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现在很多书上引用的速度叠加公式是错误的，因为采用了以太作参照系，虽然没明确说明，但暗含着以太为参照物的速度概念即有绝对的快慢之分，不同惯性系互相看到的对方速度不对等，所以无法用相对论的理论来严格的证明。 现在分析了一些推导过程，发现里面引用了以太作参照物，所以结果（在相对论看来）一定是错误的。 另外一个最显然的错误是速度公式中包含了距离参数，惯性系的定义是两个惯性系之间的速度恒定不变，不可能因距离不同速度发生变化。 相对论中不存在以太这种绝对静止的参照物，因此不存在（以太为参照系时的）速度的快与慢的问题。任何两个惯性系都是对等的。A相对B的速度是v，B相对A的速度也一定是v，因此以A为参照系计算得到的速度一定等于以B为参照系得到的速度。 下面进行正确的公式推导，这里要注意避免一切用以太作参照物的概念。不存在速度的快慢问惯性系之间完全对等。 推导前先预习一下洛伦兹变换的推导：  上面的图中A是相对O以速度v运动的系统，注意也可以说是O相对A以速度v运动，两种说法等价。不要以为A的速度快，O是静止，因为O也许也是相对其他的参照物运动着的。 在A运动到与O重合位置的同时，一光子从A发出射向B。因为光速不变，在A上观测到的光子路径是ct'，在O上观测到光子的路径是ct，并且在t时间内A相对O移动了vt的距离（与向左还是向右的方向无关）。 三个长度的关系是：(ct')²＋(vt)²＝(ct)² 解出 t' 得：t'＝t√(1-v²/c²) 这个公式一定要牢牢记住，因为后面的速度叠加就要用到。 下面是速度叠加公式的推导：  与洛伦兹变换的推导过程相同，上图中有三个系统O、A、C，C相对A以速度v2运动，A相对O以速度v1运动，C相对O以速度v运动。我们要得v与v1、v2之间的关系。 C相对A系统以速度v2运动，根据洛伦兹变换（这里不重复推导）时间关系是： t''＝t'√(1-v2²/c²) ①；（参看ΔACD） A相对O系统以速度v1运动，根据洛伦兹变换公式得到时间关系是： t'＝t√(1-v1²/c²) ②；（参看ΔAOB） 与洛伦兹变换的推导过程一样：在ΔCOD中有： 长度关系式：(ct')²+(vt)²=(ct)²用①替换t'：(ct'√(1－v2²/c²))²+(vt)²=(ct)²用②替换t'：(ct√((1－v2²/c²) (1－v1²/c²)))²+(vt)²=(ct)²平方开根号：(ct)²(1－v2²/c²) (1－v1²/c²)+(vt)²=(ct)²等式变换：(vt)²=(ct)²-(ct)²(1－v2²/c²) (1－v1²/c²)两边除以t²：v²=c²-c²(1－v2²/c²) (1－v1²/c²) 开方求速度：v=√(v1²+ v2²)√(1-v1²v2²/( v1²+v2²)/c²) 即得到速度叠加公式：（v与v1、v2之间的关系式）  这里的公式无论以O、A、C哪个惯性系作参照系，得到的结果都不会出现悖论，不会出现不对等的结果。任何惯性系上的计算结论是相等的。 爱因斯坦的相对论中速度相加的公式，爱因斯坦和洛伦兹都没有给出过那个公式，那是后来的一些人推导的，他们如果不引入以太作参照物，就无法证明。但相对论不承认以太的存在。 |
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