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概述 我们通常是在时域进行振动疲劳分析，激励载荷和结构响应都是随时间变化的信号。结构应力时间历程的计算，可以采用准静态多通道法，也可使用模态瞬态法。 但是有些情况下，随机激励载荷是频域信号表征的，通常采用功率谱密度（PSD）曲线表示。例如国标GBT31467.3-2015规定电动汽车动力电池包需要在振动台上做振动疲劳测试，其振动激励就是用加速度的PSD曲线表示的。  图1 电动汽车动力电池包  图2 用PSD表示的振动激励加速度载荷 因此我们有必要寻求一种分析手段，根据激励载荷的功率谱密度计算结构的疲劳寿命，基本思路如下： 1. 计算结构应力频响函数； 2. 根据激励载荷的功率谱密度和应力频响函数，求得结构上各点的应力功率谱密度； 3. 根据应力功率谱密度，计算出一段时间内的各种应力幅值对应的循环次数； 4. 利用步骤3得到的循环次数和材料的S-N曲线计算疲劳损伤值。 2 功率谱密度的基本概念 对于平稳的随机过程x(t) ，时间历程是非周期的，因此不能用傅里叶级数表示；而且x(t)是一个无限长的信号，通常不满足条件  所以也不能通过傅里叶变换得到该随机过程的频域信息。这个困难可以通过对该随机过程的自相关函数Rx(τ) 做傅里叶变换来解决。 如果对随机过程x(t)的零点进行处理，使得该过程的平均值为0，并且假定x(t)不含有周期性分量，那么Rx(τ→∞)=0 ，条件  得到满足。我们就可以得到自相关函数的Rx(τ)傅里叶变换和逆变换。  其中函数Sx(ω)称为功率谱密度。我们令公式（2）中的τ为0，则得到  这是Sx(ω)最重要的一个特性，即功率谱密度曲线下的面积就是平稳随机过程x(t)的均方值，所以函数Sx(ω)又叫均方谱密度，其单位是(x的单位)2/(rad/s)。 在上面的推导过程中，圆频率ω取值是从负无穷到正无穷，但我们研究振动更习惯用频率f而不是圆频率ω，频率f的取值应该是从0到正无穷，单位应该是Hz而不是rad/s。所以双侧谱密度Sx(ω)可以变换为一个等效的单侧谱密度Wx(f)。  Wx(f)单位应当是(x的单位)2/Hz。 3 结构响应信号的谱密度 随机激励信号采用功率谱密度表示，结构的应力应变响应也应该采用功率谱密度表示，所以需要研究激励信号PSD和响应信号PSD之间的关系。 对于平稳随机激励信号x(t)，其响应信号为y(t)，则可按下式计算y(t)的功率谱密度函数  其中H(ω)为频响函数（FRF），即施加圆频率为ω的单位简谐激励时结构的响应。 如果有多个随机激励信号x1(t), x2(t)…xN(t)共同作用，则  当r≠s 时，Sxr,xs(ω)为信号xr(t)和xs(t)的互功率谱密度函数（cPSD）；当r=s时，Sxr,xs(ω)为信号xr(t)的功率谱密度函数。 对于互不相关的多个激励信号，其互功率谱密度全部为零，则  所以，只要有各激励载荷所对应的频响函数Hr(ω)，我们就可以根据激励载荷的PSD和cPSD来求得结构上各处应力的PSD。 4 随机过程的疲劳失效模型  图3 窄带随机过程的时域和频域信号 窄带随机过程的时间历程类似于振幅和相位随机变化的正弦波。根据窄带随机过程的PSD曲线，我们可以得到它的很多特性，如频率成分和有效值等，还可以进一步得到其峰值分布的信息，即组成这个过程的一系列正弦波的幅值分布信息。 也就是说，我们可以依据应力PSD曲线求得 时间段T内的应力循环次数v0+T ，以及应力幅值在S和S+dS之间的概率Pp(S)dS 。 根据Miner线性损伤累计理论，如果N(S) 表示在常应力幅值S下材料发生疲劳破坏的次数，则单次应力循环造成的损伤为1/ N(S)。在时间段T内，应力幅值在S和S+dS 之间的循环次数为v0+T ·Pp(S)dS。所以在此应力幅值区间下的损伤值为 则时间段T内发生的各种应力幅值下总损伤值为 实际计算损伤值的时候，要考虑多轴应力的情况。传统的多轴应力处理方案，如临界平面法和最大主应力法等，仍然是适用的。 由PSD求得应力循环次数v0+T和应力幅值区间概率Pp(S)dS的公式推导比较复杂，建议读者参考《随机振动与谱分析概论》一书，本文不再介绍。 对于宽带随机过程，以上述窄带分析法为基础进行拓展，也可得出计算疲劳损伤的近似表达式。常见的宽带疲劳算法有DirliK算法、Wirsching-Light算法等，其中Dirlik算法的计算结果与试验结果接近，成为基于功率谱密度计算疲劳失效的首选算法，已被大多数商用疲劳分析软件采用。 因为应力的作用是随机性的，所以本节所述的疲劳损伤算法必然具有一定的统计误差。 5 疲劳分析软件中的操作 目前的商用疲劳分析软件，大都能处理PSD形式的载荷激励。我们只需要利用有限元软件计算出应力频响函数，然后将应力频响函数和载荷的PSD曲线导入疲劳分析软件，疲劳软件将计算出结构应力响应的PSD，进而完成应力循环计数并计算损伤值。 有限元软件计算应力频响函数时，以下两点特别需要注意： 1. 所分析的频率范围要覆盖PSD曲线的频率范围。 2. 载荷单位要与PSD曲线统一。例如本文开头所提到的电池包的加速度激励，如果PSD曲线的单位是m2/s4/Hz，则在计算频响函数时应施加幅值为1.0m/s2的体积力载荷。如果PSD曲线的单位是g2/Hz，则在计算频响函数时应施加幅值为1g的体积力载荷。 nCode疲劳分析软件要求直接输入有限元计算得到的应力频响函数结果文件。Femfat软件的spectral模块也提供了基于PSD进行随机振动疲劳分析的功能，但该模块不能直接输入应力频响函数。 如果我们选用了Femfat软件，在用有限元法计算频响函数时，需要建立两个载荷步。一个只做实模态分析，输出各阶模态应力σi；另一个做模态叠加法频响分析，输出各阶模态频响函数Hi(f) 。结构的应力频响函数可由各阶模态应力和模态频响函数相乘叠加得到 Femfat的Spectral模块要求用户输入各阶模态应力和各阶模态频响函数，软件将自动按照公式(10)完成模态叠加，计算出应力频响函数。 作者简介 王朋波，清华大学力学博士，汽车结构CAE分析专家。重庆市科协成员、《计算机辅助工程》期刊审稿人、交通运输部项目评审专家。专业领域为整车疲劳耐久/NVH/碰撞安全性能开发与仿真计算，车体结构优化与轻量化，CAE分析流程自动化等。 模态空间技术交流微信群 模态空间（邀请入群） 谭祥军私人微信：linmue 王朋波私人微信：poplewang 加入微信群，请加谭祥军微信 请注明：单位+姓名 END |
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