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本文为“第二届数学文化征文比赛”参赛作品，点击图片查看第二届数学文化征文比赛通知。 带着问题学习数学 作者：朱善军 作品编号：007 投稿时间：2020.6.9 数学是人们从小到大就开始学习的一门学科，其古老的历史成就了它非凡的意义。从古代先贤利用数字为物品计数开始，直到今天数学在现代化进程中占据的不可或缺的位置，在这漫漫的历史长河中，数学似乎一直在向人们展现出自身的独特魅力。毫无疑问的是，数学已经完全融入进我们的日常生活中。无论是智能手机中信号传输需要用到傅里叶变换，还是人工智能用到矩阵论和优化理论，诸如此例无一不显现出数学在科技发展中所起到的基础性作用。显然，数学在当代社会中所起到的贡献有目共睹，然而令人感到惊讶的是，人们似乎对数学原理的认知还停留在表面上。 在大多数人的心目中，数学是一些定义或者定理的 “杂乱”堆砌。究其原因，一方面是由于现今的不少教科书写作上欠缺考虑，不太将一些定义或定理的来龙去脉以及数学结果中的联系表达出来，给读者造成一种随意堆砌结论的错觉；而另一方面，由于数学在现今各个领域内都大展拳脚，以至于细化到某一领域方向的人们误以为数学是碎片化的，他们常常认为自己要学习或研究的方向里用到的都是一些零碎的数学结论。这样的现象，其实放到专门学习数学的学生身上也是不例外的。至少从笔者自身求学经历来看，这样的说法似乎一点都不夸张。 笔者在本科期间自学《泛函分析》课程(见图 1)时，曾有一系列的读书感悟。譬如，有下列一些感悟：
不似第三条感悟那么具体，前两个感悟放之其他数学课程也皆准。带着这些疑问学习泛函分析课程，笔者逐渐意识到泛函分析似乎也是在解决一系列与泛函和算子有关的一些问题，于是笔者后期写了一篇自己的读书笔记《带着问题看泛函分析》。 从泛函分析的学习作为开端，笔者开始有意带着问题学习其他数学高深课程。此外，笔者也开始逐渐回顾和反思先前修读的一些数学课程，才惊觉原来数学并不是孤零零的一些结果的呈现，相反是一门典型的问题驱动类型的学科。相信这与绝大多数人的固有看法相悖，或许这只能归咎于现如今的数学课太过于看重结果传授而忽视思想教学。 为了能够更好地阐述数学具有典型的问题驱动特点，笔者从以下一些基本的历史事实出发展开探讨。 1. 高次方程求根公式与伽罗瓦理论（根式解“无”）从初高中阶段开始，一元一次方程与一元二次方程的求根公式便是大多数厌恶数学的朋友们心中的噩梦。前者的解法是极其简单的，但是后者似乎从技巧上开始有所创新。求解一元二次方程，我们非常喜欢用“配方法”作为解决问题的工具，甚至这一工具放在线性代数中一般二次型化为标准型问题上也是很有效的。一元二次方程的解法令不少人头疼，甚至到了高中阶段仍然要时不时面对，然而简单的一元二次方程的解法其实早已在两千多年前就已经得到了解决。随后经过不少数学家的艰苦努力，人们逐渐能够将一些具有实数根的一元二次方程的解法摸索清楚。随着研究不断向前推进，一些困难问题逐渐显露出来，比如：
针对前一个问题，我们后来知道数学家笛卡尔创立虚数这个名词，而后 18 世纪的大数学家欧拉开始使用符号 i 表示虚数的单位。从虚数开创以来，不少人认为其在自然界中虚无缥缈，没有任何实际的意义。然而，欧拉引进这个符号后巧妙地建立起来虚数单位 i 与其余四个具有特定意义实数之间关系，即所谓的欧拉公式：eiπ+1=0。欧拉公式至今仍被人们赞誉为是世界上最优美的数学公式，其优美之处或许是上帝赋予的。除此之外，当数学界内部不仅仅研究实数时，人们自然关心复数世界的个中奥妙。大学理工科学生所学习的高等数学课程，可以说是针对实变量函数的微积分，如果将所考虑的函数扩充为复变量函数，那么所要研究的微积分也就针对所谓的解析函数了。很明显，微积分初创到现今已经有三四百年时间之久，考虑带有虚数单位 i 的分析学——复分析也已经成为当今一大重要数学分支。从某种角度来说，这也是欧拉着重应用 i 的一个结果。 从纵向角度出发，一元高次方程的解法是数学史发展的必然选择。在那个信息还不那么发达的 16 世纪，就已经有人独立地找到了一元三次方程的求根公式。起初发现公式的那个人（后世称该人为“塔塔利亚”）在举办的一系列数学比赛中大获全胜。然而令人感到遗憾的是，塔塔利亚一时糊涂没有意识到发表重大成果的重要性。后来 “投机者”将这一解法公诸于众，由此一元三次方程的解法才得见人间。不像一元二次方程与一元三次方程解法面世时间间隔那么久，在得到一元三次方程求根公式不久后，人们逐渐得到一元四次方程的求根公式。满是好奇心的数学家们，以为一元五次方程的解法也可以很快得到，然而让他们感到失望的是，他们只能得到比较简单的五次方程的根式解。这一艰难问题驱使着数学家们前赴后继地耕耘于此，当中所遭遇的失败和辛酸或许只有他们自己才能体会到。在攻克该问题的过程中，有部分数学家发展了一套“群论”的工具。这当中的代表有穷困潦倒的阿贝尔以及据说因为爱情死于非命的伽罗瓦。阿贝尔与伽罗瓦的共同特征之一是他们都英年早逝，或许是因为他们揭开了上帝隐藏起来的秘密。上帝的秘密就是：一元高次方程是否有根式解问题，可以巧妙地转化为该方程的 Galois 群是否是可解群的问题。天才的伽罗瓦凭借着自己的一腔激情，创建了所谓的伽罗瓦理论，而一元高次方程的根式解问题不过是该理论中的一个应用。 2. 希尔伯特的 23 个数学问题（灵魂“一”问）一个不争的事实是，20 世纪的数学成果喷涌般地涌现。在这样一个数学界各个分支百花齐放的世纪里，人们不得不思考这一切是否都是有规可循的。在 19 世纪末与 20 世纪初的世纪之交，被誉为“数学界的无冕之王”的希尔伯特开始有了一些独特想法，其中一个想法是：讨论一下未来数学发展的方向。实际上，讨论数学发展前景并不是一件容易的事，这或许只有当时的大数学家希尔伯特才有这样的能力。著名物理学家费里曼·戴森曾将数学家分为“飞鸟”和“青蛙”两种类别(见图 2)，飞鸟者俯瞰数学宽广外貌，青蛙者探索特点问题细节。从这个角度出发，希尔伯特似乎更像是数学飞鸟。 23 个数学问题的提出显然需要很长时间准备，这对于希尔伯特而言无疑是一个不小的挑战。事实上，提出问题本身要比解决问题更加困难。当我们在惆怅希尔伯特的 23 个数学问题困难之大的同时，也应当赞叹“全能型”数学家希尔伯特的英明神武。这些问题的解决也许要借助一些新的理论，有的或许可以刺激一门学科的发展。后者正像数学史上的一些著名问题一样，比如最速降落线问题就是现代数学分支变分法的起源。 这些数学问题一经提出后，不少数学家开始将解决希尔伯特 23 个问题作为自己一生的奋斗目标。其中不乏颇有名气的数学家，比如撰写过俄罗斯数学教材《常微分方程》的庞特里亚金，奥地利数学家哥德尔和德国数学家阿廷(Emil Artin)等。非常值得一提的是，庞特里亚金即便双目失明也仍然在数学领域中勤奋劳作，这等刻苦精神很值得我们学习效仿。甚至可以说，被誉为数学界诺贝尔奖的菲尔兹奖获得者当中也有不少是因为在这些问题中做出突破而夺得桂冠的。因此，可以想见，希尔伯特在 1900 年国际数学家大会上所提出的问题多么深刻，激发了众多数学家的聪明才智。 距离 1900 年已过去百年有余，然希尔伯特所提出的问题仍然鼓舞着我们继续前行。同时，新时代也会不断诞生出新的问题，这些问题同样也在为我们的艰苦努力提供源源不断的动力。数学中的结果似乎从来都不是显然得到的，它们的背后蕴藏着无数数学家奋斗的结晶。当我们这些数学“后浪”们在享受“前浪”所创造出的优美结果之前，是不是应该思考一下，应当如何带着问题学习数学呢？ 第二届数学文化征文比赛通知 第二届数学文化征文比赛评委简介 第一届数学文化征文活动文章集锦 |
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