 让学生学会，而且高效地学会；让学生会学，而且会高效地学。 面向多数学生，传授思维策略，遵循科学规律，促进自然生长， 紧扣考题考纲，破解重点难点，服务一线教学，注重高效实用。 章建跃教授说：数学教师要理解数学、理解学生、理解教学。 不理解数学就会教错内容，不理解学生就会教得低效，两者都理解了教学自然就成功了。 数学的核心不是数学知识，而是数学思维，学生的本质不是接受灌输的容器，而是生长发展的个体。 学生为什么教不会？ 这要问老师是教知识还是教思维，是激发学生的潜力还是禁锢学生的生长。 同样的内容，教法不同，效果不同。多数学生都可以学好数学，他们只是需要老师提供助力：在重要处引发思考、在核心处加强训练、在关键处点破玄机。 以解题教学为例，思维层次可以分三级： （一）模型与程序，即解题的数学模型及具体步骤。 （二）思想与方法，即解题的常用方法及基本思想。 （三）策略与原则，即解题的思维策略及通用原则。 从具体到抽象，从感性到理性，抽象的策略原则要从具体的经验背景中提炼，同时能够为具体的解题活动提供指导，在此过程不断相互作用逐步优化完善。  哲学家波兰尼认为“范例之于规则具有优先性”，我们还是用实例来看一看如何在解题教学中训练学生的思维。 已知：CN平分正方形ABCD的外角∠DCE，M是BC边上的一点，MN⊥AM. 求证：AM＝MN  1.寻找思路：看完题目，你通常会想到什么？ 通常是回忆已有的经验：我们常用哪些数学模型证明2条线段相等？ （1）若在同一个三角形，可以用等角对等边证两角相等。观察尝试发现这种办法不可行，为什么？显然，若证∠MAN＝∠ANM很困难，因为它们与已知条件无法联系。 （2）若在不同的三角形，可以用三角形全等证两角相等。 观察AM与MN所在三角形是△ABM与△MBN，但显然不全等。 等等，虽不全等，算上结论图中已具备一边一角相等的条件，与全等模型比较还差什么条件？ 想想看，我们再作什么样的辅助线可以创造出所缺的全等条件？    容易想到，截AC'＝MC。但是要注意，AM=MN是要证的结论，我们暂时拿过来找思路，不能用为条件，还需证明另一个角相等，结合CN平分∠DCE及正方形条件可以轻松证得。 由对称原理，既然可以以AM为边构造与△MBN全等，是否还可以以MN为边构造与△ABM全等的三角形？试试看，行不行，如果不行，为什么？  截MF=AB，发现一个重大问题，缺少一个条件无法证得，因为和前一种作法不同，在此图中CN为角平分线及正方形这两个条件无法有效应用，所以这种思路不成功！ 2.总结策略：通过上面分析你对解题策略获得什么认识？ （1）若某种思路的数学模型与已知条件无法产生联系，则此思路无效。当然也可能是你还未找到联系。 （2）若某种思路的数学模型与条件或结论部分吻合，则可通过作辅助线创造所缺少的条件从而完成解题。 （3）若从已知条件出发寻找思路比较困难，可以结合结论逆向推理。 3.思维升级：总结规律，拓展发散，一题多法，多法归一，题题相联，法法相通。 品味此题的解法，构造出来的两个全等三角形是什么位置关系？ 有没有发现，△ABM可以由△MBN旋转而得，请找到旋转中心在哪，是如何旋转的。   根据旋转的性质，作AM、MN的垂直平分线交点是旋转中心，实质就是等腰直角三角形斜边AN的中点，把△MBN绕中点旋转90°可得△ACM。从另一个角度看，由两个三角形的2组对应边AM⊥MN、AC'⊥MC，亦可知是旋转90°的关系。 小结：一般地，全等三角形的构造方法可以用平移翻折旋转三种变换方式。 再试一试，还有其它变换方式吗？（提示：还记得双等腰模型吗？AM还可以看成是由MN绕点M逆时针旋转90°而得，那么把C点绕M点逆时针旋转90°就可以构造出双等腰型的全等，这里同时可以利用正方形对角线的性质）   既然可以把△MCN旋转从而构造出全等三角形，由对称原理猜想也可以把△ABM旋转进行构造，如下图，把△ABM顺时针旋转90°，然后可证四边形M'CNM是平行四边形（实质是同时又构造出△CMM'与△AMCN全等）。 上图中AM本来与MN垂直，旋转90°后AM便与MN平行，从而构成平行四边形。同样地，把MN绕点C旋转90°也可以与AM平行，从而构成平行四边形。如下图，把△MCN绕点C顺时针旋转90°也可以得平行四边形AMN'M'。 再来，把△MCN绕点C逆时针旋转90°也可以得平行四边形AMM'N'。 有意思吧，想不想再试试其它变换手段？考虑到延长AC，CE平分∠NCN'，把△MCN沿ME翻折，可证等腰△AMN'（AM=MN'），如下图。 与上图相对称，考虑到延长NC，CB平分∠ACA'，把△ABM沿BC翻折，可证等腰△MA'N（MN=MA'），如下图。 小结：上面的方法中，共同的规律是把AM、MN所在的三角形进行旋转、翻折从而构造全等三角形、等腰三角形、平行四边形，同时结合正方形的性质及角平分线条件进行解题。 再想一想，按照上面△MCN同样的旋转方式，把△ABM绕点B逆时针旋转90°，可以证明四边形MNM'A'是平行四边形吗？为什么不好证明？ 显然，上图中无法有效应用已知条件，所以此种构造方法无法证明。 4.创新发展： 图形中点M是BC边上的动点，把M点的运动位置再扩展到BC的延长线上（如下图），结论还成立吗？上面的方法还能应用吗？ 继续把M点的位置扩展到整个直线BC上，当M点在B点的左侧时（如下图），还成立吗？ 尝试发现，不管是结论还是作辅助线的方法都完全一样，证明过程也基本相同。 |
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