巧思妙解2011年高考数学题（全国卷）

巧思妙解2011年高考数学题（全国卷）

杨洪林

1.（Ⅰ卷，文21）已知函数.

 

（1） 证明：曲线y = f（x）在x = 0处的切线过点（2，2）；

 

（2）若f（x）在x = x₀处取得极小值，x₀∈（1，3），求a的取值范围.

 

【参考答案】

 

（1）.

 

由得曲线y = f（x）在x = 0处的切线方程为

 

.由此可知曲线y = f（x）在x = 0处的切线过点（2，2）.

 

（2）由得

 

①当 -- 1≤ a ≤- 1时，没有极小值；

 

②当或时，由得

 

故x₀ = x₂ .由题设知 ，

 

当时，不等式无解；

 

当时，解不等式 得.

 

综合①②得的取值范围是.

 

·巧思·

 

①（1）中，利用“k_切 = k_PQ”（P、Q为定点、切点），根据“两点决定一条直线”，可以避免求出切线方程，而“直截了当”地证明。

 

②（2）中，利用三次函数的中心对称性，先将f（x）化为“中心式”，求出对称中心（- a，c）；再利用x ³系数为正的三次函数的极大值点和极小值点分别在“中心点”的左、右，便得x₀ ＞- a。

 

③ 将方程f ’（x₀）=  0中含x ₀的项配平方，得到（x₀ + a）²，“0＜x₀ + a＜3 + a”便就有了作用；再将含a的项合并，得到2a（1- x₀），“x₀＞1”也就有了作用……如此，可避免解方程和分类讨论。

 

·妙解·

 

（1）设P（2，2），切点Q（0，12a - 4）.k_切 = 3 - 6a = k_PQ切线PQ.

 

（2）f（x）可化为（x + a）³ + b（x + a）+ c曲线y = f（x）关于点（- a，c）对称x₀＞- a.

 

题设 f  ’（x₀）=3（x₀² + 2ax₀ + 1 - 2a）= 00＜（x₀ + a）² = a² + 2a -1＜(3 + a）²，

 

 且2a（1- x₀）= x₀² + 1＞0（x₀＞1）a＜0a∈（-2.5，--1）即为所求.

 

【评注】

 

①（1）中，证明过一已知点、斜率也已知的直线必过另一定点，不等于一定要先求出直线方程、再将坐标代入检验；解题要做到“能省则省”、能不“绕弯子”则尽量不“绕弯子”。

 

②（2）的求解过程，体现了命题的本意：为何函数式中x²的系数用3a而不用a？为何条件是“x₀∈（1，3）”而不是“x₀∈（0，3）”或“x₀∈（2，3）”等？可谓“首尾呼应”、“问答相称”。

 

③二次函数的图像（抛物线）是轴对称图形，三次函数的图像（S形线）是中心对称图形；前者的定义域分为两个单调区间，后者的定义域为一个单调区间或分为三个单调区间；教师可补充介绍后者的性质。

 

2.（Ⅰ卷，理21、文22）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 -的直线与C交于A、B两点，点P满足.

 

 

(1)证明：点P在C上；

 

（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

 

【参考答案】

 

(1) F（0， 1），的方程为，代入并化简得.

 

设， 则

 

 

由题意得所以点的坐标为.

 

经验证点的坐标满足方程，故点在椭圆上.

 

(2)由和题设知，，的垂直平分线的方程为.①

 

设的中点为，则，的垂直平分线的方程为.②

 

由①、②得、的交点为.，

 

，， ，

 

，故 ，

 

又， ，所以，

 

由此知、、、四点在以为圆心，为半径的圆上.

 

·巧思·

 

①将A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），可得两个对称的等式，由此又得两个简单的关系式；再利用“k_DF = k_DA”所得简单的关系式，便可求出点P的坐标及其它结果。

 

②利用平面几何中“圆的相交弦定理”的逆定理，证明“DA·DB = DP·DQ”，可得A、P、B、Q四点共圆.如此，可避免出现直线方程和复杂的代数式，而节省许多文字、减少不少篇幅。

 

③将（1）、（2）合并解答，则进一步节省许多文字、减少不少篇幅。

 

·妙解·

 

（1）（2）F（1，0），设AB的中点D（a， b），A（a + m，b + n），B（a - m，b - n）（abm n≠0），则2（a + m）² +(b + n）² = 2，2（a - m）² + (b - n）² = 22am + bn = 0，2（a² + m²）+（b²+ n²）= 2 　　①，

 

且k_DF == k_DA = -　　②，

 

P、D、Q共线. ①②（a，b）=      (，)，m² =，n² =.

 

P(-，-1)在椭圆C上，且DA·DB = m² + n²==3（a² + b²）= DP·DQA、P、B、Q四点共圆.

 

【评注】

 

①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中常用手法之一。

 

②将初中数学知识与高中数学结合运用，可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神为凡”。

 

3.（Ⅱ卷，文20）在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上

 

（1）求圆C的方程；

 

（2）若圆C与直线x – y +  a = 0交于A，B两点，且，求a的值.

 

【参考答案】

 

（1）曲线与坐标轴的交点为（0， 1），（3±2， 0）.

 

故可设圆的圆心坐标为（3，t），则有3² +（t -1）² =（2）² + t ².

 

解得t = 1，则圆的半径为= 3，

 

所以圆的方程为（x-3）² +（y -1）² = 9.

 

（2）设A（x₁， y₁） B（x₂ y₂）其坐标满足方程组.

 

消去y得到方程2x² +（2a - 8）x + a² -2a + 1 = 0，

 

由已知可得判别式 △=56 - 16a - 4a²＞0.

 

由韦达定理可得x₁ + x₂  = 4 - a，x₁x₂ = ，①

 

由可得x₁x₂ + y₁y₂ = 0，

 

又y₁ = x₁ + a， y₂ = x₂ + a，所以2x₁x₂ + a（x₁ + x₂ ）+ a² = 0，②

 

由①②可得a = -1， 满足△＞0，故a = -1.

 

·巧思·

 

①（1）中，利用“圆的切割线定理”的逆定理，便知y轴与圆相切，则圆心和半径立得。

 

②（2）中，将坐标轴平移，使圆心成为原点，则方程比较简单、运算比较方便。

 

③ 将点A、B的坐标设为对称式（关于中点对称并利用直线斜率为1的条件），可得两个对称的等式，由此又得两个简单的关系式，从而进一步方便了运算、缩减了过程。

 

·妙解·

 

（1）曲线与坐标轴交于D（1，0），E（m，0），F（n，0）m + n = 6，mn = 1OD² = OE·OF

 

切线OD圆心（3，1），半径r =3C：（x-3）²+（y -1）²= 9.

 

（2）平移坐标轴，使C成为原点，则O（-3，-1），C：x²+ y ²= 9， 直线：x–y + 2 + a = 0.

 

可设A（b + d，c + d），B（b - d，c - d）（b + d）²+（c + d）²= 9，（b - d）²+（c- d）²= 9

 

b²+ c² + 2d ²= 9 ①， b + c = 0 ②.（b + d +3）（b–d + 3）+（c + d + 1）（c - d + 1）     = 0 ③.

 

①②③2b = -1a =（c + d）-（b + d）- 2 = -2b - 2 = - 1.

 

【评注】

 

①（1）中，平面几何知识的运用，使得解题的步骤“顺流直下”、“势如破竹”、“一气呵成”。

 

②（2）中，坐标轴的平移运动，使得圆的方程变为标准式而利于运算，其手法可广泛运用。

 

③ 关于中点（中间值）对称的式子的采用，使得一些相反的量可以抵消，其方法可以推广。

 

4.（Ⅱ卷，理20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，-1)，B点在直线y = -3上，M点满足∥，·=·，M点的轨迹为曲线C.

 

（1）求C的方程；

 

（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.

 

【参考答案】

 

（1）设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).

 

所以=（- x，-1 - y）， =(0，-3 - y)， =(x，- 2).

 

再由题意可知（+）·= 0， 即（- x， - 4 - 2y）?(x， - 2) = 0.

 

所以曲线C的方程式为y =x- 2.

 

（2）设P(x，y)为曲线C：y =x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x_.

 

因此l为，即.

 

则O点到的距离.又，

 

所以

 

当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.

 

·巧思·

 

①（1）中，利用平面几何中“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，得出“MA =MB”后，再利用抛物线的定义，便得曲线C的方程；如此，可以避免出现点和向量的坐标，而节省文字和篇幅。

 

②（2）中利用“O到l的距离最小时，OP ^ l”，可以避免出现直线l的方程和繁分式， 而节省文字和篇幅。

 

·妙解·

 

（1）设AB的中点为D，题设（+）·= 2·= 0MD^ABMA = MB

 

C是以点A为焦点、以直线y = -3为准线的抛物线：x² = 4（y + 2）.

 

（2）题设O到l的距离最小时，OP ^ l题意 OP ^ l时，求d = OP的最小值.

 

设P（x， y）d ²= x²+ y² = 4（y + 2）+ y²=（y + 2）²+ 4 ≥ 4d_min = 2.（此时P（0，-2），l：y = -2）

 

【评注】

 

①（1）的解答的启发：利用定义（图形的定义、关系的定义等）解题虽然是常用方法，但有时给出的条件并非明显的“定义式”，这就需要将条件进行转化，使之符合某个定义。

 

②（2）的解答进一步展现了“转化”的思想：条件可以转化，结论可以转化，问题可以转化……可以单独转化，可以同时转化……转化为简单的式子、简单的情况、简单的要求……

 

5.（Ⅱ卷，理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.

 

（1）求、的值；

 

（2）如果当x ＞0，且时，，求的取值范围.

 

【参考答案】

 

（1）……a = 1， b = 1.

 

（2）由（1）知，f（x）=+，所以.

 

考虑函数，则.

 

①设k≤0，由知，当时，，h(x)递减.

 

而_，故当时， ，可得；

 

当x∈（1，+）时，h（x）＜0，可得h（x）＞ 0.

 

从而当x＞0，且x1时，f（x）-（+）＞0，即f（x）＞+.

 

②设0＜k＜1.由于= 的图像开口向下，

 

 

且，对称轴x =_.当x∈（1，）时，（k-1）（x² + 1）+ 2x＞0，

 

故(x）＞0，而h（1）= 0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0， 与题设矛盾.

 

③设k≥1.此时x² + 1≥2x，(x）＞0，而h（1）= 0，

 

故当x∈（1，+）时，h（x）＞0，可得h（x）＜ 0，与题设矛盾.

 

综合得，k的取值范围为（-，0].

 

·巧思·

 

①由于_，故可考虑x→1时的极限：f（x）→1，→1（此处需要运用型极限的“罗必塔法则”），于是应有f（x）＞，亦即“f（x）-＞0”，因此问题便转化为证明这个不含k的不等式成立（若成立， 则k≤0），从而避免了对k的取值情况的分类讨论。

 

②将“f（x）-”中含有lnx的两个式子“合二而一”，并使分子与分母“分离”，则所得函数的导函数易求且简单，从而进一步节省了文字、减少了篇幅。

 

③得到x＞1时的结论后，分析0＜x＜1时的情况，利用“0＜x＜1＞1”，问题便又转化为前一种情况；

 

对此时的不等式进行变形，定能得到相同的结论。

 

·妙解·

 

（2）设g（x）= x --2lnx（x＞0）g ’（x）= ≥0 g（x）递增

 

x＞1时，g（x）＞g（1）  = 0＞ ；0＜x＜1时，＞1x＞  =＞

 

 f（x）=+＞（x＞0，x≠1），且f（x）= 1，== = 1.

 

故恒有f（x）＞+k≤0.

 

【评注】

 

①由于“分类讨论”要对参变量的所有可能的取值情况进行考虑，因此分类必须周全、细密，这就增加了工作量，而且其中往往包含有“无效劳动”和“重复劳动”。所以“分类讨论”不应当是首选的方法，而只能是迫不得已才采用的方法——能不分类则不分类，能少分类则少分类。

 

②将含有参变量的不等式的研究，转化为不含有参变量的不等式的研究，是个“突如其来”的转化、“翻天覆地”的转化，问题一下子变得清晰许多、简单许多、轻松许多……

 

③将lnx与有理式分离的函数g（x）的设立，不仅其导数易求、简单，而且导数的表达式反映了命题条件的本意：分子、分母“恰好”都是完全平方式，导数的零点“恰好”是另一函数的间断点……

 

6.（Ⅱ卷，文24、理24）设函数，其中.

 

（1）当a = 1时，求不等式f（x）≥3x + 2的解集；

 

（2）若不等式f（x）≤ 0的解集为｛x∣x ≤ - 1 ｝，求a的值.

 

【参考答案】

 

（1）……｛x∣x ≥3或x ≤-1｝.

 

（2）由f（x）≤ 0得∣x - a∣+ 3x ≤ 0.此不等式化为不等式组

 

 或_， 即 或_.

 

因为，所以不等式组的解集为.由题设可得= ，故a = 2_.

 

·巧思·

 

利用条件和结论中的等号应当同时成立，立即得到仅含a的方程；既不需要解含两个字母的不等式组，又避免了对于x≥a和x≤a的分类讨论。

 

·妙解·

 

（2）题设 f（-1）=-3 = 0（a＞0）a = 2.

 

【评注】

 

①将对不等式的处理，转化为对等式的处理；将对含有两个字母的式子的处理，转化为对只含有一个字母的式子的处理——情况就大大“变化”，要求就大大“降低”……

 

②如果去掉题中的条件“a＞0”，那么两种解答的难易对照、繁简对比将更加明显、更加突出。

 

【小结】

 

①数学是美的，“简洁美”是其中之一，也是主要的数学美，解决数学问题应当——力求简洁、简明、简单、简便，力求创优创新、尽善尽美。亦即：应当——探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法，探求尽可能简洁的语句、尽可能简短的表述。

 

②如果某个数学问题的解答过程比较复杂、步骤比较冗长，我们就要思考：这个解法算得上“较好”吗？“很好”吗？“极好”吗？还能够“改变”吗？“改造”吗？“改进”吗？亦即：教师传输给学生的知识，不仅应当是“正品”，而且还应当是“精品”、“极品”。

 

③“通解通法”固然需要掌握，然而知识的灵活运用对于培养学生的能力更加重要、必要甚至首要，何况高考综合题一般也不是仅用“通解通法”就能奏效的：尽管教师“千回万回”地讲解，学生“千遍百遍”地练习，最后面对试卷，许多人还是一筹莫展——这个问题更值得我们思考、思索、思虑……

 

（本文作者系退休机关干部、中学数学教师）

2011-07-07  人教网