这是我所在地区----天津市2010年的高考真题,那几年排列组合题目通常位居选择题或者填空题的最后一道,难度较大. 解决涂色问题的基本方法是两个计数原理----即分类加法和分步乘法计数原理. 何为分类加法原理? 比如,我们假设从天津到北京有两种交通方式,一是坐汽车,一是坐火车,已知每天汽车有3个班次,火车有2个车次,问一天中从天津到北京有多少种到达方法? 根据上述原理,到达方法共有3+2=5种. 何为分步乘法计数原理? 比如,我们假设从天津到北京必须经过廊坊,每天从天津到廊坊的车有3班,从廊坊到北京的车有2班,问一天中从天津到北京有多少种到达方式? 根据上述原理,到达方式共有3*2=6种. 回到本题,我们依次对各顶点进行涂色. 一、首先对A涂色,有4种选择. 二、然后对D涂色,因为不能与A同色,故有3种选择. 三、再往下涂,我们是选择涂E点还是选择涂C点呢? 注意到,A,D,E三点构成封闭的三角形,如果涂E点,则可确定涂色选择是2种. 如果涂C点,则C点处可能与A点颜色相同,也可能不同,需要分类讨论. 为减少讨论,化繁为简,我们先涂E点,有2种颜色可选. 四、接下来涂F点. F点与E点颜色不能相同,貌似有3中颜色可选. 如果你认为F点有3中颜色可选的话,那么B点有几种可选呢? 答案是不确定. 因为不清楚F点和A点是否同色,即F点的选择影响了B点的选择,所以需要对F的选择进行讨论. 同样F点是否与D点同色也影响C点的选择. 涂色问题最重要的能力就是分类讨论的能力.当然,更重要的是,要找到分类讨论的标准. 现在讨论的标准清楚了,就是要分析F点是否同A,是否同D. 1.若点F与点A同色,下面涂点B. B有几种选择呢? B貌似有3种选择,只要不与A同色即可. 可是如果你认为B有3种选择的话,那么C有几种选择呢? 答案是不确定. 因为不清楚B点是否与D点同色,即B点的选择影响了C的选择,所以需要对B的选择进行讨论. (1)若B点与D点同色,则点C有2种选择. 涂色完毕,方法数为4*3*2*1*1*2 (2)若B点与D点不同色,则B点有2种选择,C点有1种选择. 涂色完毕,方法数为4*3*2*1*2*1 2.若点F与点D同色,则点B有2种选择,点C有2种选择. 涂色完毕,方法数为4*3*2*1*2*2 3.若点F不与点A同色,也不与点D同色,则点F有1种选择.下面涂B点. (1)若B点与D点同色,则C点有2种选择 涂色完毕,方法数为4*3*2*1*1*2 (2)若B点与D点不同色,则B点有1种选择,C点有1种选择. 涂色完毕,方法数为4*3*2*1*1*1 分类讨论结束. 你晕了没? 有童鞋可能认为麻烦,但这就是涂色问题的通法.别人乱了,我不乱,我就能得分.复杂的涂色问题就是要锻炼考生在纷繁复杂的讨论中保持冷静、保持镇定的能力. 下面计算方法总数. 4*3*2*(1*1*2+1*2*1+1*2*2+1*1*2+1*1*1)=264种,选B. 下面我们换一种思考问题的角度. 我们来重新观察这个图形.
所谓正难则反,从反面思考会不会容易一些呢? 我们这样设计思路:两个三角形先独立涂色,然后按照A-B,E-F,D-C三组的形式连接到一起. 为符合题意,我们要从总数中减去3组同色的,2组同色的,1组同色的. 两三角形独立涂色,则方法总数为:4*3*2*4*3*2 若3组都同色,即A与B同色,E与F同色,D与C同色,说明一个三角形涂色完成之后,另外一个三角形的涂色情况就被确定了. 所以,3组都同色的方法数为4*3*2 再研究2组同色的情况. 我们假设ADE已涂好,B与A同色,F与E同色,C不与D同色,那C有几种选择呢? 从上图能看到,C其实只有1种选择. 当然,也可能B与A同色,C与D同色;或者F与E同色,C与D同色,情况和上面相同. 所以,2组同色的方法数为4*3*2*1*3 最后研究1组同色的情况. 我们假设ADE已涂好,B与A同色,F不与E同色,C不与D同色,那么F与C分别有几种选择呢?
所以1组同色的方法数为4*3*2*(1*1+1*2)*3. 最后,我们来计算符合题意的方法数. 4*3*2*4*3*2-4*3*2-4*3*2*1*3-4*3*2*(1*1+1*2)*3=264,选B. 小结: 1.优先涂封闭图形; 2.如果前面元素的选择影响后面元素,要分类讨论; 3.正难则反,不妨试试从反面思考,开拓眼界和思路. |
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