●课 题
§7.6.2 圆的方程（二）
●教学目标
（一）教学知识点
圆的一般方程.
（二）能力训练要求
1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；
3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程.
（三）德育渗透目标
1.渗透数形结合思想；
2.提高学生解题能力.
●教学重点
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,方程形式特征：
（1）x2和y2的系数相同，不等于0；
（2）没有xy这样的二次项.
圆心坐标（ ），
半径R为 .
●教学难点
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
（1）当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（ ）;
(2)当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形；
(3)当D2+E2-4F＞0时，方程表示一个圆.
●教学方法
讨论法
与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课，我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下：
［生］以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：
(x-a)2+(y-b)2=r2.
［师］圆的标准方程的特点是很直观地可求出圆心坐标和半径.
同学们是否想过将这一方程展开后会是什么样子呢？
［生］将上式展为：
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
［师］由于a、b、r均为常数.
不妨设，-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,
则，此方程可写成下面的形式：
x2+y2+Dx+Ey+F=0. ①
那么，是不是形如①的方程表示的曲线就是圆呢？
［生甲］是.
［生乙］不是.
［生丙］不一定是.
［师］下面我们来讨论一下.
首先，我们应该明确.若形如①的方程表示的曲线是圆，那么由方程应该可求出圆心和半径.由圆的标准方程，我们可很快捷地求出圆心和半径，此方程与圆的标准方程可互化与否也就意味着此方程表示的曲线是否一定是圆，我们将①的左边配方，看情况如何？
［生］配方后整理得：
②
［师］不难看出，此方程与圆的标准方程的关系.
（1）当D2+E2-4F＞0时，表示以（- ，- ）为圆心、 为半径的圆；
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=- ，y=- ，即只表示一个点（- ，- ）;
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.
综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆.
只有当D2+E2-4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.
圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：
（1）x2和y2的系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项.
但要注意：以上两点是二元二次方程
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
表示圆的必要条件，但不是充分条件.
看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数D、E、F就可以了.
下面，我们结合一些例题来探讨如何确定圆的一般方程.
［例］求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程.
解：设所求的圆的方程为：
x2+y2+Dx+Ey+F=0
∵O、M、N在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
F=0,D=-8,E=6.
∴所求圆的方程为：
x2+y2-8x+6y=0
由r=
得r=5.
由
得圆心坐标为（4，-3）.
［或将x2+y2-8x+6y=0左边配方化为圆的标准方程，（x-4)2+(y+3)2=25,从而求出圆的半径r=5，圆心坐标为(4,-3).］
［师］请同学们考虑如何先求出圆心坐标和半径，再求出圆的方程.
［生甲］设圆心坐标P(x,y)，根据圆的定义，可得｜OP｜=｜PM｜=｜PN｜.
即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2
可解得P(4,-3)，｜OP｜=5
点P（4，-3）为圆心.
圆的半径为5.
［生乙］先求出OM中点E（ ， ），MN中点F（ ，），再写出OM的垂直平分线PE的直线方程：y- =-（x- ） ①
MN的垂直平分线PF的直线方程：
y- =-3(x- ) ②
联立①②得
解之得
则点P（4，-3）为PE、PF的交点，即为圆心，｜OP｜=5，即为圆的半径.
［师］上述方法均完全正确，希望同学们都能积极思考.
［例］已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出.
解：在给定的坐标系里，设点M（x,y)是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合
P={M｜ }.
即 ,
整理得：x2+y2+2x-3=0
所求曲线方程即为：x2+y2+2x-3=0.
将其左边配方，得
(x+1)2+y2=4.
∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如图所示：
Ⅲ.课堂练习
［生］回答：
1.下列方程各表示什么图形？
（1）x2+y2=0;
［生甲］此方程表示一个点O（0，0）.
（2）x2+y2-2x+4y-6=0;
［生乙］∵x2+y2-2x+4y-6=0
可化为:(x-1)2+(y+2)2=11
∴此方程表示以点（1，-2）为圆心， 为半径的圆.
（3）x2+y2+2ax-b2=0
［生丙］∵x2+y2+2ax-b2=0
可化为：(x+a)2+y2=a2+b2
∴此方程表示以(-a,0)为圆心， 为半径的圆.
2.求下列各圆的半径和圆的坐标：
(1)x2+y2-6x=0即(x-3)2+y2=9
圆心为（3，0），半径为3.
(2)x2+y2+2by=0即x2+(y+b)2=b2
圆心为（0，-b），半径为｜b｜.
（3）x2+y2-2ax- y+3a2=0
即(x-a)2+(y- a)2=a2
圆心为(a, a),半径为｜a｜.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要掌握圆的一般方程.
其次，还应注意圆的一般方程与圆的标准方程的互化问题.
最后，应根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程，以便快捷解决相关问题.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P82习题7.6 5,6,7,8.
（二）1.预习内容：课本P79～81
2.预习提纲：
（1）何为圆的参数方程？
（2）怎样确定圆的参数方程？
（3）圆的参数方程中的参数有何几何意义？
（4）圆的参数方程与圆的普通方程如何互化？
●板书设计
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§7.6.2 圆的方程（二）
一、圆的一般方程 二、例题讲解 课时小结
x2+y2+Dx+Ey+F=0 ［例1］
当D2+E2-4F＞0时， ［例2］
表示以( )
为圆心，
为半径的圆
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第二十一课时
●课 题
§7.6.3 圆的方程（三）
●教学目标
（一）教学知识点
圆的参数方程.
（二）能力训练要求
1.理解圆的参数方程.
2.熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程.
3.理解参数θ的意义.
4.理解圆心不在原点的圆的参数方程.
5.能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程.
6.可将圆的参数方程化为圆的普通方程.
●教学重点
圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为：
(θ为参数）
圆心在(a,b)、半径为r的圆的参数方程为：
(θ为参数）
●教学难点
参数方程的概念——如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即 (*)并且对于t的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组（*）叫做这条曲线的参数方程.
●教学方法
创造教学法
引导学生用创新思维去寻求新规律.
●教具准备
投影片两张
第一张：§7.6.3 A
第二张：§7.6.3 B
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上两节课，学习了圆的两种形式的方程，请同学们回顾一下.
（师生共同完成以下活动）
若以(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2
标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径.
若D2+E2-4F＞0，则方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆，称其为圆的一般方程.这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点，即：
（1）x2和y2的系数相同，不等于0；
（2）没有xy这样的二次项.
［师］请同学们深思，圆是否还可用其他形式的方程来表示呢？
（打开多媒体课件或投影片§7.7.3 A)
Ⅱ.讲授新课
［师］下面请同学们仔细观察这一过程.
点在圆O上从点P0开始按逆时针方向运动到达点P，设∠P0OP=θ.
［师］（提问）：观察到了什么？
［生甲］当θ确定时，点P在圆O上的位置也随之确定.
［生乙］当θ变化时，点P在圆O上的位置也随之变化.
［师］总之，我们看到，点P的位置与旋转角θ有密切的关系，正如刚才两位同学所讲.不妨，我们研究一下它们的具体关系.
若设点P的坐标是(x,y)，不难发现，点P的横坐标x、纵坐标y都是θ的函数，
即 ①
并且对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x,y）都在圆O上.
看来，这一方程也可表示圆.那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程.其中θ是参数.
若圆心为O（a,b）、半径为r的圆可以看成由圆心为原点O，半径为r的圆按向量ν=(a,b)平移得到的.
（打出投影片§7.6.3 B)
不难求出，圆心在（a,b）、半径为r的圆的参数方程为：
(θ为参数）②
若将方程组②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：（x-a)2+(y-b)2=r2.进而展开，便可得到这一圆的一般方程，即：
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.
看来，圆可用标准方程、一般方程、参数方程三种形式的方程来表示，且它们均可以互化.
其中标准方程、一般方程是直接给出曲线上点的坐标关系的方程，我们又称其为圆的普通方程.
对于参数方程，一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
③
并且对于t的每一个允许值，由方程组③所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，其中联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数.
注意：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系.
［师］下面我们来看如何应用圆的参数方程来处理一些相关问题.
［例］如图所示，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）.点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
分析：应先根据线段中点坐标公式特点M的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型.
解：设点M的坐标是(x,y).
∵圆x2+y2=16的参数方程为：
又∵点P在圆上，
∴设P的坐标为(4cosθ,4sinθ)
由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：
从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆.
Ⅲ.课堂练习
课本P81练习 1，2.
1.填空：已知圆O的参数方程是
(0≤θ＜2π）
(1)如果圆上点P所对应的参数θ= ，则点P的坐标是 .
（2）如果圆上点Q的坐标是（- ），则点Q所对应的参数θ等于 .
解析：(1)由
得
(2)由 (0≤θ＜2π）
得
∴θ= .
答案：（1）（ ） （2）
2.把圆的参数方程化成普通方程：
（1）
(2)
解：(1)由
得
∵sin2θ+cos2θ=1
∴
即：(x-1)2+(y+3)2=4.
(2)由
得
又∵sin2θ+cos2θ=1
∴（x-2)2+(y-2)2=1.
［生］（板演）：
3.经过圆x2+y2=4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程.
解：设M（x,y)为线段PQ的中点，
∵圆x2+y2=4的参数方程为：
又∵点P为圆上任一点
∴可设点P的坐标为(2cosθ,2sinθ)
则Q点的坐标为（2cosθ,０)
由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程为：
消去参数θ,可得：（ )2+y2=1
即 ]+y2=1.
［师］（讲评）：欲解决此问题，应先根据题意画出草图，帮助分析，以便寻求解题途径.
此题也可不必将圆的参数方程写出，可直接应用圆的标准方程.
另解：设线段PQ中点为M（x,y)，据题意可得Q点坐标为(x,0)，由线段中点坐标公式可得P点坐标为(x,2y)
又∵点P为圆上任一点
∴x2+(2y)2=4
即 +y2=1.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要了解圆的参数方程，以及圆的标准方程、一般方程、参数方程的关系，能熟练地互化，且可根据不同形式方程的特点灵活选取应用，以便恰当解决相关问题.
另外，还需了解参数方程及普通方程的相关概念.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P82习题7.7 9，10.
（二）1.预习内容：课本P83～86
2.预习提纲：
（1）本章的主要内容有哪些？
（2）试寻本章的知识结构图.
●板书设计
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§7.6.3圆的方程（三）
一、圆的参数方程 二、例题讲解 复习回顾
(0≤θ＜2π＝ 课时小结
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直线和圆的方程
本章典型例题
［例1］直线 (a＜b＜)的倾斜角是
A. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
选题意图：考查直线的倾斜角和斜率的概念.
解析：∵直线 的斜率 ，设直线的倾斜角为 ,则
.
∴ .
答案：Ａ
说明：本题涉及了直线的斜率、直线的倾斜角以及反三角函数的有关知识，是一道小综
合题.用反三角函数表示直线的倾斜角时，要注意反三角函数的值域以及倾斜角的范围.
［例2］已知点A(0，2)和圆C： ，一条光线从A点出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程.
选题意图：考查圆及圆的切线的性质.
解：设反射光线与圆相切于D点.点A关于x轴的对称点的坐标为A１(０，－２)，则光
从A点到切点所走的路程为｜Ａ１Ｄ｜.
在Ｒｔ△Ａ１ＣD中，
∴｜Ａ１Ｄ｜＝ .
即光线从A点到切点所经过的路程是 .
说明：此例的解法关键是利用A关于x轴的对称点A１在反射光线上，把光线从A点到折射点再到切点D的路程，转化为求线段A１Ｄ的长.本例的其他解法都不如这个解法简便.
2004——2005学年度第一学期第七章考试
高 二 数 学
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在本大题后的表格中.）
1、三点A(3，2)，B（a，4），C（6，1）共线，则a的值为（ ）
A．－3 B．3 C．9 D．15
2、已知直线l的倾斜角为 则l的斜率为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若图中直线 是（ ）
A. B.
C. D.
4、若直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y－2=0平行，
则m的最小值是（ ）
A.2 B. －3 C. 2或－3 D.－2或－3
5、将直线x－ y+2－ =0绕着它上面的一点M( , ),顺时针转 ,则旋转后所得的直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
6、 （ ）
（A）在x轴及上方的一个圆 （B）在 y轴及右侧的一个圆
（C）在x轴及上方的一个半圆 （D）在y轴及右侧的一个半圆
7、和直线3x－4y+5=0关于原点对称的直线的方程为（ ）
A. 3x+4y－5=0 B. 3x+4y+5=0
C. －3x+4y－5=0 D.－3x+4y+5=0
8、若直线y=x+k与曲线x= 恰有一个公共点,则k的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
9、直线 与直线 图象只可能是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、若实数x,y满足等式 ,则 的最大值是（ ）
A. B. C. D.
11、在由不等式组 表示的平面区域内,目标函数z=2x－y－1( )
A、有最大值,没有最小值 B、有最大值,也有最小值
C、没有最大值,也没有最小值 D、没有最大值,但有最小值
12、 已知圆 和直线y=kx相交于A、B两点，则|OA| |OB|的值为( )
A. 4 B.21 C. D.
2004——2005学年度高二第一学期第六章考试
高 二 数 学
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时间：120分钟 分值：150分
第Ⅱ卷
请将选择题答案写在此表格内.
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题号
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答案
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二、填空题（每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）
13、圆C的方程为 ,则直线y=k(x－3)与圆相交最短弦所在的直线方程为 。
14、从P（4，8）向圆 作切线，则切点连线所在的直线方程为： 。
15、圆 关于x－y－1=0对称的圆的方程为： 。
16、光线由点P（2，3）射到直线x+y+1=0 上反射后过点Q（1，1），则反射光线所在的直线方程为： 。
三、解答题：17—21题每小题12分，22题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、已知x,y满足下列条件： ，求z=2x+y的最大值和最小值。
18、当a为何值时，直线 与圆
（1）相交 （2）相切 （3）相离
19、已知△ABC顶点的坐标是A（2，3），B（5，3），C（2，7）
求∠A的平分线长及所在的直线方程。
20、甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300t和750t，A、B、C三地需要该种产品的数量分别200t,450t和400t。甲地运往A，B，C三地的运费分别是6元/t，3元/t，5元/t，乙地运往A，B，C三地的运费分别是5元/t，9元/t，6元/t，问怎样的调运方案才能使总运费最省？
21、若抛物线 与直线y=2x相交于不同的两点
（1）求k取值范围（2）求 （3）求线段 的中点坐标。
22、点 与两定点 的距离的比是一个正数m( ),
求点M的轨迹方程，并说明是什么曲线？
2004——2005学年度第一学期第七章考试
高 二 数 学
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在本大题后的表格中.）
1、不论a为何实数,直线(a+3)x+(2a－1)y+7=0恒过（ ）定点
A．（0，0） B．（－3， ） C．（－2，1） D．（－1，－1）
2、如图所示,不等式x－2y 0 表示的平面区域是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、过点(10,－4)且倾斜角的余弦是 的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4、直线xcos +ysin －3=0的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
5、过P(1,2),且与点A(2,3)和B(4,－5)的距离相等的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
6、下列命题(1)两直线平行,则其斜率相等(2)两直线垂直,则其斜率之积为－1(3)过点(－1,－1)且斜率为2的直线方程为 (4)垂直于x轴的直线平行于y轴,其中真命题的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
7、过点A(2,2),B(5,3),C(3,－1)三点的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
8、直线 绕它在x轴交点逆时针方向旋转 ，所得直线的方程是（ ）
（B） （B）
（C） （D）
9、直线 被圆 截得的弦长为（ ）
A、20 B、 C、 D、40
10、若实数x,y满足等式 ,则 的最大值是（ ）
B. B.8 C.10 D.
11、在由不等式组 表示的平面区域内,目标函数z=3x+2y的最大值和最小值分别为( )
A、10，0 B、 C、 D、10，－1
12、与直线y=x+1关于直线y=2x对称的曲线方程是（ ）
A. 4 B.
C. D.
2004——2005学年度高二第一学期第六章考试
高 二 数 学
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅱ卷
请将选择题答案写在此表格内.
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题号
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答案
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二、填空题（每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）
13、过原点且垂直于直线 的直线方程为 。
14、方程 化为普通方程为 。
15、到两个定点A(－2,0),B(1,0)的距离之比等于2的点的轨迹方程为： 。
16、若直线y=－x+k与曲线y= 恰有两个公共点,则k的取值范围是
。
三、解答题：17—21题每小题12分，22题14分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、已知直线两直线 当且仅当m为何值时, 有以下关系? (1)平行 (2)重合 (3)相交 (4)垂直。
18、光线从点P(5,3)射出,被直线 反射,入射光线到直线 的角为 ,且tan ,求入射光线,反射光线所在直线的方程。
19、求圆心在直线 相切，并且在直线
上截得弦长等于6的圆的方程。
20、某镇南兴商场要用6万元购进50台电视机。已知TCL王牌彩电每台进价1000元，销售价为1200元，长虹电视每台进价700元，销售价为1000元，其中TCL王牌需求量不少于20台，长虹电视需求量不少于10台，且每台电视机的运费均为10元，问怎样安排才能获得最大利润？
21、已知直线 与圆 交于P，Q两点，O为坐标原点，问F为何值时，OP⊥OQ。
22、已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C： ，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数k(k>0)，求动点M的轨迹。
关于点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
资兴一中高三数学组 黄永行 （教案设计）
一、 复习目标
掌握点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的判断方法，能够解决直线与圆有关的综合题。
二、 要点识记
1. 掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离，判定直线与圆的位置关系主要有以下二种方法，①二次方程，利用其判别式确定直线与圆的交点个数，从而确定直线与圆的交点个数；②几何法，利用圆心（a，b）到直线的距离d与圆的半径r的大小比较，确定直线与圆的交点个数，从运算的合理性和筒便性角度考虑，用后一种方法较好。
2. 同判断直线与圆位置关系一样，利用点与圆心间的距离与半径大小关系的比较来判断点与圆的位置关系；利用两圆的圆心距与两圆的半径的和、差的大小比较来判断两圆的位置关系。
3. 理解圆的切线方程的意义，能熟练地用待定系数法求过一点或斜率确定的圆的切线方程。特殊地，若点在圆上，会根据公式直接写出圆的切线方程。
4. 在研究直线与圆的位置关系问题时，要善于利用圆的几何性质，筒化解题过程。如
计算弦长时，充分发挥半径、弦心距、半径构成的直角三角形的作用，由勾股定理得弦长m= 。涉及到圆的切线问题时，都要考虑切线与过切点的半径的垂直关系。
三． 精典范例
题型1：“设而不求”解法技巧应用
例1已知圆 和直线 交于P、Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径。
思路 利用“ OP⊥OQ”求出m，问题可解。
解析 将 代入方程 ，得
设P 、Q ，则 满足条件：
∵ OP⊥OQ, ∴ 而 ， ，∴ ，∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（- ，3），半径R= 。
小结 在解答中，我们采用了对直线与圆的交点设“设而不求”的解法技巧，由于“OP
⊥OQ,”即等价于“ ”所以最终应考虑用韦达定理来求m。另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑。
题型2：弦长的计算及应用
例2 已知一圆C 的圆心为（2，-1），且该圆被直线m：x-y-1=0 截得的弦长为2 ，
求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程。
思路 通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径，得到圆的方程，其它问题易解。
解析 设圆C的方程是 （r>0），则弦长P=2 ，其中d为圆心到直线x-y-1=0的距离，∴P=2 =2 ，∴ ，圆方程即
。由 解得弦的二端点坐标是
（2，1）、（0，-1）∴过弦二端点的该圆的切线方程是 和
小结 在圆中，对弦长的计算有两种方法：一用弦长公式 。二用勾股定理 ，注意根据已知条件选用。本题中的切线方程若结合图形极易得出。
题型3：直线与圆的综合问题
例3 已知直线 ：mx-y=0 ， ：x+my-m-2=0。
（1）求证：对m ∈R， 与 的交点P在一个定圆上；
（2）若 与定圆的另一个交点为 ， 与定圆的另一交点为 ，求当m在实数范围内取值时，Δ 面积的最大值及对应的m。
思路 请试从做 与 的图形，分析 与 的位置入手解题。
解析 （1） 与 分别过定点（0，0）、（2，1），且两两垂直，∴ 与 的交点必
在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆：x（x-2）+y（y-1）=0上。
（2）由（1）得 （0，0）、 （2，1），∴Δ 面积的最大值必为 。此时OP与 的夹角是 ，∴ m=3或 。
小结 涉及多条曲线位置关系问题，要注意运用图形分析方法，用图形的直观来避免代数运算的盲目性和复杂性。
四． 方法规律
1． 圆的切线的求法
（1） 若点（ ， ）在圆 + = 的外面，则切线方程为 （斜率存在时），利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求出k，当斜率不存在时，结合图形求出。
（2） 若点（ ， ）在圆 上，则切线方程为 。
（3） 若切线斜率为k，则圆 的切线方程为 。
2．有关直线与圆的位置关系问题，为避免计算量过大，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；圆与直线的交点问题则常用根与系数的关系筒化运算过程。
练 双基
1．过定点（1，2）作两直线与 相切，则k的取值范围是（ ）
（A）k>2 （B）-3<k<2
（C）k<-3或k>2 （D）以上都不对
2．过原点的直线与圆 相切，若切点在第三象限，则该直线方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．以点（3，0）为一端点，与圆 相切的切线段的长为 ？
4．直线 与圆 在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是 ？
5．已知圆C满足（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；（3）圆心C到直线 的距离为 ，求圆C的方程。
附版书设计
圆的方程
例题（二）
［例1］求经过两点A(-1,4)、B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程.
选题意图：考查圆的标准方程的求法.
解：∵圆心在y轴上，∴a=0.
设圆的标准方程是x２+(y-b)２=r２.
∵该圆经过A、B两点，
∴
所以圆的方程是x２+(y-1)２=10.
说明：求圆的标准方程时，可先设出标准方程，而后用待定系数法求圆心坐标和半径.
［例2］求由下列条件所决定圆x２+y２=4的切线方程：
(1)经过点P( ，1)；
(2)经过点Q(3，0)；
(3)斜率为-1.
选题意图：考查圆的切线的方程的求法.
解：(1)∵( )２＋１２＝４，
∴点P( ，1)在圆上，故所求切线方程为 x+y=4.
(2)∵3２＋０２＞4,∴点Q在圆外.
设切线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
∴
∴所求切线方程为
即2x± y-6=0.
(3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程，整理得
2x２-2by+b２-4=0.
∵直线与圆相切
∴Δ=(-2b)２-4×２（b２－４）＝０.
解得b=±2
∴所求切线方程为x+y±2 =0.
说明：(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
［例3］求与x轴切于点(5，0)并在y轴上截取弦长为10的圆的方程.
选题意图：考查直线与圆相交时，弦长的求法.
解：设所求圆的方程为
并且与y轴交于A、B两点，由方程组
∵
，
∴所示圆的方程为 .
说明：此例也可用弦心距、半弦长、半径之间的关系来求.
圆的方程
例题（三）
［例1］求下列条件所决定的圆的方程
(1)已知圆过两点A(3，1)、B(-1，3)，且它的圆心在直线3x-y-2=0上；
(2)经过三点A(1，-1)、B(1，4)、C(4，-2).
选题意图：考查待定系数法求圆的方程.
解：(1)设所求圆的圆心为C(a,b)，
∵｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜＝ｒ，点C在直线3x-y-2=0上，
∴
∴所求圆的方程是(x-2)２+(y-4)２=10.
(2)设圆的方程为x２+y２+Dx+Ey+F=0,将A、B、C三点坐标代入，整理得
∴所求圆的方程为x２+y２-7x-3y+2=0.
说明：两题中求圆的方程选用了不同形式.如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系常选用一般方程.
［例2］已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(a,0)(a≠0)距离的比为k(k≠1)的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状.
选题意图：考查圆的另一种叙述形式.
解：设M(x,y)是曲线上的任意一点，也就是M属于集合P＝｛Ｍ｜ ｝.由两
点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为 ，两边平方得
,化简得
∵0＜k＜1或k＞1，∴k２-1≠0,
∴
∴所求曲线的方程是 ，曲线是一个圆.
说明：此例说明了k≠1时，曲线是一个圆，它比课本例5更有一般性.当k=1，显然曲线是线段OA的垂直平分线.
［例3］⊙A的方程为 ，⊙B的方程为ｘ２＋ｙ２＋２ｘ＋２ｙ－２＝０，判断⊙Ａ和⊙Ｂ是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由.
选题意图：考查两圆的位置关系及两圆相交时，过两交点的直线的求法.
解：⊙Ａ的方程可写为
⊙Ｂ的方程可写为
∴两圆心之间的距离满足 .
即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.
∴两圆相交
⊙Ａ的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减得－４ｘ－４ｙ－５＝０
即4x+4y+5=0为过两圆交点的直线的方程.
说明：判断两圆相交的方法，常用两圆心之间的距离d与两圆半径的和及差的绝对值比较大小.即当｜Ｒ－ｒ｜＜ｄ＜Ｒ＋ｒ时，两圆相交.
圆的方程
例题（四）
［例1］把圆的参数方程 化成普通方程.
选题意图：考查把圆的参数方程化成普通方程的方法.
解：由方程组 得
①２＋②２，得 为所求圆的普通方程.
说明：把圆的参数方程 （θ为参数）化成普通方程就是
.
［例2］写出半圆 (y≥0)的一个参数方程.
选题意图：考查把圆的普通方程化成参数方程的方法.
解：圆 (y≥0)的一个参数方程是 (θ为参数，0≤θ≤π).
说明：把圆的普通方程化成圆的参数方程，参数方程的形式有多种.如此例的半圆的参数方程可写成 （θ为参数，－ ）.
［例3］已知点(x,y)在圆 上，求u=x+y的最大值和最小值.
选题意图：考查圆的参数方程的应用.
解：圆的一个参数方程为
∴
Z)时， ；
当 ∈Z)时，
说明：本例中求u=x+y的最值，就是利用圆的参数方程，把u写成了θ的函数.而后利用三角函数求得了u的最值.
圆的方程
例题（五）
［例1］求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆 和 的交点的圆的方程.
选题意图：考查圆的方程及性质.
解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为
则其圆心坐标为
∵所求圆的圆心在直线 上，
∴ .
∴所求圆的方程为 .
说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程.
［例2］如图，已知定点A(2，0)，点Q是圆 上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.
选题意图：考查轨迹的求法.
解：由三角形的内角平分线性质，得
∴ .
设M、Q的坐标分别为(x,y)、(x０,y０)，则
∵Q在圆 上，∴ ＝１，
∴
∴动点M的轨迹方程为
说明：注意三角形内角平分线性质的应用.
［例3］若实数x、y满足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么 的最大值为( )
A. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
选题意图：考查圆的知识.
解法1：∵实数x、y满足 ，
∵(x,y)是圆 上的点，记为P，
∵ 是直线OP的斜率，记为k.
∴OP:y=kx,代入圆方程，消去y，得 .
直线OP与圆有公共点的充要条件是 ≥0,
∴ ，所以，选Ｄ
解法2：同解法1，直线OP与圆有公共点的充要条件是
.所以选Ｄ
圆的方程
例题（一）
例1 求圆心在直线5x－3y=8上，又与两坐标轴相切的圆的方程.
解：设圆方程为(x－a)2+(y－b)2=r2
由已知：a2=b2=r2,5a－3b=8
∴
∴b=4或b=－1. 从而a=4或a=1
故r2=16或r2=1
∴(x－4)2+(y－4)2=16或(x－1)2+(y+1)2=1
例2 如果实数x,y满足x2+y2－4x+1=0
（1）求 的最大值；
（2）求y－x的最小值.
解：（1）设 =k，而x2+y2－4x+1=0即(x－2)2+y2=3
即圆上求一点P，使其与O点连线的斜率最大.
由已知：CP= ，OC=2，k=
即 的最大值为 .
（2）设y－x=b,则y=x+b,要使b最小.则此直线与已知圆相切于第四象限，
此时C到直线距离 ，
所以y－x的最小值为 .
例3 已知定点A（3，0），B是圆x2+y2=1上的动点，∠AOB的平分线交AB于点M，求M点的轨迹.
分析：此题利用三角形内角平分线的比例性质，将动点坐标转化到已知圆心，达到求解轨迹方程的目的.
解：设点M（x,y），B（x0,y0）
因为OM是∠AOB的平分线，所以 .由定比分点公式得
解得
∵
∴ 即为所求轨迹方程，它表示以 为圆心， 为半径的圆.
例4 过圆：x2+y2=r2外一点P（x0,y0）引此圆的两条切线，切点为A、B，则直线AB的方程为_________.
分析：此题注意与所学过圆上一点的切线的联系，体现由不熟悉向熟悉的转化，并注意直线方程形的特点.
解：设A（x1,y1），B（x2,y2）则过点A的圆的切线为x1x+y1y=r2
过点B的圆的切线为x2x+y2y=r2
又点P（x0,y0）是两切线的交点，所以：
x0x1+y0y1=r2，说明点A（x1,y1）在直线x0x+y0y=r2上
x0x2+y0y2=r2，说明点B（x2,y2）在直线x0x+y0y=r2上
所以直线AB方程为：x0x+y0y=r2
例5 在圆 （θ为参数）上求一点P，使点P到直线y=x－6距离最小.
分析：要求学生解题方法的灵活性.
解法一（点到直线距离公式）.
设d为点P到直线y=x－6的距离，则
当 即 时，d最小= .
∴
∴所求点为P（ ）.
解法二（几何法）：
由点O作OQ⊥l,交圆于点P，因为点到直线距离最短，所以点P即为所求.
如图△AOB是等腰直角三角形，
△OQB也是等腰直角三角形，
所以|OQ|=
∠QOB=45°，将 代入圆参数方程可得
,即P（ ）.
课 题：7.6圆的方程（二）
教学目的：
1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；
2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；
3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；
4．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索
教学重点：圆的一般方程 的形式特征
教学难点：对圆的一般方程 的认识 直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
遵循从特殊到一般的原则，在学习圆的标准方程的基础上，再过渡到学圆的一般也就不难，它们可以通过形式上的互相转化而解决 直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线） 由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F，对它的理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用 突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：圆心坐标和半径
本节为第二课时讲解圆的一般方程
教学过程：
一、复习引入：
1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
2．求曲线方程的一般步骤为：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程 )
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
（4）化方程 为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明 )
3．建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程
4. 圆的标准方程 ： 圆心为 ，半径为 ，
若圆心在坐标原点上，这时 ，则圆的方程就是
5．圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 三个量确定了且 ＞0，圆的方程就给定了 这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件 确定 ，可以根据条件，利用待定系数法来解决
二、讲解新课：
圆的一般方程： 将圆的标准方程 的展开式为：
取 得
①
再将上方程配方，得
②
不难看出，此方程与圆的标准方程的关系
（1）当 时，表示以（- ，- ）为圆心, 为半径的圆；
（2）当 时，方程只有实数解 ， ，即只表示一个点（- ，- ）;
（3）当 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形
综上所述，方程 表示的曲线不一定是圆
只有当 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如 的表示圆的方程称为圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：
（1） 和 的系数相同，且不等于0；
（2）没有 这样的二次项
但要注意：以上两点是二元二次方程 表示圆的必要条件，但不是充分条
看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数 就可以了
三、讲解范例：
例1求过三点 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：
∵ 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 的三元一次方程组，
即
解此方程组，可得：
∴所求圆的方程为：
；
得圆心坐标为（4，-3）.
或将 左边配方化为圆的标准方程， ,从而求出圆的半径 ，圆心坐标为(4,-3)
例2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线
分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出
解：在给定的坐标系里，设点 是曲线上的任意一点，也就是点 属于集合
即 ,
整理得：
所求曲线方程即为：
将其左边配方，得
∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示
例3求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆 和 的交点的圆的方程
解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为
则其圆心坐标为
∵所求圆的圆心在直线 上，
∴
∴所求圆的方程为
说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程
例4 如图，已知定点A(2，0)，点Q是圆 上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程
解：由三角形的内角平分线性质，得 ，∴ .
设M、Q的坐标分别为 、 ，则
∵Q在圆 上，∴ ＝１，
∴
∴动点M的轨迹方程为
说明：注意三角形内角平分线性质的应用.
四、课堂练习：课堂练习
1.下列方程各表示什么图形？
（1） ;
解：此方程表示一个点O（0，0）
（2） ;
解：可化为:
∴此方程表示以点（1，-2）为圆心， 为半径的圆
（3）
解：可化为： ，
∴此方程表示以(- ,0)为圆心， 为半径的圆
2.求下列各圆的半径和圆的坐标：
(1) 答案：即 ，圆心为（3，0），半径为3
(2) 答案：即 ，圆心为（0，-b），半径为｜b|
（3）
答案：即 ，圆心为( , ),半径为｜ ｜
五、小结 ：
1．对方程 的讨论(什么时候可以表示圆)
2．方程 表示一个圆的充要条件
3．与标准方程的互化
4．用待定系数法求圆的方程
5．圆与圆的位置关系
六、课后作业：
补充：若实数x、y满足等式 ，那么 的最大值为( )
A. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
解：∵实数 满足 ，
∵( )是圆 上的点，记为P，
∵ 是直线OP的斜率，记为
∴OP: ,代入圆方程，消去 ，得
直线OP与圆有公共点的充要条件是 ≥0,
∴ ，所以，选Ｄ
七、板书设计（略）
八、课后记：
课 题：7.6圆的方程（三）
教学目的：
1.理解圆的参数方程
2.熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程
3.理解参数θ的意义
4.理解圆心不在原点的圆的参数方程
5.能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程
6.可将圆的参数方程化为圆的普通方程
教学重点：圆的参数方程(分圆心在原点与不在原点的两种情形)
教学难点：参数方程，参数的概念
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节为第三课时讲解圆的参数方程 为了突出重点，突破难点，可以对本节的例题、练习进行适当的调整和组合，并安排一些变式练习
将参数方程化为普通方程时，常用的消参方法有：代入法、加减法、换元法等 要注意不能缩小或扩大曲线中 的取值范围
圆上的点的特征性质，在圆的参数方程中，得到了另一种形式的表示 在涉及圆上的动点距离、面积、定值、最值等问题时，用圆的参数方程来解往往更为简捷
教学过程：
一、复习引入：
一、复习引入：
1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
2．求曲线方程的一般步骤为：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程 )
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
（4）化方程 为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明 )
3．建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程
4. 圆的标准方程 ： 圆心为 ，半径为 ，
若圆心在坐标原点上，这时 ，则圆的方程就是
5．圆的标准方程的两个基本要素：
6．圆的一般方程：只有当 时，①表示的曲线才是圆，把形如 ①的表示圆的方程称为圆的一般方程
（1）当 时，①表示以（- ，- ）为圆心, 为半径的圆；
（2）当 时，方程①只有实数解 ， ，即只表示一个点（- ，- ）;
（3）当 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形
二、讲解新课：
1. “旋转角”的概念：一条射线从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置形成的角，叫正角；按顺时针方向旋转形成的角形成的角，叫做负角；若没有旋转，就称为零角
2．圆心为原点半径为r的圆的参数方程
如图所示在圆 上，对于 的每一个允许值，由方程组 ①，所确定的点P( )都在圆 上
方程组①叫做圆心为原点，半径为r的圆的参数方程， 为参数
3．圆心为 原点半径为r的圆的参数方程
把圆心为原点O，半径为r的圆按向量 平移，可得到圆心为 ，半径为r的圆
如图，设圆 上任意一点P(x,y)，它是圆O上一点 按平移向量 平移后得到的，则根据平移公式，有 ，
由于 ，故 ②
这就是圆心为 ，半径为r的圆的参数方程
4．参数方程的意义：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数，即 ③
并且对于 的每一个允许值，由方程组③所确定的点M（ )都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，其中联系 之间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数
点评：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系
三、讲解范例：
例 如图所示，已知点P是圆 上的一个动点，点A是 轴上的定点，坐标为（12，0）.点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
分析：应先根据线段中点坐标公式特点M的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型
解：设点M的坐标是( )
∵圆 的参数方程为：
又∵点P在圆上，∴设P的坐标为(4cosθ,4sinθ)
由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：
从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆
四、课堂练习：课本P81练习 1，2.
1.填空：已知圆O的参数方程是
(0≤θ＜2π）
(1)如果圆上点P所对应的参数θ= ，则点P的坐标是
（2）如果圆上点Q的坐标是（- ），则点Q所对应的参数θ等于
解析：(1)由 得
(2)由 (0≤θ＜2π）得 ∴θ= .
答案：（1）（ ） （2）
2.把圆的参数方程化成普通方程：
（1） (2)
解：(1)由 得
∵ ∴
即：
(2)由 得
又∵ ∴
3.经过圆 上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程
解：设M（ )为线段PQ的中点，
∵圆 的参数方程为
又∵点P为圆上任一点
∴可设点P的坐标为(2cosθ,2sinθ)
则Q点的坐标为（2cosθ,０)
由线段中点坐标公式，得点M的轨迹的参数方程为：
消去参数θ,可得： 即
五、小结 ：圆的参数方程(分圆心在原点与不在原点的两种情形) 参数方程，参数的概念； 参数方程与普通方程的互化；参数方程的意义及实际应用
六、课后作业：
1.填空题
（1）已知圆的参数方程是 (0≤θ＜2π）若圆上一点M的坐标为(4,-4 )，则M所对应的参数θ的值为
分析：将点M的坐标代入参数方程分别求得sinθ,cosθ的值，由此求θ的值
解：将点M（4，-4 ）代入
得
又∵0≤θ＜2π,∴θ= .答案：
(2)已知圆的参数方程为 ,则它的普通方程为
分析：由参数方程解得cosθ、sinθ的表达式，由 求出x与y的关系式，即可求得
解：由 得
由 得
答案：
2.已知点M是圆 上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形
分析：先将圆 化为 利用圆的参数方程求解
解：将已知圆的方程化为：
则其参数方程为 故可设点M（2+2cosθ,2sinθ)
又∵点N（2，6）.∴MN的中点P为
∴点P的轨迹方程为：
它表示圆心在（2，3），半径为1的圆
3.若实数 满足 ，求 的最大值.
分析一：将圆化为参数方程来解
解法一：将圆 变为
∴圆的参数方程为
代入 得
=（1+ cosθ）-(-2+ sinθ)=3+ （cosθ-sinθ)
=3+ cos(θ+ )≤3+
∴ 的最大值为3+
分析二：令 =u代入圆方程来解.
解析二：令u= ，则 代入圆方程得
由 即
∴3- ≤u≤3+ ，即3- ≤x-y≤3+
∴ 的最大值为3+
4.已知对于圆 上任意一点P（ ），不等式 恒成立，求实数 的取值范围
分析：将圆的参数方程代入 ，转化为求 的最值问题来解
解：由 得其参数方程为：
代入 ，得cosθ+1+sinθ+ ≥0
∴ ≥-cosθ-sinθ-1
∴ ≥- sin(θ＋ )-1恒成立，
∴转化为求- sin(θ+ )-1的最大值，
∵- sin（θ+ ）-1的最大值为 -1
∴ ≥ -1
5.已知圆 ,定点A(1,0),B、C是圆上两个动点，保持A、B、C在圆上逆时针排列，且∠BOC= （O为坐标原点），求△ABC重心G的轨迹方程
分析：利用三角形重心坐标公式： 来解
解：令B（cosθ,sinθ）,则C(cos(θ+ ),sin(θ+ )),
设重心G坐标为（ ）
则 即
化为普通方程得：
七、板书设计（略）
八、课后记：
课 题：小结与复习（一）
教学目的：
1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系
3．会用二元一次不等式表示平面区域
4．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用
5．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题
6．掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念.理解圆的参数方程
7．结合教学内容进行对立统一观点的教育
8．实习作业以线性规划为内容，培养解决实际问题的能力
教学重点：汇总知识点
教学难点：常规解题思路的形成
授课类型：复习汇总知识点课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1.直线方程的概念：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.
2.直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°. 倾斜角的取值范围是0°≤ ＜180°.
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示. 倾斜角是90°的直线没有斜率.
3.斜率公式：经过两点 的直线的斜率公式：
当 （即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角 ＝ ，没有斜率
4.直线方程
（1）点斜式方程--已知直线 经过点 ，且斜率为 ，直线的方程： 为直线方程的点斜式.
直线的斜率 时，直线方程为 ；当直线的斜率 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为 .
(2)斜截式方程－已知直线 经过点P（0,b），并且它的斜率为k，直线 的方程： 为斜截式
(3)两点式方程
当 ， 时，经过 B（ 的直线的两点式方程可以写成：
倾斜角是 或 的直线不能用两点式公式表示.若要包含倾斜角为 或 的直线，两点式应变为 的形式
(4)截距式方程
过A(a,0) B(0,b) （a,b均不为0）的直线方程 叫做直线方程的截距式.截距式中，a,b表示截距，它们可以是正，也可以是负. 当截距为零时，不能用截距式
(5)一般式方程
(其中A、B、C是常数，A、B不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式
5．二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
6. 目标函数, 线性目标函数线性规划问题,可行解，可行域, 最优解
7．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）;
（2）设t=0，画出直线 ;
（3）观察、分析，平移直线 ，从而找到最优解 ;
（4）最后求得目标函数的最大值及最小值
8．求曲线方程的一般步骤为：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程 )
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ;
（4）化方程 为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明 )
9．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
10. 圆的标准方程 ： 圆心为 ，半径为 ，
若圆心在坐标原点上，这时 ，则圆的方程就是
11．圆的一般方程：
只有当 时， ①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程
（1）当 时，①表示以（- ，- ）为圆心, 为半径的圆；
（2）当 时，方程①只有实数解 ， ，即只表示一个点（- ，- ）;
（3）当 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形
二、讲解范例：
例1 已知两点 的连线交另一已知直线 于点P， 不在直线 上，求证：
证明：设点P分线段 ，所成的比为 ，
则点P的坐标为（ ）
又点P在直线 ，
整理，得 （ ）+λ( )=0
∵点 不在直线 上
∴ ≠0, ∴
例2 用解析法证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值.
证明：建立直角坐标系，如图，设边长为2a，则A（0， a），B（-a,0），C(a,0),直线AB的方程为 直线AC的方程为 直线BC的方程为y=0
设 是△ABC内任意一点，
则
∵点P在直线AB，AC的下方，
∴ (定值)
例3 已知三角形的三边AB、AC、BC所在的直线方程分别为3x+4y+2=0、3x-4y+12=0、4x-3y=0,求其内切圆的圆心坐标和半径
解:设 为△ABC的内心，则P在AC的下方，在BC、AB的上方，于是有
∴内切圆圆心的坐标为（ ），
半径
例4 已知点A(0，2)和圆C： ，一条光线从A点出发射到 轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程
解：设反射光线与圆相切于D点.点A关于 轴的对称点的坐标为 ，则光线从A点到切点所走的路程为｜ ｜
在Ｒｔ△ 中，
∴｜ ｜＝ 即光线从A点到切点所经过的路程是
点评：此例的解法关键是利用A关于x轴的对称点 在反射光线上，把光线从A点到折射点再到切点D的路程，转化为求线段 的长.本例的其他解法都不如这个解法简便
三、课堂练习：
1.直线 ( )的倾斜角是
A. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
解：∵ ∴直线 的斜率 ，
设直线的倾斜角为 ,则
∴ .答案：Ａ
点评：本题涉及了直线的斜率、直线的倾斜角以及反三角函数的有关知识，是一道小综合题.用反三角函数表示直线的倾斜角时，要注意反三角函数的值域以及倾斜角的范围
2. 设P（ ）为圆 上的任一点，欲使不等式 恒成立，则c的取值范围是（ ）.
A．[ ] B.[ ）
C.( ) D.( )
解：根据直线对于平面区域划分的定理，要使 恒成立，圆 必须在直线 的上方，即c>0,且圆心（0，1）到直线 的距离大于或等于1，于是 ∴应选B
3. 已知集合A= ，B＝ ，C 的则A、B、C的关系是（ ）.
A. B.
C. D.
解：依直线划分平面区域的定理，A就是图中的小正方形，B是圆面积，C就是大正方形，于是 .应选C
4． 已知直线 (k≠±1)与直线 ,求 与 的交点
解：解方程组 得 .
所以 与 的交点为 .
点评：条件ｋ≠±１保证了直线 (k≠±1)与直线 有交点 即两直线不平行不重合
四、小结 ：知识点汇总和常规解题思路
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：
课 题：小结与复习（二）
教学目的：
1．理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，掌握两条直线的夹角和点到直线的距离公式；能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系
3．会用二元一次不等式表示平面区域
4．了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用
5．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程概念.理解圆的参数方程
7．结合教学内容进行对立统一观点的教育
8．实习作业以线性规划为内容，培养解决实际问题的能力
教学重点：常规解题方法
教学难点：综合解题思路
授课类型：练习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
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直线名称
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已知条件
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直线方程
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使用范围
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示意图
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点斜式
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斜截式
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两点式
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（
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截距式
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一般式
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A、B不全为0
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2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题第11题：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是
答案：用代数的方法研究图形的几何性质
二、讲解范例：
题型一：“设而不求”解法技巧应用
例1 已知圆 和直线 交于P、Q两点且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径
分析： 利用“ OP⊥OQ”求出m，问题可解
解： 将 代入方程 ，得
设P 、Q ，则 满足条件：
∵ OP⊥OQ, ∴ 而 ， ，
∴ ，
∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（- ，3），半径
点评： 在解答中，我们采用了对直线与圆的交点设“设而不求”的解法技巧，由于“OP⊥OQ,”即等价于“ ”所以最终应考虑用韦达定理来求m。另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑
题型二：弦长的计算及应用
例2 已知一圆C的圆心为（2，-1），且该圆被直线 ：x-y-1=0 截得的弦长为2 ，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程
分析：通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径，得到圆的方程，其它问题易解
解：设圆C的方程是 （r>0），
则弦长P=2 ，其中d为圆心到直线x-y-1=0的距离，
∴P=2 =2 ，∴ ，
圆的方程为
由 ，解得弦的二端点坐标是（2,1）、（0,-1）
∴过弦二端点的该圆的切线方程是
和
即 和
点评：在圆中，对弦长的计算有两种方法：一用弦长公式 。二用勾股定理 ，注意根据已知条件选用。本题中的切线方程若结合图形极易得出
题型三：直线与圆的综合问题
例3 已知直线 ：mx-y=0 ， ：x+my-m-2=0
（1）求证：对m ∈R， 与 的交点P在一个定圆上；
（2）若 与定圆的另一个交点为 ， 与定圆的另一交点为 ，求当m在实数范围内取值时，Δ 面积的最大值及对应的m
分析： 请试从做 与 的图形，分析 与 的位置入手解题
解：（1） 与 分别过定点（0,0）、（2,1），且两两垂直，
∴ 与 的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆：
即
（2）由（1）得 （0,0）、 （2,1），
∴Δ 面积的最大值必为
此时OP与 的夹角是 ，∴ m=3或
点评：涉及多条曲线位置关系问题，要注意运用图形分析方法，用图形的直观来避免代数运算的盲目性和复杂性
三、课堂练习：
1．已知直线 ,曲线 有两个公共点，求b的取值范围
解：由方程组得
消去 得 ,( )
和 有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实数解，于是
解得1≤b＜ 为所求
点评：此题解法是把两曲线有公共点的问题转化为方程组有解的判定问题.此题也可直接画出图形来判断.即在同一坐标系内作出 及 的图形(如图)易得b的取值范围是１≤ｂ＜
2.求下列两条直线的交点.
解:解方程组
所以, 的交点是M(-2,2)
点评:求方程组的解难度并不大,但体现了将平面几何的两条直线相交问题转化为代数的二元一次方程组求解问题,要求学生注意体会其中的数形结合思想
3.求经过原点且经过 两条直线的交点的直线的方程
解:解方程组
所以, 的交点是(2,2)
设经过原点的直线方程为 ,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得 ,所以所求直线方程为
点评:求解直线方程也可应用两点式: ,即
4．求直线 被抛物线 截得的线段之长.
分析一：将直线方程与抛物线方程联立，求得直线与抛物线的交点坐标，再利用两点间的距离公式求出弦长
解法一：由
解得
即直线与抛物线的交点为A（3+3 ，6+3 ）、B（3-3 ，6-3 ），
∴｜AB｜= =12
∴所截线段之长为12.
分析二：设直线与抛物线的交点为 ，
则由｜AB｜= 及 ，
得｜AB｜=
故可回避求直线与抛物线的交点坐标，直接由韦达定理整体求值，一般地，直线被二次曲线所截得的弦长问题都可用这种“设而不求”的技巧求解
解法二：设直线 与抛物线 的交点坐标
为 ，则由方程组 ，得 ，
∴
又∵ 都在直线y=x+3上，
∴ ， ,
∴｜AB｜=
＝12
∴所截线段之长为12.
点评：这样既简化了运算，又提高了准确率，请同学们予以掌握
四、小结 ：“设而不求”解法技巧应用 弦长的计算及应用 直线与圆的综合问题 相交及求交点的问题
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：
