【原】纠缠不清的f(x)和f(x+1)

公众号的老朋友@q皮卡丘留言问道：

老师，若f(x+1)是奇函数,为什么f(-x+1)=-f(x+1).这个我一直没明白，我总觉得是应该x+1都变为-的，为什么不能当整体呢？网上有一些解释，比如图像平移的我懂.但别的解释就没看懂.

看下面的栗子.

从以上栗子看出两点：

1.f(x+1)为奇函数不等于f(x)为奇函数；反过来，f(x)为奇函数也不等于f(x+1)为奇函数.也就是说，f(x)为奇函数和f(x+1)为奇函数是两回事.

通常情况下，如果没有周期的话，f(x)和f(x+1)不太可能同时为奇函数，毕竟要平移一个单位嘛.如果其中一个函数为奇函数，图象关于(0,0)对称，平移一个单位之后，对称中心就不再是（0,0）了.

2.不管是f(x)还是f(x+1)，函数的自变量始终是x.看上面的六个栗子，是不是这样？

如果承认第2点的事实，那么根据奇函数的定义：自变量相反，则函数值相反.

所以f(x+1)为奇函数等价于f(-x+1)=-f(x+1).

你谈到，为什么不能当作整体呢？

当然可以.

令x+1=t，则f(x+1)就转化为f(t).那么f(x+1)为奇函数是否意味着f(t)为奇函数呢？

如果你回答“是”，那就与我上面讲的第1点矛盾.

也就是说，通过代换，你竟然可以把f(x+1)为奇函数变为f(x)为奇函数？

错在哪里呢？

脑中始终要有自变量的概念，说函数是否为奇偶函数之前，要确定哪个是自变量，即确定是关于哪个自变量的奇偶函数.

举个栗子就明白了.

f(x+1)是关于x的函数，同时是关于x的奇函数；f(t）是关于t的函数，但不是关于t的奇函数.

所以，为了让你脑中始终铭记f(x+1）是关于自变量x的函数，我建议这样处理.

当然，我同意你的感觉：的确，从图象平移的角度更好理解.

f(-x+1)=-f(x+1)所表达的函数特征，也是图象关于（1,0）对称.

希望对你有帮助.