赋值法(点乘双根法)解决解析几何大题

这个方法的核心就是二次方程有 

然后我们就可以对  赋值然后得出有关  的式子，具体说是  这一类式子

例如令  ，可以得到 

即 

令得  同乘  移项化简得到  的值

那么为什么令  ？(赋值的方法)首先对比  与  的关系，调整系数  乘  得，  与  对比，得出  则 可得

这与把  和  打开再带入联立得出的  ，  相比是不是运算量小了很多

运用前提:目标式子是对称结构，即全部可以用  ，  表示的式子，而且是相乘的式子即  的形式

对于非对称结构我在上一篇文章有讲

看看这个方法在有关考题的运用

题1：(吉林一中等五校2018联考)已知椭圆   的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为  (1)求椭圆标准方程(2)是否存在过点  的直线  与椭圆交于不同两点  ，且满足  ，若存在,求出直线  的方程；若不存在，请说明理由.

(1) 

(2)考试参考答案：当直线  斜率不存在时， 

 ，不符合题意

当直线 斜率存在时，设直线的方程为  ， 

联立  与  得 

 解得 或 

 ， 

因为  所以  解得  满足 

故存在符合题意的直线，其方程为 

用赋值法做：当直线  斜率不存在时， 

 ，不符合题意

当直线 斜率存在时，设直线的方程为  ， 

则 

联立  与  得 

令  得  即 

令  得  化简得 则 

故  解得  带入  满足  故存在符合题意的直线，其方程为 

对比两种方法，明显第二种的运算量要小

题2：已知 是坐标原点，若椭圆  的离心率为  ，右顶点为  上顶点为  ，  的面积为  (1)求椭圆方的标准方程(2)已知点  ，  为椭圆上两动点，若  ，证明：直线  恒过定点.

解:(1) 

(2)设   ,则   又  即 

整理得 

联立直线  与  得 

令  得  即 

令  化简得 

则 

化简得  解得  故直线恒过定点 

看这比用韦达定理的   代出来是不是要快

题3(2013天津)：设椭圆 的左焦点为  ，离心率为  ，过点  ,且与  轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为  (1)设  分别为椭圆的左右顶点，过点  且斜率为  的直线交椭圆于  两点，若  ,求直线的斜率  的值.

解:(1) 

(2)由(1)得 

当斜率不存在时,设  ,则    

此时  ，故斜率必存在

设   则    

又 

则 

化简得 

联立  与  得 

令  整理得 

令  整理得 

故 

化简得  得 

总结：通过赋值可快速得出 这类式子的值可以很好地简化大题的运算，但是赋值不能得出单独的  ，所以遇到单独的 是无法赋值得出的，还是老老实实联立韦达吧，或者因式分解成  的形式，这也是这个方法的局限

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