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一天，张三和李四正在路上走，突然一个神仙出现在他们面前，拿出两个红包对他们说：“我在这两个红包里面放了完全随机数量的钱，唯一的限制就是，其中一个红包的数额必定是另一个的两倍。你们两个一人拿一个吧。” 听完后，张三对李四说，这两个红包不知被施了什么仙术，外观上看完全一样，尽管一个多一个少，但我们根本分辨不出，你就随便拿一个吧，剩下那个留给我，咱俩谁的钱多，就全看天意了。李四本也觉得既然两个红包一模一样，先拿后拿区别确实不大，但正当他准备打开其中一个红包时，灵光一闪，忽然觉得事情不太对劲，便对张三说：“这个先后拿顺序好像有影响啊，虽然感觉怪怪的，但假设我先拿的红包里面的金额是x，按照规则，你后拿的红包里面可能是2x和0.5x，它们概率是一样的，这样第二个红包的金额期望就是1.25x，比第一个红包多啊！” 张三忽然就懵逼了，心想这李四还真是个数学鬼才，显而易见的事情，竟然被他反驳了？于是张三放下手中的红包，对李四说：“既然你觉得我这个后拿的红包金额期望比较大，那不如咱们换换？”李四霎时间就尴尬了，这换一下有什么本质的区别？红包还是一样，就因为先后顺序不同，里面的钱还能一会变多一会变少不成？如果我确定要拿左边的红包，先拿的话，期望是x，但如果让张三先把右边的拿走，我第二个拿左边，就能凭空增加金额的期望，变成1.25x吗？ 张三见李四如此纠结，略一思考，便知道问题的所在了，说道：“一个未知数恐怕不够，我们假定两个红包中较小的那个红包里的金额是a，那么较大的红包里金额是2a。按照你的说法，我第一个拿的红包里的金额是x，这里有两种情况，假设我拿到的是较小的红包，则x=a，若我拿到的是较大的红包，则x=2a，因此我第一个拿红包的期望是1.5a，对你来说，假设我拿到小红包，则你会得到2a，而我拿到大红包，则你会得到a，那么你的期望同样是1.5a，我们还是公平的。” 李四恍然大悟，“这里的x是一个变量，我们不能把他认为是一个确定的量，所以我之前计算的是错误的！”，张三点点头，李四接着问，“那假设你第一个拿了红包之后，把他打开，确定了第一个红包里面的金额之后，我第二个打开的红包里的期望还会与你一样吗？”张三随口说道，“想想不就知道了吗，假设我先拿的红包，打开之后里面有一万元，如果我是较小的红包，那你就有两万元，而我如果是较大的红包，那你就有五千元，你的期望是……” 啊，沉默，沉默是今晚的康桥。张三和李四同时意识到，如果打开第一个红包确认了里面的金额后，第二个红包里的期望金额就像李四最开始算的那样，始终比第一个红包多，这部就意味着，打开与不打开的天壤之别吗？更进一步，还有更可怕的事情，一定要确认里面的金额吗，打开第一个红包之后，即使知道里面的金额，只要知道这是一个随机的确定的常数，那第二个红包期望较高的结论依然成立！但其实，当这两个红包封装好之后，里面的金额就已经确定了，第一个红包的金额也已经确定了，这不是回到最开始的悖论了吗？后拿的那个人真的更占优势吗？ 这确实是一个让人难以接受的结论，两个完全一样的红包，怎么可能先拿的吃亏呢？其实，这就是有名的“双信封悖论”，我们大可以换一个思路，无论张三选哪一个红包，按照神仙的说法，他得到的金额都是随机的，对于这样一个事件，提出一个新的问题，在题设条件下，张三拿第一个红包，他所获得的金额期望是多少呢？假设张三所有可能取到的金额总数是n（实际上就是所有正数的个数），那么他取到特定金额，比如一万元的概率就是1/n，按照求平均值的一般方法，张三的金额期望是：所有正数的和/正数的个数。这实在是一个难以计算的数值。我们可以换一种方式，一个显而易见的结论是，在一串数字中随机选取一个数字，其期望一定是这串数字的中位数，例如1到100随机选取，那么期望就是50，对于严格等差排列的数列而言，期望就是最大数的一半。那么对于张三来说，他的金额可没有上限，他的期望实际上就是x=0.5∞。再来看看李四，张三的金额确定之后，他的期望金额也就随之确定了，1.25x，也就是0.625∞。到这里，结果就很明显了，对于张三和李四而言，他们各自的金额期望在这个层面上是相等的，换言之，前面的1.25x=x可以认为是成立的。 涉及到无穷大的部分实在不太严谨（两个无穷大实际上是等势的，而不是相等），但这勉强可以解释前面的矛盾，对于神仙来说，在一个红包里面放入无穷多的钱当然不在话下。但在我们真实的生活中，红包的数额总有个上限，那么第一个红包的金额期望也就有一个明确的实数值了，如果红包里最多有1000元，那期望自然是500元。假设第一个红包开出600元，那么第二个红包的金额期望是1.25×600=750元吗？并不会，因为第二个红包只能是300元啊。 |
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