【原】样条曲线内容总结及复习题

1.10 章节总结

以下要点总结了本章讨论的主题：

• 样条曲线是具有已知数学性质的不规则曲线段。
• 样条的形状由"CPs"决定。
• 插值样条实际上穿过所有的CPs。
• 混合样条穿过部分CPs但不穿过其他部分。
• 近似样条通常不穿过任何CPs。
• 样条曲线在数学上使用多项式方程 进行建模。
• 多项式方程也可以用参数形式 表示。
• 线性样条用一次多项式方程 表示。
• 二次样条由二次多项式方程 表示。
• 三次样条由三次多项式方程 表示。
• 空间方程组可以用矩阵形式 表达，其解为 。
• 参数方程组可以用矩阵形式 表达，其解为 。
• 复杂的曲线由多个三次样条端到端连接，称为分段样条。
• 使用微分链式法则可以在空间和参数域之间进行转换。

1.11 复习问题

1. 什么是"spline"？这个词是从哪里来的？

"Spline" 是指一种光滑的曲线或曲面，通常通过一系列控制点定义。这个词来自于金属曲线绘图时使用的一种灵活的条带或刮板。

2. 可能有哪些不同类型的样条？

不同类型的样条包括线性样条、二次样条、三次样条等，它们的阶数表示样条中所用多项式的次数。

3. 什么是多项式方程？

多项式方程是一种代数方程，其中包含一个或多个多项式表达式。一个多项式表达式是由多个项组成的代数表达式，每个项都是由一个常数系数与一个或多个变量的幂次组合而成。

一般来说，多项式方程的一般形式如下：

在这个方程中：

• 是常数系数，它们可以是实数或复数。
• 是变量。
• 是多项式的次数，它表示多项式中最高幂次的指数。

4. 区分标准形式和参数形式的表示。

标准形式表示方程以一般形式呈现，例如 ；而参数形式表示方程中的变量通过参数表示，例如 。

5. 什么是约束矩阵、系数矩阵、几何矩阵和基矩阵？

• 约束矩阵（constraint matrix）用于表示样条在连接点处需要满足的条件。
• 系数矩阵（coefficient matrix）包含在样条方程中的各项系数。
• 几何矩阵（geometry matrix）用于描述控制点和样条之间的关系。
• 基矩阵（basis matrix）包含基函数的值，用于组装样条的形状。

6. 解释符号 和 之间的区别。

符号 通常表示控制点，而 表示在参数 处的样条点。 表示样条在参数为 0 时的点。

7. 什么是线性样条，如何使用多项式表示它？

线性样条是由一系列线段连接而成的曲线，通常由一次多项式表示。例如，两点之间的线性样条可以表示为 ，其中 是斜率， 是截距。

8. 什么是二次样条，如何使用多项式表示它？

二次样条是一种曲线，由二次多项式方程表示。它通常采用以下形式的多项式方程：，其中 、 和 是系数，可以通过插值或拟合方法来确定。

9. 什么是三次样条，如何使用多项式表示它？

三次样条是一种曲线，由三次多项式方程表示。它通常采用以下形式的多项式方程：，其中 、、 和 是系数，可以通过插值或拟合方法来确定。

10. 参数形式的二次和三次样条中使用的分割比是什么？

在参数形式的二次和三次样条中，分割比表示曲线在每个参数点处的切线斜率和曲线切线方向之间的关系。这些分割比通常用 和 表示，分别对应于二次和三次样条的参数方程。

11. 为什么参数形式的样条曲线要使用三种不同的绘图？

参数形式的样条曲线通常使用三种不同的绘图来表示： 图、 图和 图。这是因为这些绘图可以提供不同的视角，有助于理解曲线在参数域和空间域中的特性和行为。

12. 什么是分段样条，为什么它们是必要的？

分段样条是由多个曲线段组成的复杂曲线，这些曲线段通常是不同类型的样条。它们是必要的，因为它们允许在曲线的不同部分应用不同类型的拟合或插值，从而更灵活地建模复杂的曲线。

13. 什么是 和 连续性条件？

• 连续性条件表示曲线在连接点处连续，即曲线段之间没有间断。
• 连续性条件表示曲线在连接点处不仅连续，还具有连续的切线斜率。
• 连续性条件表示曲线在连接点处具有连续的切线斜率和曲率。

14. "端点条件" 是什么意思？

"端点条件" 是指在样条曲线的起点和终点处应用的特定条件，以确保曲线在这些点处具有所需的性质，例如通过特定点或具有特定斜率。

15. 如何在空间域和参数域之间转换数值？

可以使用微分链式法则来实现空间域和参数域之间的数值转换。这涉及到对曲线的参数方程进行微分以计算在空间域中的切线和其他性质。

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1.12练习问题

1. 寻找通过点 且斜率为 -3 的线性样条的方程。
2. 寻找通过点 和 的二次曲线的方程。
3. 找到通过点 和 的二次曲线的参数形式，其中 。
4. 推导出一个二次曲线的参数方程，使其通过三个点 和 ，并且中间点将曲线分成比例 。
5. 寻找通过点 和 的三次插值样条的方程。
6. 找到通过点 和 的三次样条曲线的参数形式，其中子分割比例为 和 。
7. 找到通过点 和 的分段三次曲线方程。第一个和最后一个点处的斜率分别为1和1。
8. 寻找形式为 的二次曲线的方程，通过点 和 ，其中 是一个常数。
9. 对于什么值的 ，两个曲线段的方程 和 在点 处满足 连续性条件，其中 是一个常数？
10. 找到通过点 和 的分段参数三次曲线的方程。第一个和最后一个点处的斜率分别为5和-6，假设 与 的关系是线性的。

参考答案