主成分分析与因子分析（三）：使用SAS实现主成分分析 - FACTOR过程

上一系列文章介绍了使用PRINCOMP过程进行主成分分析。今天，我们将介绍使用FACTOR过程进行主成分分析。

FACTOR 过程

除了PROC PRINCOMP外，还可以使用PROC FACTOR来进行主成分分析。事实上，在进行标准化后，二者的结果是一样的。为了比较二者的结果，首先介绍如何对数据进行标准化。SAS对数据的标准化是通过PROC STDIZE实现的，PROC STDIZE的一般形式如下：　

其中：

• 选项METHOD=指定用于标准化的方法，常见的标准化方法有MEAN、SUM、EUCLEN和STD。

• VAR语句指定数据集中用来进行主成分分析的变量，变量类型必须为数值型。若该语句缺失，那么PROC FACTOR将分析数据集中的所有数值型变量。

标准化的计算方法如下：

这里LOCATION和SCALE的值与标准化方法有关。表12.3列举了一些常见的标准化方法的LOCATION和SCALE值。有关其他方法具体参数值建议读者参考SAS官方帮助文档。

表12.3 常见标准化方法中的LOCATION值与SCALE值

这里仅简单介绍PROC FACTOR中与主成分分析相关部分的选项，在后面使用PROC FACTOR进行因子分析时，会对其他选项进行介绍。PROC FACTOR的语法如下：

其中：

• 常见的选项有：“DATA=”用于指定输入数据集，“SIMPLE”输出常见的统计量，“CORR”输出原始变量的相关矩阵。

• VAR语句指定数据集中用于分析的变量。

例12.2： 使用PROC FACTOR对数据集sashelp.cars进行主成分分析。

示例代码如下：

输出结果中基本统计量与相关矩阵的部分如图12.8所示。

图12.8 使用PROC FACTOR进行主成分分析过程中输出基本统计量与相关矩阵

同时，PROC FACTOR还输出了相关矩阵的特征值与解释的变异比例，这部分内容也和PROC PRINCOMP一致（如图12.9所示）。由该表可以判定主成分个数为1或者2。

图12.9  相关矩阵特征值以及解释变异的比例

除此之外，PROC FACTOR还输出了公共因子信息，这是PROC PRINCOMP所没有的。但是，二者在本质上是一样的。为了便于比较，这里将因子（这里可以理解为主成分）个数定为2个，代码修改如下：

这里的关键字“N=2”限定了输出因子的个数为2。输出结果与修改前大致一致，只是有关因子方面的信息发生了变化。具体如图12.10所示。

图12.10 指定公共因子的信息

如果将上述结果的Factor1与Factor2分别看成第一主成分与第二主成分，那么因子模式图提供了主成分由原始变量线性组合的信息。例如，第一主成分为

至此，我们利用PROC FACTOR完成了对原始数据的主成分分析：找出了主成分的个数为2个，并且知道了如何通过原始变量的线性组合得到主成分。

虽然通过过程步PROC FACTOR和PROC PRINCOMP得到的主成分个数一样，解释的方差也一致，但是主成分的构成不一样。回顾例12.1，在该例中，第一主成分为：

导致二者差异的主要原因是PROC FACTOR会假设所有的因子或主成分的方差为1，而PROC PRINCOMP则假设所有主成分的方差为特征值。如果要两者要得到一样的结果，只需要对PROC FACTOR输出的得分矩阵进行标准化，然后对标准化后的得分矩阵进行缩放即可，缩放的比例为，这里N为变量个数。这一标准化过程以及缩放可以通过PROC STDIZE来实现。例如，在本例中，缩放的比例为=0.44721，代码如下：

数据集work.eigenvectors的输出结果如图12.11所示。

图12.11 标准化后的得分矩阵

该结果和例12.1中的结果一致。

综上所述，利用PROC FACTOR和PROC PRINCOMP进行主成分分析从本质上讲是一样的。

与PRINCOMP过程的比较

过程步PROC FACTOR不仅可以进行主成分分析，还可以用来做因子分析，其默认方法是主成分分析。使用PROC FACTOR与PROC PRINCOMP进行主成分分析时，除了因子得分系数矩阵有区别外，二者的输出结果几乎一致。至于因子得分系数矩阵的区别，具体来说指的是：在PROC FACTOR中，主成分在各个变量上的得分系数的方差是标准单位1，而在PROC PRINCOMP中，主成分在各个变量上的得分系数的方差是其对应的特征值（后面文章会具体介绍）。二者均支持通过ODS图形选项输出图形。

同PROC FACTOR相比，PROC PRINCOMP具有以下优点：

• 当预期的主成分个数较少的时候，使用PROC PRINCOMP需要运行的时间较少。

• 在内存一定的情况下，PROC PRINCOMP能处理的问题规模更大一些。

• PROC PRINCOMP对偏协方差矩阵或偏相关矩阵进行分析时会输出相应的得分。

• 从使用角度来说，PROC PRINCOMP更简单容易掌握。

同PROC PRINCOMP相比，PROC FACTOR具有以下优点：

• 从输出结果看，PROC FACTOR输出内容更丰富。

• PROC FACTOR可以用来做因子旋转。

作者：夏坤庄、徐唯、潘红莲、林建伟