与圆相关的动点路径试题解析

问题引入

已知的半径为，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为______．

图1

从简单问题入手

在图2中，的半径为，点为上的一个动点，点在线段上，且，(为定值)，可得(定值).

图2

所以当点在运动时，点的路径是以为半径的圆.

到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆.

作一些变化

把图2中的线段一个端点从圆心移到圆内的其它任意一点.(图3)

图3

当点在上运动的时候，线段上一点的路径还是不是一个圆呢？

在图3中，定义点为圆内点，点为主动点，点为从动点.

连接，找出线段上一点，使得，

图4

再连接、，可知，.
的长度是定值，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.

图5 点的轨迹

所以的轨迹也是一个圆，这个圆上的点都是的轨迹上的点沿方向平移得到的.平移距离是的长度.
所以从动圆的圆心也是沿方向平移的长度得到.

图6 点的轨迹，绿色圆

图7  补一张、轨迹演示图

如果主动点的运动轨迹是圆，那么从动点的运动轨迹也是一个圆.
我们把这两个圆分别叫做主动圆和从动圆.
从动圆的圆心在主动圆的圆心和圆内点之间的连线段上.
两个圆心之间的距离是圆内点和主动圆心的倍.
如果圆内点变成圆外点，结果又会如果呢？

图8 得到的结果和圆内点的时候是一样的

一个简单的例子

如图9，在等腰中，，，点P在以为直径的半圆上，为的中点.当点P沿半圆从点A运动到点B时，点M运动的路径长是

图9

先确定图中的点的名称

图10

主动点、从动点、圆内点之间是平移的关系，就是将主动圆心向圆内点平移，使得它为中点，

图11

可知，图中红色虚线就是点的路径，其长度为.

继续深化一下

以上从动点由主动点平移得到的.
当从动点是通过旋转主动点得到的，那又是什么情况呢？

图12

如图，点是由点绕圆内点逆时针旋转度得到，那么当在上运动时，点的轨迹也是圆（从动圆）.此时从动圆的圆心也是由主动圆的圆心绕圆内点逆时针得到的.

图13 可以得到图中的两个有色三角形是相似的

图14 再补充一下动态图

如果从动点是由主动点既平移又旋转得到，那么从动圆的圆心一定是由主动圆的圆心既平移又旋转得到.平移的方向和旋转的中心都和圆内点有关.

第二个例子

已知的半径为，为圆内一定点，．为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为___________．

图15

先看下面的图：

图16

由，在红线上找一点使得，这样就确定了从动圆的圆心.

就是从动圆的半径.由上图可知，，

图17

，，.

图18