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贝塞尔曲线是计算机绘制曲线常用的对象，这里介绍一下绘制贝塞尔曲线时怎样设置参数。这是许多资料里都没有说清楚的问题。限于本人能力，文章里只谈了二次和三次贝塞尔曲线。 一、贝塞尔曲线方程到底是什么？首先要说明的是，贝塞尔曲线方程其实是多项式参数方程，这里特别要提出的是参数方程这四个字！也就是说，是两个关于 的方程，一个是 的关于 的多项式，另外一个是 的关于 的多项式。很多资料只给出了其中的一个方程，往往让人看不懂，也许那些资料认为另外一个方程可以类比着直接写出（实际也是），但偏偏这些资料没有对这一点进行说明。下面以二次贝塞尔曲线为例，方程如下（）： 容易知道：当 时， ，当 时， 也就是说， 、 分别为曲线端点坐标。而 是两个端点切线的交点坐标，只要给出曲线方程，是很好求得的。特别是，对于过 、 、 这三点、且对称轴为 轴的抛物线，有：  注意，中间的点纵坐标是边上点纵坐标的相反数（或者说抛物线顶点的纵坐标在对称端点和相应切线的中间）。 二、一般的三次贝塞尔曲线方程的计算方法下面重点说下三次贝塞尔曲线，方程如下（）：  同样可以知道：当 时，，，当 时，，。 也就是说， 、 同样分别为曲线端点坐标，但这里的 、 并不是曲线两个端点切线的交点，而只是两个端点切线上的点。 这两个切线上的点，一共四个值（横坐标两个、纵坐标两个），求解方法是：
三、三次贝塞尔曲线方程计算实例这里要画的曲线是 ，范围是 。易知： 至于另外两个点的坐标，显然， ，关键是求 、 、。因为原方程是 ，所以，参数方程如下（已将前述各值代入到三次贝塞尔方程）：   由 的参数方程立即可以得到 ，再计算出 处的切线斜率为 ，即 ，可以求得 。再将它代入 的参数方程，整理得到：  计算得到 ，即四个点依次为：、、、。 如果要做 之间的一段，那么参数方程就得改为： 这是因为必须满足 。这样，四个点的坐标分别为： 四、三次贝塞尔曲线方程与二次贝塞尔曲线方程的关系有些简单曲线可以用二次贝塞尔方程描述（前面的抛物线其实就可以），那么一定可以用三次方程描述，但反过来不一定能成立。而计算二次贝塞尔方程时，除了端点坐标以外，就只需要再提供一个点（即过两个端点切线的交点坐标），比较好计算。这就带来一个问题：如果已经计算出了曲线的二次贝塞尔方程形式，怎样给出对应的三次贝塞尔方程形式？ 下面对 坐标进行计算（结论可以直接推到 坐标上去）。首先，重写二次和三次贝塞尔方程如下： ~~~二次贝塞尔曲线 ~~~三次贝塞尔曲线 和前面所给的方程相比，这里只在系数的形式上作一点变化，以免在计算时发生混淆。其中撇号表示区别于前面一个式子，不是表示求导。 上面 的各个系数中，、 分别为两端点坐标，不必计算， 已经求出，只需再求 和 即可。将上述两个方程分别展开，找到变量 的对应项，令其分别相等，得到以下四个式子：  除去最后一个等式，还有三个等式，而要求解的只有两个，任意取其中两个等式，可以得出： 即 是 和 之间的三等分点中靠近 的那一个， 是线段 和 之间的三等分点中靠近 的那一个。 可以用前面的抛物线例子来验证结论，容易知道，对于 ，如果用二次贝塞尔曲线方程，则 ，（此即为两个端点处切线的交点），和我们前面计算出的 、 完全符合这里所给的关系，纵坐标亦然。对于 ()仍然符合。 最后一点要说明的是，不是所有曲线都能用贝塞尔曲线精确地表示，比如圆（和椭圆）、双曲线都不可能用贝塞尔曲线精确地表示（想想为什么）。 |
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