90°角含45°角问题精析

问题导入：正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在BC、CD上的动点，且∠EAF=45°.

求△AEF的面积的最小值.

1、基本模型：正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上的动点，且∠EAF=45°.

解析：将△ABE绕点A逆时针旋转90°，使得AB与AD重合，则点G、D、F共线，可得BE=DG，△AEF≌△AGF→EF=GF=BE+DF.

解析：△AEF≌△AGF→∠3=∠4，∠G=∠2=∠1，作AH⊥EF于点H，可证得AB=AH=AD，BE=EH，DF=FH.

2、模型变化：直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，动点D、E在AB上，且∠DCE=45°.

解析：将△CBD绕点C逆时针旋转90°使得CB与CA重合，连接EF，则∠FAE=90°，AF=BD，

△ADE≌△AFE→DE=EF，AF²+AE²=EF²→BD²+AE²=DE².

3、模型运用：矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在BC上且BE=1，点F在CD上，且∠EAF=45°，求DF的长.

4、模型逆用：正方形ABCD的边长为1，点E为AD边上的动点，连接BE.作BE的垂直平分线FG交AB于点F，交CD于点G，将四边形FBCG沿FG翻折得到四边形FEHG，EH与CD交于点M.求△DEM的周长.

解析：翻折→∠CBE=∠HEB，平行→∠AEB=∠CBE，∠AEB=∠HEB，作BN⊥EM于点N，易证△ABE≌△NBE→AB=NB=CB，EN=EA，△BNM≌△BCM→MN=MC，

△DEM的周长为DE+EM+DM=DE+EN+MN+DM=DE+EA+MC+DM=DA+DC=2.

（还可求得∠EBM=45°）

5、深度探索：正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在BC、CD上的动点，且∠EAF=45°.

求△AEF的面积的最小值.

解析：AH=AB=4，当△AEF面积最小时，EF的长最小，即求EF的最小值.

作△AEF的外接圆O，OA=OE=OF，可得∠EOF=90°，作OG⊥BC于点G，OH⊥CD于点H，

易证△OEG≌OFH→OG=OH→点O在AC上.