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前面讲过“手拉手模型”。我们知道，世间万物，很多都是成对存在的，既然有手拉手，自然也有脚拉脚。好啦，今天我们就来讲一下脚拉脚模型。  “脚拉脚模型” 如图中等腰△ABC与等腰△DCE中，底角顶点相交于点C，顶角∠A与∠D互补，这就是“脚拉脚模型” 连接BE,取中点F，连接AF,DF。 则有结论: AF⊥DF 法一：倍长中线法 证明：延长AF至点G，使AF=FG 易知：△AFB≌△GFE ∴ AC=GE ∠ACD=360°-(∠ACB+∠DCE+∠BCE)=360°-90°-∠ACB=270°-∠BCE ∠DEG=∠DEB+∠GEB =∠DEC+∠BEC+∠ABC+∠CBE 又∵ ∠CBE+∠BEC=180°-∠BCE ∠DEC+∠ABC=∠ACB+∠DCE=90° ∴ ∠DEG=180°-∠BCE+90° =270°-∠BCE ∴∠DEG=∠ACD ∴易知：△ACD≌△DEG ∴AD=DG 又∵ F为AG的中点 ∴AF⊥DF 补充：本题也可以利用对角互补导角 如图，延长AF至G，使得AF=FG ∴易知：△AFB≌△GFE ∴AB//EG 延长EG,AC,交于点H ∵AB//EG ∴∠BAC=∠CHG 又∵∠BAC+∠CDE=180° ∴∠CHG+∠CDE=180° ∴∠DEG+∠DCH=180° ∴∠DEG=∠ADC ∴易证：△ACD≌△DEG ∴AD=DG 又∵ F为AG的中点 ∴AF⊥DF 法二： 构造共顶点手拉手 如图，延长BA至M，使AM=AB 则△ACM为等腰三角形 同理：构造等腰△CDN ∴ 易知：△BCM∽△ECN 连接ME,BN 易知：△BCN∽△MCE ∴ ∠CMB=∠NBC ∴ △MRO∽△BRC ∴ ∠MOR=∠RCB=90° ∴ BN⊥ME 又∵AF为△BCM的中位线 ∴ AF//ME ∴ ∠OPE=90° 同理可知：∠OQF=90° ∴四边形PFQO为矩形 ∴AF⊥DF
取BC中点G,CE中点H, 由此易知：△AGF≌△FHD ∠1=∠4,∠2=∠3 ∴ ∠AFD=∠GFH-(∠2+∠4)=180°-∠CGF-(∠2+∠4) ∠AGF=180°-（∠1+∠2） ∴∠CGF=90°-（∠1+∠2）=90°-(∠2+∠4) ∠AFD=180°-90°+(∠2+∠4)-(∠2+∠4)=90° ∴AF⊥DF 特殊情况：当等腰△ABC与等腰△DCE，都是等腰直角三角形时 有AF⊥DF,且AF=DF 如图所示： 证明方式同上. 小结：脚拉脚模型的结论比较简单，但是注意，证明过程的辅助线作法，以及一些几何的转化方式，比结论本身更加重要。 例1:已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么BM和DM有什么关系？ 不用多说，我们刚讲的脚拉脚模型，我们已经知道结论：BM⊥DM,且BM=DM，但是，请注意，这里是大题，我们要进行严格证明才行 证明：延长DM至点F，使得DM=DF,连接FC,BF ∴△ADB≌△CFB（SAS） ∴∠DEM=∠FCM ,DM=FM ∴DE//CF 如图，延长AD,CF，使它们相交于点G ∵DE//CF ∴∠AGC=90° 又∵∠ABC=90° ∴∠BAC=∠BCG ∴易知：△ABD≌△CBF(SAS) ∴BD=BF，且∠DBF=90° ∴△DBF为等腰直角三角形 又∵M为DF中点 ∴BM⊥DM,且BM=DM
注意：这里哪些点连哪些点很重要，前面的证明中都有给出，千万不能连错。以及辅助线的做法，向哪里作辅助线，要搞清楚方向，以免出错.  例2：已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF． （1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是__________． （2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使得B,C,E共线，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明．
(1) 解析：如图，延长DM交EF于点P 则易知：△ADM≌△EPM ∴DM=PM=FM 又∵PE=AD=DC,EF=FC ∴FP=EF-PE FD=FC-DC ∴FP=FD ∴△DFP为等腰直角三角形 ∴MF⊥MD
(2) 解析：如图，延长DM，与CE相交于点N 易知：△ADM ≌△ENM ∴AD=DC=NE ∴△DCF与△NEF中， DC=NE,∠DCF=∠NEF,CF=EF ∴△DCF≌△NEF ∴DF=FN ∴MF=MD,且MF⊥MD
例3：如图，∠BAC=60°,∠CDE=120°,AB=AC,DC=DE，连接BE，P为BE的中点． (1)如图1，若A、C、D三点共线，求∠PAC的度数； (2)如图2，若A、C、D三点不共线，求证：AP⊥DP；
(1)解析：如图，延长AP至点F，使得AP=PF 易知：△ABP≌△FEP ∴∠BAP=∠EFP ∴EF//AB ∵ AB=AC=EF,CD=DE ∴ AC+CD=EF+DE ∴ AD=FD ∴ △ADF为等腰三角形 ∴ ∠PAC=∠PFD=30°
(2)解析：如图，延长AP至点F，使得AP=PF ∴由（1）易知：△ABP≌△FEP，AB//EF，AC=EF 如图，延长AC，交EF于点G ∵ AB//EF ∴∠BAC=∠CGE=60° ∵∠CGE+∠CDE=180° ∴∠DEF+∠GCD=180° ∴∠DEF=∠ACD ∴△ACD与△DEF中 AC=EF,∠DEF=∠ACD,CD=DE ∴△ACD≌△DEF ∴AD=DF ∴ △ADF为等腰三角形 ∵P为AF中点 ∴AP⊥DP
例4：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，在四边形BDEC中，DB＝DE，∠BDE＝2α，M为CE的中点，连接AM、DM ① 在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形 ② 求证：AM⊥DM ③ 当α＝_______，AM＝DM
① 如图所示
② 解析：由① 可知，△DME≌△GMC ∴DE//CG,DE=DB=CG 如图，延长GC，DB交于点H 则，∵DE//CG ∴∠BDE+∠BHC=180° 又∵∠BDE+∠BAC=180° ∴∠BHC=∠BAC ∴∠ABH=∠ACH ∴∠ABD=∠ACG ∴△ABD与△ACG中 AB=AC,∠ABD=∠ACG,BD=CG ∴△ABD≌△ACG ∴AD=AG 又∵M为DG的中点 ∴AM⊥DM
③ 由② 知：AM⊥DM 要使AM=DM 则∠ADM=45°即可 即当α=45°时即可 总结：1.会辨别“脚拉脚模型”2.明确“脚拉脚模型”结论，做到心中有数3.掌握该模型常见作辅助线的方法，这样才能在无数的变化中，找出暗藏的玄机 |
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