky因子;

v_t 是零均值、单位方差、独立同分布的冲击的mx₁向量；

在一般的MGARCH模型中，是单变量GARCH模型的矩阵推广。例如，在一个具有一个自回归条件异方差(ARCH)项和一个GARCH项的一般MGARCH模型中，

其中vech()函数将对称矩阵中位于主对角线上或主对角线以下的唯一元素叠加成一个向量，s是一个参数向量，A和B是参数的一致矩阵。因为这个模型使用vech()函数对H_t的独特元素进行提取和建模，所以也称为vech模型。

因为是一个条件协方差矩阵，它必须是正定的。(1)式可以用来说明s, A, B中的参数不是唯一的，必须对s, A, B进行进一步的约束，以确保H_t对所有t都是正定的。

文献中提出的各种MGARCH模型在如何权衡规范中的灵活性和简洁性方面存在差异。提高灵活性允许模型描述更复杂的过程。提高简洁性使参数估计对更多的数据集是可行的。衡量灵活-简洁权衡的一个重要指标是模型参数的数量随时间序列m的数量增加的速度有多快，因为许多应用模型使用多个时间序列。

3. 对角vech MGARCH模型（Diagonalvech MGARCH models/DVECH）

Bollerslev, Engle, and Wooldridge(1988)通过施加A和B为对角的约束，推导出对角的vech (DVECH)模型。虽然DVECH模型比一般模型更简洁，但由于参数的数量随级数的增加呈二次增长，因此只能处理几个级数。例如，在H_t的DVECH(1,1)模型中有3m(m+ 1)/2个参数。

尽管有大量的参数，对角化结构意味着每一个条件方差和每一个条件协方差依赖于它自己的过去，而不是依赖于其他条件方差和协方差的过去。形式上，在DVECH(1,1)模型中，的每个元素被构建为：

参数估计是困难的，因为它要求每个t的H_t都是正定的。“对于每个t，H_t是正定的”要求对非对角元素施加了复杂的约束。

参见[TS] mgarch dvech了解这个模型的更多细节。

 4. 条件相关MGARCH模型（Conditionalcorrelation MGARCH models/CC MGARCH）

条件相关(CC)模型使用单变量GARCH模型的非线性组合来表示条件协方差。在每个条件相关模型中，条件协方差矩阵的构造都是正定的，结构简单，便于参数估计。随着时间序列数量的增加，CC模型的参数增长率要低于DVECH模型。

在CC模型中，H_t 分解为条件相关矩阵R_t 和条件方差对角矩阵D_t:

其中，每个条件方差遵循一个单变量GARCH过程，R_t 的参数化在不同的模型中是不同的。

由(2)式可知

采用单变量GARCH过程建模。方程(3)强调，CC模型用非线性组合的单变量GARCH模型来表示条件协方差 ρ_ij,t模型中的参数, t描述了方程i和j的误差一起变动的程度。

比较(1)和(2)可知，CC模型中参数的数量随着时间序列的增加比DVECH模型中参数的增加要慢。在mgarch中实现的三个CC模型在参数化R_t 方面有所不同。

5. 常数条件相关MGARCH模型（Constant conditional correlation MGARCH model /CCCMGARCH）

Bollerslev(1990)提出了一个相关矩阵非时变的CC MGARCH模型。

正因为如此，该模型被称为常数条件相关(CCC) MGARCH模型。将R_t 限制为一个常数矩阵可以减少参数的数量并简化估计，但在许多实证应用中可能过于严格。

参见[TS] mgarch ccc了解该模型的更多细节。

6. 动态条件相关MGARCH模型（Dynamic conditional correlation MGARCH model/DCC MGARCHmodel）

Engle(2002)引入了动态条件相关(DCC) MGARCH模型，其中条件准关系R_t遵循GARCH(1,1)样过程。(如Engle[2009]和Aielli[2009]所述，R_t中的参数没有标准化，因此被称为准关系。)为了保持简洁性，所有的条件准关系式都必须遵循同样的动态变化。DCC模型比CCC模型灵活得多，并且不需要为合理数量的级数引入不可估计的参数。

参见[TS] mgarch dcc了解关于这个模型的更多细节。

7. 变条件相关MGARCH模型（Varying conditional correlation MGARCH model/ VCC MGARCHmodel）

Tse和Tsui(2002)推导出了变条件相关(VCC) MGARCH模型，其中每个时期的条件相关系数是一个非时变分量的加权和，衡量残差之间的近期相关性和上一个时期的条件相关性。为了更加简洁，所有的条件相关性都被限制为遵循同样的动态。

参见[TS] mgarch vcc了解这个模型的更多细节。