面向O

城市轨道交通(简称城轨)线路的运行效率与服务水平在很大程度上取决于列车运行计划。高品质的列车运行计划通常需要权衡乘客和企业两方面的利益，一方面为乘客提供较优质的服务，另一方面为企业降低运行成本[1]。

列车运行计划包括列车时刻表与列车周转方案。现有列车时刻表的研究更多地关注降低乘客出行费用，如减少乘客的候车时间[2]、换乘时间[3]和总旅行时间[4],以及优化周期性列车时刻表[5]，文献[6]综合考虑了乘客出行费用和企业运行成本，但这些研究均假定全天出行需求为固定常数或是均匀到达车站的理想客流。实际上，旅客出行需求具有随时间的波动性，这种具有时间波动性的出行需求称为时变需求[7]。文献[8]基于客流O-D时变需求，考虑列车对数与上座率，设计了优化列车发车时间间隔的遗传算法，降低了乘客的等待时间。文献[9]以德国市郊铁路为背景，强调指出需确定灵活的列车间隔以适应客流的时变性。文献[10]和文献[11]建立了基于弹性需求的乘客列车开行方案的双层规划模型，并设计了基于模拟退火算法求解的优化算法。列车时刻表的实施必须由列车周转方案来保障[12]。文献[13]基于给定的车辆运行时刻表，针对单车场研究了车辆调度问题。综合优化列车运行计划的问题非常复杂，研究成果较少。文献[14]针对城轨线路时变断面需求，提出了满足服务水平的列车时刻表和列车周转方案的两阶段优化方法。同时，文献[15]对城轨列车运行计划的优化具有一定的参考价值。以上文献虽然未能有效解决面向O-D时变需求的城轨线路列车运行计划优化问题，但是在优化思想、优化方法上有一定的启发作用。

本文在上述文献研究成果的基础上，针对城轨线路的O-D时变需求，以具有单一尽头车场的城轨线路为研究背景，提出基于列车时刻表的客流分配方法，在给定乘客服务水平的限制下，实现O-D时变需求与列车时刻表的耦合，进而以列车对数和列车车底数最小化为目标，构建了列车时刻表和列车周转的2阶段优化模型，并提出了2阶段求解算法。

1 列车运行计划优化问题

城轨线路具有m个车站s1,s2,…,sm，记全体车站集为S。车站s1至sm为线路的下行方向D，车站sm至s1为上行方向U。列车从车站su至sv的旅行时间与车站sv的停站时间之和为τ(su,sv)。端点站s1和sm的列车停放能力分别为N1和Nm(含立即折返列车)，折返作业时间分别为r1和rm。全天运营时段为[T1,T2]。

由于社会环境的影响和不同学生价值观取向不同，也直接决定其个人行为方式的差异。近年来，随着社会主义改革事业的蓬勃发展，社会生产方式及社会利益结构也发生了巨大变化。此外，再加上当代大学生价值观取向的日渐实用化及价值评判标准的日渐多元化，使得当代大学生的择业观念也逐渐呈现出一系列全新特点。

轨道线路的乘客出行需求是时变的，车站su,sv∈S之间的时变出行需求为全天运营时段[T1,T2]内的1个强度分布函数quv(t), t∈[T1, T2]， 车站su, sv∈S之间的O-D出行需求总量为quv(t)dt。对于每1个O-D对，强度分布函数quv(t), t∈[T1, T2]通常用等间隔阶梯函数来表示，每1个间隔的长度通常取1或5 min。假设需求量quv(t)dt是关于t的连续函数。

1.1 列车运行计划

列车时刻表包括了列车开行对数n和每1趟列车在每1个车站的发车时刻，记第k趟下行列车在车站su的发车时刻为第k趟上行列车在车站su的发车时刻为城轨列车是按照站站停的模式运行，并且列车的停站时间和区间行车时间都是确定的，那么列车的始发时间完全确定了列车在沿途各车站的发车时刻。所以列车时刻表可表示为：所有下行列车的始发时间集合和所有上行列车的始发时间集合

列车周转方案主要受车场布局的影响，城轨线路上有很多种车场布局形式，每种布局形式对应不同类型的列车周转方案。本文以单一尽头车场为背景，讨论列车时刻表与列车接续的优化问题。具有单一尽头车场的城市轨道线路及列车运行组织形式特征如下：

线路仅有1个车场p且与端点站s1邻接，且车场p无能力限制；若车站s1达到饱和，则新到达列车必须停放至车场p；若车站sm达到饱和，则只能等待车站sm有列车驶离后才能到达列车。

太河水库位于淄博市淄河中上游的淄川区太河乡，距离中心城区约40 km，控制流域面积780 km2，主要用于农田灌溉、部分城乡供水和大武水源地的补源。水库总库容1.833亿m3，兴利库容1.128亿m3。水库灌区有一条总干渠及三条干渠，设计灌溉面积2.67万hm2，其中总干渠直接控制灌溉面积0.2万hm2。

由此可见，所有早班列车均由车场p提供给车站s1，列车从车站s1出发，到达车站sm，或折返回车站s1，或停留于车站sm；列车到达车站s1后，可折返回车站sm，也可停放在车站，还可返回车场；所有晚班列车均返回车场p。

1.2 乘客服务水平

从以下3个方面来考虑乘客服务水平。

(1)首、末班车发车时间限制：下行、上行首班车发车时间分别不晚于最晚发车时间下行、上行末班车发车时间分别不早于最早发车时间

(2)发车时间间隔限制：最小发车时间间隔为τmin，最大发车时间间隔为τmax。

(3)列车载客量限制：列车载客能力为C，常规载客系数为α(0<α<1)。列车断面载客量一般不超过αC，除非列车按最小发车时间间隔发车。当列车按最小发车时间间隔发车时，列车最大断面载客量达到αC，但不超过列车载客能力C，超过载客能力C的需求作为车站滞留客流。

1.3 列车运行计划优化

综上所述，列车运行计划优化问题可以描述如下：给定由车站序列s1,s2,…,sm构成的城轨线路和运营时段[T1,T2]，车站su,sv∈S之间的时变出行需求quv(t), t∈[T1, T2]， 车站su, sv∈S之间的列车旅行时间与列车在sv的停站时间之和τ(su, sv)，服务水平相关参数端点站s1和sm的停车能力N1和Nm。在乘客服务水平和停车能力的约束下，优化列车对数n、下行列车始发时间和上行列车始发时间以及列车在车站s1端的接续关系，依次使得列车对数n、列车车底数和列车接续时间最小化。

2 基于列车时刻表的客流分配

基于列车时刻表的客流分配就是模拟乘客的上车行为，根据每趟列车到达每个车站时列车上的客流量、下车人数和列车容量，计算列车在每一站的剩余能力，确定可以上车的乘客数。超过上车数量的乘客作为滞留客流，各站的滞留客流量按终点分别记录。当需求量超过上车数量时，各终点的需求量按照等比例原则上车，以便适度体现“先到先走”的原则。

定义变量分别表示第k趟下行、第k趟上行列车离开车站su时乘坐在列车上、终点为车站sv的客流量。对于取值范围设定为u=0,1,…,m-1;v=u+1,u+2,…,m;k=1,2,…,n，规定初值P(0,v,k)=0。对于取值范围设定为u=m+1,m,…,2;v=u-1,u-2,…,1;k=1,2,…,n，规定初值P(m+1,v,k)=0。特别地，当终点车站v=0时，变量分别表示第k趟下行、第k趟上行列车离开车站su时乘坐在列车上的客流总量(也称为列车断面客流量)。

对照组采用延期手术治疗方式，对患者住院期间的胰腺各项功能进行监控，确定患者胰腺功能恢复后，于治疗2周后进行手术，进行治疗[4]；观察组则采用尽早手术治疗方式，患者入院期间制定适宜的手术方法，结合患者病情选择合适的手术时机，在住院早期进行必要的手术治疗，对症状进行缓解[5-6]。

定义变量分别表示第k趟下行、第k趟上行列车离开车站su时的滞留客流量，他们的终点均为车站sv。对于取值范围设定为u=1,2,…,m-1;v=u+1,u+2,…,m;k=0,1,2,…,n，规定初值对于取值范围设定为u=m,m-1,…,2;v=u-1,u-2,…,1;k=0,1,2,…,n，规定初值特别地，当终点车站v=0时，变量分别表示第k趟下行、第k趟上行列车离开车站su时的滞留客流总量。

基于给定的列车时刻表，分别计算双向各站滞留客流量和客流量。

1)下行方向

按照k=1,2,…,n;u=1,2,…,m-1;v=u+1,u+2,…,m的顺序，依次递推求解滞留客流量和客流量如下。

不合理低价游是旅游业的“痼疾”，给旅游市场造成许多问题。第一，导致了企业之间的恶性竞争，扰乱了正常的旅游市场秩序，破坏了行业规范和商业生态，损害了行业声誉。第二，导游擅自缩减游览项目、增加购物点、诱导胁迫游客购物，导致游客投诉，降低了旅游服务质量，也损害了旅游者合法权益。原国家旅游局监督管理司司长彭志凯曾在2015年2月公开表示，“不合理低价”问题是我国旅游市场秩序的“百病之源”。这足以说明不合理低价游对整个旅游市场带来的危害。因此，如何消除旅游市场不合理低价游现象是一个非常迫切的关乎旅游业未来发展的问题。

首先，求解滞留客流总量，即

(1)

其中，

其次，由分解为各终点站v的滞留客流量若即无滞留客流量；否则按上车需求等比例法则分配至各终点站v，即

(2)

最后，求解离开车站su的列车上的客流总量和不同终点的客流量即

(3)

(4)

2)上行方向

按照k=1,2,…,n;u=m,m-1,…,2;v=u-1,u-2,…,1的顺序，依次递推求解滞留客流量和客流量如下。

首先，求解滞留客流总量，即

产品显示功能模块还支持多要素叠加显示,提供数据空间过滤功能,可对气象要素、地图、区域、色标、填色、线条等所有显示要素进行精细化调整,满足预报员制作预报产品和服务产品的需求。平台中所有展示色彩可设置固定色彩,也可根据要素值采用分段、点对点、连续过度等方式色标填充。展示符号的大小、线条的粗细可根据地图比例自适应缩放,确保平台各要素能得到清晰展示。

(5)

其中，

其次，由分解为各终点站v的滞留客流量若即无滞留客流量；否则按上车需求等比例法则分配至各终点站v，即

(6)

最后，求解离开车站su的列车上的客流总量和不同终点的客流量即

(7)

(8)

3 列车时刻表优化模型

列车发车时刻相关的约束条件如下。

这一范式在挪开业主运维负担、提升城市轨道交通服务品质的同时，对业主也提出了新的要求。一份长达数十年、数额巨大的租赁合同意味着业主必须对车辆的状况、运营维护的成本做到精细化的计算、评价和控制。作为现代企业一种重要风险管理方法的商业保险，势必将在这一范式中发挥关键性的作用。目前,我国城市轨道交通保险主要集中在工程建设领域，运营期的保险主要以财产险和公众责任险为主，保险险种设置较为单一，保险保障尚未覆盖城市轨道交通运营的全领域，新兴保险险种有待开发。

工程施工中不同的阶段会用到不同的技术，存在很多工种，要投入大量施工人员。同时，工程施工中，还会受到包含地质条件、水文气象等因素的影响，若这些影响因素产生变化，则会使施工发生变更。以基坑围护施工为例，需对地质结构、区域地下水等予以充分考虑，从而制定合理可行的围护方案。若在施工中考虑不周，则不仅会影响到正常施工，而且还会增加成本，延长工期。

(1)首班车发车时间约束。双向首班车发车时间和需要满足如下条件。

①首班车最晚发车时间和的约束，即

②首班车最大客流量不超过列车载客能力C且无滞留约束。记首班车的最大断面客流量达到列车载客能力C且无滞留的发车时间分别为和也就是说，始发时间为的第1趟下行列车进入车站sw的客流总量关于w=2,3,…,m的最大值等于列车载客能力C且无滞留，即

(9)

式(9)就是求解的依据。同理，始发时间为的第1趟上行列车进入车站sw的客流总量关于w=1,2,…,m-1的最大值等于列车载客能力C且无滞留，即

(10)

式(10)就是求解的依据。所以

综合考虑以上2部分内容，获得首班车发车时间约束为

(11)

(12)

(2)末班车的最早发车时间约束。表示为

(13)

(14)

(3)最小发车时间间隔约束。同一方向发车时间间隔不得小于最小发车时间间隔，即

(15)

(16)

(4)最大发车时间间隔约束。同一方向发车时间间隔不得大于最大发车时间间隔，即

(17)

(18)

(5)列车在各站发车时间与始发时间的关系

由于τ(s1,su),τ(sm,su)分别表示列车在区段(s1,su),(sm,su)的旅行时间与车站su的停站时间之和，所以满足如下关系。

总而言之，青少年是国家未来的希望，为推动社会发展起着重要作用，培养身心健康的优秀人才必然重要，教师及学生家长一定要对心理健康问题重视起来。随着社会的快速发展，难免会存在一些负能量，在一定程度上阻碍了青少年的健康成长。因此，一定要加强对青少年的心理健康问题的重视，关心学生的心理问题，时常与学生进行沟通，帮助青少年树立健康的心态，以积极向上的状态面向未来，为更好地培养青少年的发展，将心理健康与教育相结合具有重要意义。

(19)

(20)

变量和仅用于式(1)—式(8)的客流分配，把它们作为中间变量也是可以的。

(6)无车场端车站sm列车接续约束。第i趟上行列车出发前，第i趟下行列车必须到达车站sm。由于τ(s1,sm)表示列车在区段(s1,sm)的旅行时间与车站sm的停站时间之和，rm为车站sm的折返作业时间，所以

(21)

(7)无车场端车站sm停车能力约束。第i趟下行列车到达车站sm之前，第i-Nm趟上行列车必须离开车站sm。由于τ(s1,sm)表示列车在区段(s1,sm)的旅行时间与车站sm的停站时间之和，rm为车站sm的折返作业时间，所以

(22)

(8)出行需求与列车始发时间的耦合。若按最小发车时间间隔发车，则列车最大断面载客量达到常规载客能力αC，但不超过最大载客能力C；否则，列车断面载客量不超过常规载客能力αC。即

(23)

(24)

(25)

(26)

由于计算列车上客流量时已经考虑了列车能力C的限制，所以不必再增加相关的约束。

访客对该变量的4个测量项有较高的一致性,其均值都超过4,特别是在徐州绿化越来越好以及会介绍徐州公园绿地给外地朋友上,多数访客认为,近十几年徐州的绿化工程以及环境整改取得了显著进步.从整个层次上看,徐州居民对城市公园绿地持肯定态度．在访谈过程中,部分受采访居民肯定了政府在环境治理以及绿化种植方面的工作,认为政府在改善居民生活环境来进一步提高生活质量上做得很好．公园绿化的提高会加深访客对该地的印象,进而会在公园绿地留下许多美好的回忆，到外地时会将不同的城市公园拿来进行比较,二者形成落差,从而形成想念之情．

以列车对数n最小化为优化目标函数，以上述关系式为约束条件，构建列车时刻表的优化模型为

将信息技术与学科教学充分融合 现今教师队伍年轻化，大部分青年教师都有意识将信息技术与学科教学相融合，但他们习惯于用常规老旧的方式进行教学，其教学方式的更新不明显。因此，青年教师需要实时关注、更新教育技术，切实把信息技术与学科教学进行充分融合。只有将信息技术真正融入课堂教学中，才能更好地提升课堂教学质量。

minZ=n

(27)

s.t.

稻苞虫又叫卷叶虫，常常几年发生一次，导致水稻大幅度减产。成虫为赤褐色的蝴蝶，幼虫危害水稻，稻叶被害后，残缺断落，严重时仅留叶脉，稻丛象刷锅帚一样。特别是水稻孕穗期被害后，幼虫吐丝把稻叶缀合在一起，形成稻穗卷曲，无法出穗，影响产量。

约束条件式(1)—式(26)。

4 列车时刻表优化算法

4.1 算法思想

在列车时刻表优化模型中，列车对数n是变量，所有始发时间变量和都与变量n相关，所以优化模型不是线性模型。可以看出：对于最小化列车对数n的目标函数，只要最大化每一个和列车对数n就相应地最小化了。

将求解步骤分为3步：最大化首班车发车时间、最大化中间列车发车时间、终止条件。

1)最大化首班车发车时间和

由求得的和以及式(11)，式(12)和式(21)，最大化和可得

(28)

(29)

事实上，先尝试地令 验证式(10)，若

则这时不必具体求出直接获得若

则区间内必然存在使式(10)成立的可采用二分法搜索这样的

类似地，可以先尝试性地令验证式(9)，若

本文以零件配套生产问题为例，研究了针对生产资源的不同属性多角度地选择决策变量来建立优化生产模型的方法，为企业管理者提供更多的生产决策依据，通过实例数据及其求解也验证了三种模型及其优化生产方案的有效性，同时也指出了各自的优缺点．企业管理者可以根据本企业的实际情况合理的选取生产方案．

则这时不必具体求出直接获得若

则在区间内采用二分法搜索出满足式(9)的

2)最大化中间列车发车时间和

不妨设在约束条件式(1)—式(26)下，已经逐一最大化求解了和下面设法求解和或其中之一。

首先，基于和以及约束条件式(1)—式(20)和式(23)—式(26)，最大化预备值和

对于下行方向，分别考虑以下3种情形。

(1)尝试性地令求解式(1)—式(8)对下行列车i进行客流分配，若式(23)成立，即则满足约束条件式(1)—式(20)和式(23)—式(26)，求得的最大取值

(2)若上述尝试不成功，则尝试性地令求解式(1)—式(8)对下行列车i进行客流分配。若式(25)成立，即则满足约束条件式(1)—式(20)和式(23)—式(26)，求得的最大取值

大多数孩子拿现金有困难，但摸索着在家里找点废品却不是大问题。不过，对于什么是不要的废品，孩子们和大人们的想法有时候并不一致——尤其是在被打糖的香甜诱惑迷昏了头脑的情况下。每次来了卖打糖的人，孩子们都是一阵鸡飞狗跳地到处找废铜烂铁凑着换糖吃，生怕动作慢了，卖打糖的人就走掉了。

(3)若上述2种尝试都不成功，则在区间中必定存在使得式(25)等式成立的在该区间内采用二分法搜索对于每1个搜索对象令求解式(1)—式(8)对下行列车i进行客流分配，若式(25)成立且列车最大断面客流量等于αC，即则求得的最大可能取值

类似地，求得的最大可能取值

然后，基于以及约束条件式(21)和式(22)，最大化和或其中之一。

若i-j=0，则必须考虑约束条件式(21)。若则同时安排下行列车i和上行列车j，令若则优先安排下行列车i，暂不安排上行列车j，令

若0<i-j<Nm，则无须考虑约束条件式(21)和式(22)。将下行列车i的预备到达时间与上行列车j的预备出发时间进行比较，从中选择较小者作为当前优先安排列车，即或

若i-j=Nm，则必须考虑约束条件式(22)。若则优先安排上行列车j，暂不安排下行列车i，令若则同时安排上行列车j和下行列车i，令

若i-j<0，则j-1>i-1。根据关联序列化优化法则和约束条件式最迟与同时确定，但假设条件中已确定，还未确定，矛盾。所以i-j<0的情形不会发生。

若i-j>Nm，则j-1+Nm<i-1。根据关联序列化优化法则和约束条件式最迟与同时确定，但假设条件中已确定，还未确定，矛盾。所以i-j>Nm的情形不会发生。

3)终止条件

当同时成立时，获得最小列车对数n=max{i,j}=i。将车站sm多余列车按照最小发车时间间隔τmin回送至车站s1即可。

根据上述算法思想和相应步骤，设计模型式(1)—式(27)的求解算法。

4.2 列车最晚发车时间的双向关联序列化优化算法

输入： 研究时段[T1,T2]、时变出行需求quv(t), t∈[T1,T2]、首班车最晚发车时间和末班车最早发车时间和区段(su,sv)的旅行时间与车站sv的停站时间之和τ(su,sv)、最小间隔时间τmin、最大间隔时间τmax、常规载客系数α、最大载客能力C、端点站sm的折返作业时间rm、端点站sm的列车停放能力Nm。

输出： 列车对数n，列车始发时间和

开始

利用式(28)和式(29)及随后的补充方法求解和

i←2,j←2；

当或时循环执行

开始1

求解

由式(1)—式(8)客流分配求得

若 则

否则

由式(1)—式(8)客流分配求得

若则

否则

采用二分法在区间中搜索使得

求解

由式(1)—式(8)客流分配求得

若则

否则

由式(1)—式(8)客流分配求得

若则

否则

采用二分法在区间中搜索使得

求解和或其中之一：

若i-j=0且则

i←i+1,j←j+1}；

若i-j=0且则

若0<i-j<Nm且则

若0<i-j<Nm且则

若0<i-j<Nm且则

若i-j=Nm且则

若i-j=Nm且则

j←j+1}；

返回1

i←i-1, j←j-1；

n←i；

对于k=j,j-1,…,2，若则break；

对于

结束。

5 列车周转方案优化方法

5.1 列车周转方案优化模型

车站s1始发的下行列车车次序集为{i|i=1,2,…,n}，终到的上行列车车次序集为{j|j=1,2,…,n}，列车周转问题就是要确定这2个方向列车车次的衔接关系。每1趟始发的下行列车，或者由此前到达的上行列车来担当，或者由来自车场p的列车来担当。我们采用指派问题描述列车周转问题。

借助于指派问题优化求解列车周转问题，就是优化{j|j=1,2,…,n}与{i|i=1,2,…,n}之间的指派M。指派满足以下限制：M⊂{(j,i)|j, i=1,2,…,n}， 对于任何(j,i), (j′,i′)∈M，满足若j=j′，则i≠i′；若i=i′，则j≠j′。对于任何j=1,2,…,n,i=1,2,…,n,定义指派费用cji如下。

(30)

式中：K为充分大的数，通常取K=24n h。

在式(30)中，表明上行列车车次j的终到时间与下行列车车次i的始发时间之间达到或超过车站s1所需要的折返作业时间r1，足以完成列车折返作业，相应的接续费用为时间差表明上行列车车次j的终到时间与下行列车车次i的始发时间之间未达到车站s1所需要的折返作业时间r1，不足以完成列车的折返作业，相应的接续费用为K。由于K的取值超过了所有车次的可能接续时间，所以凡是以K为接续费用的车次对(j,i)，都是无效的指派。对于这些无效指派，下行车次i的列车都来自车场p，上行车次j的列车都返回车场p。

定义指派变量

(31)

可建立列车周转问题的指派模型为

(32)

s.t.

(33)

(34)

xji=0, 1 j， i=1,2,…,n

(35)

指派模型的式(30)—式(35)以接续时间最小化为优化目标，等价于不可接续车次数量最小，全部列车运用小时数最小，进而列车车底数最小。

值得注意的是，指派模型并没有考虑车站s1的列车停放能力N1约束，但只要将最优解M*的部分有效指派推移至车场p进行衔接，车站s1的列车停放能力约束就得以满足，即求解满足

(36)

其中是对中上行列车j排序产生的。

求解最简单的方法是先对(j,i)∈M*中上行列车j排序获得(jk,ik)∈M*，然后对k依次检查式(36)是否成立，仅将那些使式(36)成立的(jk,ik)∈M*纳入

这样求得的不会改变指派模型的最小接续时间的目标函数值，但不同的求解方法会有不同的往返于车站s1车场p的次数，这里就不展开讨论往返次数的最小化方案了。

5.2 列车周转方案优化算法

匈牙利算法可以用来求解指派问题的最优解。采用匈牙利算法对建立的指派模型进行求解，算法分为以下2步。

第1步：用匈牙利算法求解指派问题最优解的方法求解最优指派方案M*。

第2步：求解在车场p的指派方案对(j,i)∈M*中上行列车j排序获得(jk,ik)∈M*，然后对k依次检查式(36)是否成立，仅将那些使式(36)成立的(jk,ik)∈M*纳入

值得注意的是，第1步利用匈牙利算法求解得到的是最小接续费用、最小列车车底数的指派方案M*。该方案对应的矩阵中，每个零元素所对应的行和列，对应的是1个有效指派(j,i)∈M，而无效指派对应的行、列，对应的上行车次j的列车都返回车场p，下行车次i的列车都来自车场p。第2步进一步考虑有车场端车站列车停放能力的约束，求解得到的是在车场p进行衔接的指派方案所以可以得到列车进出车场的情况。

6 算例分析

以北京市地铁5号线为例，对本文的方法进行验证。该线路上共23个车站，如图1所示，天通苑北—宋家庄为下行方向，天通苑北站有太平庄车辆段。列车在立水桥、大屯路东、惠新西街南口、雍和宫、东四、东单、磁器口、蒲黄榆站的停站时间为45 s，其它车站停站时间为30 s。区间运行时间参考首班列车各站发车时间与停站时间推算出，

图1 车站及区间运行时间(单位：s)

如图1所示。由此推出各区段(su,sv)的旅行时间与车站sv的停站时间之和τ(su,sv)，其中全程旅行时间3 065 s=51 min 5 s。列车最大载客能力C=1 200人·列-1，常规载客系数α=0.7，列车最小和最大发车时间间隔τmin=2.5 min和τmax=15 min。车站折返作业时间r1=rm=2 min，停放能力N1=Nm=2列，全天运营时段为4:00—24:00。首班车双向最晚发车时间和均为6:20；末班车双向最早发车时间和均为22:30。

采用该线2014年某天的实际乘车O-D客流数据作为时变需求，篇幅所限，不详细列举。为了增加客流需求强度，将该O-D客流需求放大2倍作为算例的O-D客流需求。

利用优化方法求出列车运行计划如图2所示，图中车站s1与车站sm之间的线段为列车运行线，简略起见，没有标记沿途停站的时间信息。车站s1与车站sm外侧的折线表示列车的接续关系。车站s1外侧的实心箭头表示列车来自或返回车场，空心箭头表示列车在车场接续，以解决车站s1不满足停放能力N1的困难。D与数字的组合表示下行方向列车车次，U与数字的组合表示上行方向列车车次，为避免车次标记过于密集，车次标记间隔大约为10趟列车。

优化产生的列车运行计划，开行列车194对，需要列车62列，列车接续时间为850.36 min，往返车场124次。

从图2可以看出，在早晚高峰具有较密集的列车开行频率，发车时间间隔随着客流需求变化而变化，具有较平滑的变化规律。下面分别对折返站列车接续状态、发车时间间隔、主导方向成因分析如下。

1)折返站列车接续状态

为了分析折返站sm的列车接续状态，从图2可以看出：列车接续状态大体可分为3个阶段，第1阶段为立即折返，第2阶段为停车能力持续饱和，第3阶段为立即折返。

比较双向列车在折返站sm的始发终到时刻发现：

下行列车1至36与上行列车1至36均由立即折返的方式接续，即接续时间均为折返作业时间rm=2 min。下行列车37与上行列车37的接续时间超过折返作业时间rm，此后，接续时间不断增加，折返站sm开始停放暂时不需要的列车，停车能力饱和率越来越大。

图2 城轨线路列车运行计划示意图

上行列车44的发车，释放了折返站sm处于饱和的停车能力，保证下行列车46能够终到车站sm(依据如下：下行列车46的终到时间等于上行列车44的始发时间，但下行列车45的终到时间大于上行列车43的始发时间)。此后，折返站sm进入了停车能力持续饱和状态。

下行列车104的终到，终止了停车能力持续饱和状态(依据如下：下行列车104的终到时间略小于上行列车102的始发时间，但下行列车103的终到时间等于上行列车101的始发时间)。此后，车站sm的停车能力饱和率越来越小，进而变得完全不饱和，折返时间越来越短，直至下行列车112与上行列车112仍然不是按照立即折返的方式接续。下行列车113至194与上行列车113至194均由立即折返的方式接续。

立即折返与停车能力持续饱和分别表示不同方向的需求主导。立即折返意味着上行方向为主导方向，即上行方向按上行需求开行列车，下行方向为上行方向及时提供列车。折返站停车能力持续饱和意味着下行方向为主导方向，即下行方向按下行需求开行列车，上行方向为下行终到折返站而及时释放停车能力。

2)发车间隔时间

为了分析发车间隔时间，将上下行2个方向相邻列车发车间隔时间变化规律如图3所示。图中第i个蓝色菱形标记下行列车i与下行列车i+1的发车间隔时间，第j个红色加号标记上行列车j与上行列车j+1的发车间隔时间。

图3 列车运行间隔时间示意图

从图3可以看出：对于列车i=1,2,…,36，与列车i+1的发车间隔时间曲线，上下行方向的变化规律完全一致，只是下行方向提前了τ(s1,sm)+rm=53 min 5 s，这是由上行方向主导的原因所致。

上行方向在这一阶段的主导地位结束于下行列车37的终到，下行方向需求加大，发车间隔时间变小，下行列车发车间隔时间曲线出现了1个折点，但上行列车的发车间隔时间仍然在增加。直至上行列车43的终到，上下行分别按照各自需求确定发车间隔时间，密集到达、暂不需要的下行列车可以停放在折返站sm备用。

上行列车43与44的发车间隔时间有1个突变，就是图3中被圆圈所包围加号对应的孤立点，此时上行列车44必须发车，以释放折返站sm处于饱和的停车能力，保证下行列车46能够终到车站sm。此后上行列车i的发车时刻与下行列车i+2在折返站sm的终到时刻保持相等，体现了下行方向的主导地位，致使上行列车的发车间隔时间与下行列车的发车时间间隔保持一致。

下行方向在这一阶段的主导地位结束于下行列车104的终到，上行方向需求加大，发车间隔时间大幅下降，但下行列车的发车间隔时间仍然缓慢下降。直至下行列车112的终到，上下行分别按照各自需求确定发车间隔时间，上行列车出发较下行列车到达的列车缺额，由折返站sm停放的列车填补。

下行列车112与113的发车间隔时间有1个突变，就是图3中被圆圈所包围菱形符号对应的孤立点，此时下行列车113必须到达折返站sm，以立即折返的接续方式担当上行列车113，保证上行列车113能够准时始发。此后下行列车的发车间隔时间与上行列车的发车间隔时间保持一致，体现了上行方向的主导地位。

3)主导方向成因

各个阶段主导方向的成因与需求大小相关，与折返站没有车场也相关。折返站没有车场导致上行列车k比下行列车k的需求滞后约1 h，使得上下行需求大小必须进行错位比较。由此分析3个阶段的主导方向成因如下。

在第1阶段，下行列车更接近于早班低谷，上行列车更接近于早高峰，可见上行列车的需求更大一些，所以上行方向为主导方向。

在第2阶段，下行列车更接近于早高峰，上行列车更接近于中午低谷，可见下行列车的需求更大一些，所以下行方向为主导方向。

在第3阶段，阶段前期，下行列车更接近于中午低谷，上行列车更接近于晚高峰，可见上行列车的需求更大一些，所以上行方向为主导方向。阶段后期，由于上行方向晚高峰持续时间更长一些，所以一直保持上行方向为主导方向。在晚班期间，上下行列车都按照最大间隔时间τmax=15 min发车，自然也都是立即折返了。

综上所述，折返站列车接续状态、发车间隔时间和各阶段的主导方向成因都反映了列车运行计划具有显著的合理性，这得归功于结合客流分配和服务水平优化列车运行计划，使得列车运行计划与乘客出行需求的吻合度高，列车开行趟数和车底数量最小化。

7 结 论

(1)城轨线路列车运行计划优化问题可以描述为基于服务水平的列车时刻表和列车周转2阶段优化问题，最小化开行列车对数和列车车底数，优化有车场端列车接续关系。对于给定的列车时刻表，关于O-D时变需求的客流分配可以通过递推公式获得，由此可实现客流需求与列车时刻表的耦合。

(2)针对具有单一尽头车场的城轨线路，在无车场端的列车接续和停车能力约束下，结合O-D时变需求的客流分配，可采用序列化优化方法，分步实施最大化列车发车时间，实现双向列车时刻表关联优化。

(3)基于最优列车时刻表，将有车场端的列车周转问题描述为指派问题，一个指派模型可同时确定端点站的列车最优接续关系、往返于车场的列车。

(4)具有单一尽头车场的城轨线路的列车运行计划，上行方向发车间隔时间比下行方向发车间隔时间的变化规律滞后。在上行方向为主导的时间段，滞后稍大；在下行方向为主导的时间段，滞后稍小。

参考文献

[1] GUIHAIRE V, HAO J K. Transit Network Design and Scheduling: A Global Review[J]. Transportation Research Part A: Policy and Practice, 2008, 42(10): 1251-1273.

[2] YALÇINKAYA Ö, BAYHAN M. Modelling and Optimization of Average Travel Time for a Metro Line by Simulation and Response Surface Methodology[J]. European Journal of Operational Research, 2009, 196(1): 225-233.

[3] WONG R C W, YUEN T W Y, FUNG K W，et al. Optimizing Timetable Synchronization for Rail Mass Transit[J]. Transportation Science, 2008, 42(1): 57-69.

[4] KASPI M, RAVIV T. Service-Oriented Line Planning and Timetabling for Passenger Trains[J]. Transportation Science, 2013, 47(3): 295-311.

[5] ODIJK M A. A Constraint Generation Algorithm for the Construction of Periodic Railway Timetables[J]. Transportation Research Part B: Methodological, 1996, 30(6):455-464.

[6] 秦进, 史峰. 公交化城际列车时刻表优化[J]. 交通运输工程学报, 2005, 5(2):89-93.

(QIN Jin, SHI Feng. Timetable Optimization for Inter-City Train of Transit Type[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering, 2005, 5(2): 89-93.in Chinese)

[7] VUCHIC V R. Urban Transit: Operations, Planning, and Economics[M]. Hoboken, New Jersey, US：John Wiley & Sons, 2017.

[8] NIU Huimin, ZHOU Xuesong. Optimizing Urban Rail Timetable under Time-Dependent Demand and Oversaturated Conditions[J]. Transportation Research Part C: Emerging Technologies, 2013, 36: 212-230.

[9] ALBRECHT T. Automated Timetable Design for Demand-Oriented Service on Suburban Railways[J]. Public Transport, 2009, 1(1): 5-20.

[10] 邓连波, 曾强, 高伟, 等. 基于弹性需求的城市轨道交通列车开行方案研究[J]. 铁道学报, 2012, 34(12):16-25.

(DENG Lianbo, ZENG Qiang, GAO Wei, et al. Research on Train Plan of Urban Rail Transit with Elastic Demand[J]. Journal of the China Railway Society, 2012, 34(12): 16-25. in Chinese)

[11] 史峰, 周文梁, 陈彦, 等. 基于弹性需求的乘客列车开行方案优化研究[J]. 铁道学报, 2008, 30(3): 1-6.

(SHI Feng, ZHOU Wenliang, CHEN Yan, et al. Optimization Study on Passenger Train Plans with Elastic Demands[J]. Journal of the China Railway Society, 2008, 30(3): 1-6. in Chinese)

[12] CEDER A. Urban Transit Scheduling: Framework, Review and Examples[J]. Journal of Urban Planning and Development, 2002, 128(4): 225-244.

[13] FRELING R, WAGELMANS A P M, PAIXO J. Models and Algorithms for Single-Depot Vehicle Scheduling[J]. Transportation Science, 2001, 35(2): 165-180.

[14] SHI Feng, ZHAO Shuo, ZHOU Zhao, et al. Optimizing Train Operational Plan in an Urban Rail Corridor Based on the Maximum Headway Function[J]. Transportation Research Part C: Emerging Technologies, 2017, 74:51-80.

[15] 周文梁, 史峰, 陈彦, 等. 客运专线网络列车开行方案与运行图综合优化方法[J]. 铁道学报, 2011, 33(2): 1-7.

(ZHOU Wenliang, SHI Feng, CHEN Yan, et al. Method of Integrated Optimization of Train Operation Plan and Diagram for Network of Dedicated Passenger Lines[J]. Journal of the China Railway Society, 2011, 33(2): 1-7. in Chinese)