360教育网圆的方程

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

圆的方程

 

二. 教学目的：

使学生掌握圆的标准方程、一般方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的方程，能运用圆的方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．

 

三. 教学重、难点

教学重点：掌握圆的方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的方程．

教学难点：运用圆的方程解决一些简单的实际问题．

 

四. 基本内容

1. 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆．

2. 求曲线方程的一般步骤为：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件P的点M的集合；（可以省略，直接列出曲线方程．）

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程；

（4）化方程为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明）

3. 圆的标准方程 ：

已知圆心为，半径为，如何求圆的方程？

运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：这个方程叫做圆的标准方程．

若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是．

4. 圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径．

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

5. 圆的一般方程： 将圆的标准方程的展开式为：

，取得

    ①

再将①方程配方，得

    ②

不难看出，此方程与圆的标准方程的关系

（1）当时，表示以（－，－）为圆心，为半径的圆；

（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（－，－）；

（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

综上所述，方程表示的曲线不一定是圆．

只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程．

6. 圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：

（1）和的系数相同，且不等于0；

（2）没有这样的二次项．

但要注意：以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．

看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数就可以了．

7. 圆的切线的求法

（1）若点（，）在圆+=的外面，则切线方程为（斜率存在时），利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求出k，当斜率不存在时，结合图形求出．

（2）若点（，）在圆上，则切线方程为．

（3）若切线斜率为k，则圆的切线方程为．

8. 有关直线与圆的位置关系问题，为避免计算量过大，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；圆与直线的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程 ．

9. 圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R和r（R≥r），圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：

外离d > R＋r

外切

相交

内切

内含

 

【典型例题】

例1. 求以C（1，3）为圆心，并且和直线相切的圆的方程．

解：已知圆心坐标C（1，3），故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程．因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离．根据点到直线的距离公式，得

．

因此，所求圆的方程是

．

点评：由本题可知，圆的标准方程是由圆心坐标和半径两因素决定的．而且圆的半径与圆的切线有着非常密切的联系，解题要注意运用圆的切线的性质．解题时画出草图可帮助思考．

 

例2. 已知圆的方程，求经过圆上一点的切线方程．

解：如图，设切线的斜率为，半径OM的斜率为．因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是．

∵  ∴．

经过点M的切线方程是  ，

整理得   ．

因为点在圆上，所以，所求切线方程是．

点评：用斜率的知识来求切线方程，这就是“代数方程”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于或的一元二次方程，利用判别式进行求解，但此法不如用几何方法简练实用，几何方法就是利用圆心到直线的距离等于半径（本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识），由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程，以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补．

 

例3. 求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程．

解：设所求的圆的方程为：

∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，

即

解此方程组，可得：．

∴所求圆的方程为：．

；．

得圆心坐标为（4，－3）．

或将左边配方化为圆的标准方程，，从而求出圆的半径，圆心坐标为（4，－3）．

 

例4. 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．

分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出．

解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合．

即，

整理得：

所求曲线方程即为：．

将其左边配方，得．

∴此曲线是以点C（－1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示．

 

例5. 求圆心在直线x－y－4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程．

解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为

则其圆心坐标为．

∵所求圆的圆心在直线上，

∴．

∴所求圆的方程为．

说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程．

 

例6. 如图所示，已知点P是圆上的一个动点，点A是轴上的定点，坐标为（12，0）.点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？

分析：应先根据线段中点坐标公式得点M的横、纵坐标，表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型．

解：设点M的坐标是（）．

∵圆的参数方程为：

又∵点P在圆上，∴设P的坐标为（4cosθ，4sinθ）

由线段中点坐标公式可得点M的轨迹的参数方程为：．

从而判断线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心、2为半径的圆．

 

例7. 若实数满足，求的最大值．

分析一：将圆化为参数方程来解．

解法一：将圆变为

∴圆的参数方程为

代入得

=（1+cosθ）－（－2+sinθ）=3+（cosθ－sinθ）

=3+cos（θ+）≤3+

∴的最大值为3+．

分析二：令=u代入圆方程来解.

解析二：令u=，则代入圆方程得

由即

∴3－≤u≤3+，即3－≤x－y≤3+

∴的最大值为3+．

 

例8. 已知对于圆上任意一点P（），不等式恒成立，求实数的取值范围．

分析：将圆的参数方程代入，转化为求的最值问题来解．

解：由得其参数方程为：

代入，得cosθ+1+sinθ+≥0

∴≥－cosθ－sinθ－1．

∴≥－sin（θ＋）－1恒成立，

∴转化为求－sin（θ+）－1的最大值，

∵－sin（θ+）－1的最大值为－1．

∴≥－1．

 

例9. 已知点A（0，2）和圆C：，一条光线从A点出发射到轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．

解：设反射光线与圆相切于D点.点A关于轴的对称点的坐标为，则光线从A点到切点所走的路程为｜｜．

在Ｒｔ△中，



∴｜｜＝．即光线从A点到切点所经过的路程是．

点评：此例的解法关键是利用A关于x轴的对称点在反射光线上，把光线从A点到折射点再到切点D的路程，转化为求线段的长.本例的其他解法都不如这个解法简便．

 

例10. 已知圆和直线交于P、Q两点且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径．

分析：利用“OP⊥OQ”求出m，问题可解．

解：将代入方程，得

设P、Q，则满足条件：

∵ OP⊥OQ， ∴而，，

∴，

∴m=3，此时Δ>0，圆心坐标为（－，3），半径．

点评：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，由于“OP⊥OQ，”即等价于“”所以最终应考虑用韦达定理来求m．另外，在使用“设而不求”的技巧时，必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑．

 

例11. 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.

解法一： 设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为│b│，  │a│.

由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为，故r²=2b²，

又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有

r²=a²+1.

从而得2b²－a²=1. 

又点P（a，b）到直线x－2y=0的距离为

，

所以5d²=│a－2b│²

=a²+4b²－4ab

≥a²+4b²－2（a²+b²）

=2b²－a²=1，

当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d²=1，从而d取得最小值. 

由此有

解此方程组得

或

由于r²=2b²知.

于是，所求圆的方程是

（x－1） ²+（y－1） ²=2，或（x+1） ²+（y+1） ²=2. 

解法二：同解法一，得

∴

得             ①

将a²=2b²－1代入①式，整理得

             ②

把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即

△=8（5d²－1）≥0，

得    5d²≥1.

∴5d²有最小值1，从而d有最小值. 

将其代入②式得2b²±4b+2=0. 解得b=±1.

将b=±1代入r²=2b²，得r²=2. 由r²=a²+1得a=±1.

综上a=±1，b=±1，r²=2.

由=1知a，b同号.

于是，所求圆的方程是

（x－1） ²+（y－1） ²=2，或（x+1） ²+（y+1） ²=2.

 

【模拟试题】

1. 求下列各圆的标准方程：

（1）圆心在上且过两点（2，0），（0，－4）；

（2）圆心在直线上，且与直线切于点M（2，－1）.

（3）圆心在直线上，且与坐标轴相切．

2. 已知圆．求：

（1）过点A（4，－3）的切线方程.（2）过点B（－5，2）的切线方程．

3. 下列方程各表示什么图形？

（1）；

（2）；

（3）

4. 求下列各圆的半径和圆的坐标：

（1）  

（2）

（3）

5. 若实数x、y满足等式 ，那么的最大值为（    ）

A.                           B.                         C.                 D.  

6. 经过圆上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．

7. 已知点M是圆上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形．

8. 已知一圆C的圆心为（2，－1），且该圆被直线：x－y－1=0 截得的弦长为2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．

9. 已知直线：mx－y=0 ，：x+my－m－2=0．

（1）求证：对m  ∈R，与 的交点P在一个定圆上；

（2）若与定圆的另一个交点为，与定圆的另一交点为，求当m在实数范围内取值时，Δ面积的最大值及对应的m．

 

【试题答案】

1. 分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数．

解：（1）设圆心坐标为（），则所求圆的方程为，

∵圆心在上，∴              ①

又∵圆过（2，0），（0，－4）∴  ②

                                                   ③

由①②③联立方程组，可得

∴所求圆的方程为．

（2）∵圆与直线相切，并切于点M（2，－1），则圆心必在过点M（2，－1）且垂直于的直线：上，

，即圆心为C（1，－2），=，

∴所求圆的方程为：．

（3）设所求圆的方程为，

∵圆与坐标轴相切，   ∴．

又∵圆心（）在直线上，∴．

由，得

∴所求圆的方程为：或

2. 分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式求得．

解：（1）∵点A（4，－3）在圆上．

∴过点A的切线方程为：．

（2）∵点B（－5，2）不在圆上，当过点B（－5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为，即

由，得．∴此时切线方程为：．

当过点B（－5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知=－5，也是切线方程．

综上所述，所求切线方程为：或=－5．

3.

（1） 解：此方程表示一个点O（0，0）．

（2） 解：可化为：  

∴此方程表示以点（1，－2）为圆心，为半径的圆．

（3） 解：可化为：，

∴此方程表示以（－，0）为圆心，为半径的圆．

4.

（1） 答案：即，圆心为（3，0），半径为3

（2） 答案：即，圆心为（0，－b），半径为｜b|．

（3） 答案：即，圆心为（， ），半径为｜｜．

5. 解：∵实数满足，

∴（）是圆上的点，记为P，

∵是直线OP的斜率，记为．

∴OP：，代入圆方程，消去，得．

直线OP与圆有公共点的充要条件是≥0，

∴，所以，选Ｄ．

6. 解：设M（）为线段PQ的中点，

∵圆的参数方程为

又∵点P为圆上任一点

∴可设点P的坐标为（2cosθ，2sinθ）

则Q点的坐标为（2cosθ，０）

由线段中点坐标公式，得点M轨迹的参数方程为：

消去参数θ，可得：  即．

7. 分析：先将圆化为利用圆的参数方程求解．

解：将已知圆的方程化为：

则其参数方程为故可设点M（2+2cosθ，2sinθ）

又∵点N（2，6）.∴MN的中点P为

∴点P的轨迹方程为：

它表示圆心在（2，3），半径为1的圆．

8. 分析：通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径，得到圆的方程，其它问题易解．

解：设圆C的方程是（r>0），

则弦长P=2，其中d为圆心到直线x－y－1=0的距离，

∴P=2=2，∴，

圆的方程为  ．

由   ，

解得弦的二端点坐标是（2，1）、（0，－1）．

∴过弦二端点的该圆的切线方程是

和

即 和．

点评：在圆中，对弦长的计算有两种方法：一用弦长公式．二用勾股定理，注意根据已知条件选用．本题中的切线方程若结合图形极易得出

9. 分析： 请试从作与 的图形，分析与 的位置入手解题．

解：（1）与 分别过定点（0，0）、（2，1），且两两垂直，

∴ 与 的交点必在以（0，0）、（2，1）为一条直径的圆：

 即 上．

（2）由（1）得 （0，0）、（2，1），

∴Δ面积的最大值必为．

此时OP与的夹角是，∴ m=3或．

点评：涉及多条曲线位置关系问题，要注意运用图形分析方法，用图形的直观来避免代数运算的盲目性和复杂性．