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【本文曾发表于《中小学教材教学》（供小学用）】 不少人玩过魔方，一定曾被它的“魔力”所吸引。 小小魔方，结构奇特：26个棱长为1.9厘米的小立方体，能自由地围绕一个同样大小的中心块旋转；其中的边块和角块可以分别转至任何其他边块和角块的位置。它最基本的玩法是：当各面的颜色被打乱之后，用尽可能少的动作，使之恢复原位。 这个由匈牙利建筑学教授鲁毕克设计的小玩意儿，为什么能风靡全球，令众多人如痴如狂呢？原因就在于它有约3400亿亿种不同的变化，有很强的开放性和探究性，能够不断刺激人们去把玩，虽然能获得小小的成功，但想获得最完善的结局，是要付出更多努力的。又因为带有极强的挑战性，因而这种努力人们却是愿意付出的，最后也就百玩不厌了。 说到这儿，我联想到小学数学教学。在小学数学中，是不是也可以引进一些类似魔方的“东西”，让学生在玩中学，来促进学生更主动、更有兴趣地学习呢？于是，我想到了“探究性数学游戏”。 教学中，当学生对数学学习感到枯燥无味时，我拿出一个游戏来，让他们“品味”一番，以吊吊他们的“胃口”。我曾和小学一至六年级的学生玩过不少“探究性数学游戏”，几乎每个学生都乐此不疲，苦苦探究不已（就连许多老师也来了兴趣）。 由此可见，探究性数学游戏是培养学生实践能力、创新意识、创新思维习惯以及初步创新能力的一种好方法。学生通过把玩各种新颖有趣的探究性数学游戏，不仅增长知识，带来探究的乐趣，更重要的是培养他们良好的思维习惯，逗引他们在知识的海洋中遨游，在科学的矿藏中开掘，在神奇的大自然中探寻，不知不觉接受人类智慧的陶冶。 一、游戏设计 那么，什么是好的“探究性数学游戏”呢？通过一段时间的实验，我们设计的游戏要有如下特点： 一是趣味性。即游戏要新奇有趣，使学生乐于接受，游戏本身的“魅力”或“魔力”(内在美)”就能激发起学生试玩的积极性。 二是简易性。即游戏的要求简单易记，要求的表述明白易懂。设计的游戏从总体上要充分考虑小学生的知识水平和心理年龄，考虑各年级学生可接受程度。同时游戏不受场合、人数、年龄的过分限制，大家可以一块玩，一块乐。 三是开放性。即游戏不指向一种结果，而象“魔方”那样，有很多很多的答案，这样不同差异的学生均能获得各自成功的心理体验。这样可以使学生处于“愤悱”之间，欲罢不能。 四是拓展性。即游戏能进阶拨高，具有发展余地，可以由此引出新的游戏或问题，引发学生进一步的思考和探究：有没有什么规律呢？有什么奥秘呢？从而不断向学生智力潜能发起挑战，不同年龄的学生可在获得某一阶段成功后，攀向新的高度，并探究不已。 五是生活性。即游戏应尽量与学生生活实际相关或联系，使他们在试玩中体会到：游戏会给自己和家人朋友带来生活的乐趣，玩游戏决不会玩物丧“智”，相反会越玩越聪明。 二、教学建议 1、兼顾教材，更兼顾学龄特点 如“算24点”游戏，一年级可玩“加减法”，二年级加进“表内乘除”和“两步以内混合运算”的内容，三 四年级可进行稍复杂的四则运算，五年级可出现“小数的乘除”，六年级则可有“分数的四则运算”和“指数运算”，如：6÷(1－3÷4)＝24，（5－1÷5）×5＝24，52×1－1＝24，23×（2＋1）＝24（具体可参阅浙江少年儿童出版社的《巧算24点》一书，1997年10月第一版 ）。练习的形式可采用发卡片(《数学算“24”游戏卡片》，金盾出版社，1996年3月第一版)、自制卡片、小组赛、抢答赛、擂台赛等，以不断激发学生的兴趣和求知欲。 2、可用“选宝贝”的办法进行 “选宝贝”的游戏方法，可以增加游戏的神秘感。学生从游戏“菜谱”中任意抽选出一个游戏来玩，这种活动本身应有无限的新奇感和满足感，使孩子从一开始就不感到游戏是一件令人疲惫的苦差事。 更为重要的是，这种游戏方法中还密藏着“能力发现”──在一段时间里，通过试玩难易难测、“神秘感”颇强的探究性“数学游戏”，孩子们会在偶然间发现自己动手动脑的努力是有成效的，自己是有能力独自解决问题的，这是多么令他们高兴的事啊!这种成功的体验一定会使他们兴奋不已，形成强烈游戏兴趣和探究内驱力，从而为培养优良的思维习惯和品质创造最佳条件。 3、切不可急于揭开“谜底” 一个好的游戏，如果早早就被揭了“谜底”，学生好奇心可能一下子就泯灭了，游戏兴趣也会急骤下降。因此，游戏不同于数学知识的教学，不要局限在一堂课就彻底解决某个问题，教师应给学生尽可能大的思维空间，让学生有充分的时间去试玩、把玩和探究。教师一定要耐得住性子，可适时采用“说一半，留一半”的教学策略，引导学生从中觅出其中的奥秘。当然，教师也要把握好“火候”，适时揭示“谜底”。 如，有一个“摸出同色球”的游戏：把一些形状、大小、重量都相等的玻璃小球放在布袋里，玻璃球颜色有红、绿、黄三种。现在不允许挑选，只允许你把手伸到布袋里任意摸取，问：至少摸几个小球，才能保证有三个小球是同 一种颜色的？这个游戏的目的是：让学生探究出类似“抽屉原理”的规律来。 游戏时，我采取“以退为进”的方法──先考虑两球同色问题，让学生充分试玩、探究，后又提出问题，让学生充分讨论。通过边游戏边讨论，引导他们总结讨论结果。有时课上不能完成，课后还可进行，也可带回去和爸妈一起探讨。要相信他们通过较长探究，定能找到答案。 如果时间允许，学生愿意，可以继续请同学们想一想：至少摸几个小球，才能保证4个小球是同色的？至少摸几个小球，才能保证N个小球是同色的？以至探讨出最一般情况。 总之，教师一定要切记：不提任何“目标”，“魅力”自在游戏中，过程比结果更重要。 4、适时介绍有关“信息” 许多好的游戏，都出自数学家之手，或与某个重要的数学分支相关联。因此，适时介绍与游戏相关的“信息”，可以让学生对“游戏”有更深刻的理解和认识。 如，“奇妙的纸带”游戏：准备一张长20厘米、宽3厘米的纸条，一支铅笔，一瓶胶水，一把剪刀，一块橡皮，一把直尺。然后按下面的步骤进行： ①把刚才的那张长20厘米、宽3厘米的纸条的两面分别分成12个格子，一面上“从前有座山，山上有座庙，”。 ②然后保持纸条下沿不离开桌面，手持纸条上沿将它翻过来，在背面上写“庙里有个老和尚，他在讲：”。如下图： 正面： 背面： ③把这张纸条扭转1800粘成一个纸圈，如下图： ④顺着纸条上的字念一念：“从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚，他在讲：从前有座山，山上有座庙……”⑤提问：同学们,你们发现了什么？(噢!原来顺着纸条上的字念下去，永远也念不完) 游戏活动并没有到此结束，我适时介绍：这个奇妙的纸带其实是拓扑学中有名的以数学家名字命名的“梅比乌斯带”。可别小看这个小小的纸带，虽然制作起来十分简单，却奇特得叫人不可思议。例如，放一只蚂蚁到纸带上，让它沿着图中纸带上所写字的路线爬行（不经过纸的边沿），这只蚂蚁就可以一起爬遍纸带的两个面，而在普遍的没有旋转180度而粘贴的纸带上是不可能做到的。现在，这一成果已经在科技上得到了应用。如有一种电脑打印机（如AR3200＋打印机）用来打印文稿的色带就是根据这一原理做成的，这种色带是经过1800旋转后进行对接，这样可以使色带在打印中两面都得到充分利用，从而成倍地延长其使用寿命，大大节省了耗材。拓扑学这些有趣的性质，将有利于他们长大后去进行更深入地探索。 通过适时的“信息”透露，学生的知识面拓宽了，视野开阔了，这为学生的可持续发展打下良好的基础。 三、案例举隅 1、移棋子 基本玩法：取白色和黑色围棋子各3枚，在桌子上左边放3枚白的，右边放3枚黑的，紧挨着排成一行（如下左图中的第0行）。规定每次可取出相邻的两子，但不能变动两子的先后顺序，把它们移到同行的任何空位上。要求移动3次，就能把它们排成黑白相间的一行，而且各子紧挨着，不留空隙（形如下左图第3行）。该怎样移？(见下左图) 聪明进阶：以上情况称为“3对子”。如果觉得不过瘾，请再想想：如果是“4对子”该移几次、怎样移才行呢？(如右图)“5对子”、“6对子”……“N对子”分别该移几次、怎样移，才能由“黑白分明”移成“黑白相间”呢？ 重要提示：数学家已经证明：“5对子”移5次，“6对子”移6次……“N对子”移N次。 适用年级：1－6年级 教学建议：也可用其它棋子、石子、瓶盖之类的东西代替。教学中若有磁性黑板或围棋挂盘，游戏效果将更佳。对于低年级学生，只要他们能玩出“3对子”和“4对子”就行了，不能无限度地拨高。 2、金鱼掉头 基本玩法：先用3枚棋子来摆一个类似“金鱼头”的三角形（图①）。 它能两个竖列，要使它从指向左变为指向右，最少要动几枚棋子呢？你一定可以很快答出：动1枚（如图②，其中黑棋子表示线棋子移至新位置）。6枚棋子可以组成一个三角形的“鱼头”，它有三个竖列，要使它掉头，要移动2枚棋子（如图③）10枚棋子可以组成四个竖列的三角形“鱼头”，要想使它掉头，要移动3枚棋子（如图④）。 聪明进阶：5个竖列的“鱼头”是由15枚棋子组成的，由6个竖列组成的三角形“鱼头”共需21枚棋子，要想使它掉头，各需要移动几枚棋子呢？随着竖列的增多，你能总结其中的规律吗？ 适合年级：1－6年级。 教学建议：可采用“以退为进”的教学策略。 参考答案：5列要移动5枚，6列要移动8枚。移动的规律是：每次移动时增加的枚数总是比竖列数少3枚。 3、移动“诺哈依之塔” 基本玩法：如下图，请准备好一块小木板，在木板上钉上三个小木棒，同时准备4个大小不一圆环，把它套在小木棒上。现在我们要把A棒中串着的圆板移到B棒上，要求圆板一次只能移动一块，移动必须是从棒到棒（C棒用作暂存棒），并且小圆板不能放在大圆板上，该如何移动，至少移动多少次？ 进阶玩法：如果是5、6……N个环，又该如何移动？移动多少次？ 重要提示：这个游戏是一个名叫尤嘉的法国人发明并命名的。 适合年级：1－6年级。 教学建议：可先让学生动手制作一个“诺哈依之塔”，再运用由浅入深的方法进行教学。 参考答案：若圆板为n块，则至少要作2n－1次的移动才行。比如两块是22－1＝3次，三块是23－1＝7次。例如，圆板为4块，它至少需要24－1＝15次（具体移动过程见上）。 4、穿越每道线段 基本玩法：先画一个正方形或长方形，然后如下图用铅笔画一道连续曲线，让它越过每条线段。你肯定能轻而易举地获得成功。如果画一个“日”字型，你能否也能画条连续曲线，让它划过每道线段呢？注意规则：曲线不能通过交点，不能沿着原来的线段行进，也不能把纸折起来画等等，下同。 聪明进阶：如果是“田字型”或格子更多的图形呢？你能找出其中的规律吗？右面的图形能够划过每道线吗？ 适合年级：1－6年级。 教学建议：师生共探或引导学生边画边思考。 参考答案：“田”字形能够画出，右图是一种画法。另一图形却不能画出。
重要提示：规律：凡是把一个长方形如上面“日”字、“田”字一样有规律地划分成N×N的格子，如3×3、5×7等，都能划过每道线。 5、翻骰子 基本玩法：骰子放在棋盘的右上角（如下图①），骰子各个面上的点数见图②（背面为6）。规定骰子只能在棋盘上一格一格翻动（不能滑动）。问：至少要翻动几次，才能使骰子棋盘翻到左下角的五角星处时，正好是有6个点子的一面朝上。
聪明进阶：步数最少的翻动方法是几步？有几种？ 适合年级：1－6年级。 教学建议：先制作，后游戏，这样动手又动脑。骰子可用橡皮切成，上面标出数码即可。 参考答案：最少翻动步数是8步，有三种翻动方法（如下图）。
6、让你“做不到” 基本玩法：如右图，用10枚棋子可以摆成一个三角形。现在，如果以其中的三枚棋子点为顶点，就可以连出一些等边三角形。现在不是要你连三角形，而是问：至少拿掉几枚棋子之后，就一个等边三角形也连不成了？
聪明进阶： ①如下图左，在桌子上放20枚棋子，以其中某四枚棋子点为顶点，可以连出许多不同的正方形。现在要问的是：至少要拿掉几枚棋子以后，就一个正方形也连不成了？
②在一张国际象棋的棋盘上，有十六个格子里涂上了颜色。你在这样的棋盘上不可能剪得未涂色的十字形。现在请你重新设计一种涂色方案，使得涂掉的格子尽可能地少，同时又能使人不可能剪得未涂色的十字形。你该怎么办呢？ 适合年级：1-6年级。 参考答案：答案均见对应的右图。
8、拾石子 基本玩法：准备一张围棋盘，在棋盘上按下图所示放上石子（可用围棋黑子和白子来代替），然后按照下面所说的规则来“拾石子”：拾石子时，要按纵或横的方向来拾，不能斜着拾，也不能在中途留下石子。 聪明进阶：同样是拾石子，你能很快完成任务吗？
适合年级：1-6年级。 教学建议：即可用实物进行，也可在“纸上谈兵”。 参考答案：略。 9、当回教务助理 基本玩法：要排好课程表，可不是容易的事。一次，正好教务主任外出开会，而学校某班上午的三节课却需要重新调整：上午三节课分别是语文、数学、自然各一节。但数学老师第三节课要外出听课，语文老师第二节课要参加中心组备课，自然老师一早要去记录和分析小气象台的数据，不能上第一节课。现在请你当回教务助理，保证老师既能按时教课，又能完成其他工作？ 聪明进阶：如果某班上午三节课仍然是语文、数学、自然，但自然老师因早上要记录和分析小气象台的数据，不能上第一节课，数学老师因第三节课要外出有事，语文老师随便上哪一节课，你能排出他们上课的课程表吗？ 适用年级：3-6年级。 教学建议：可用“表格法”进行，也可用“分支图”进行分析。 参考答案：按下列三种情况之一排课程表均可。①第一节语文，第二节数学，第三节自然；②第一节数学，第二节语文，第三节自然；③第一节数学，第二节自然，第三节语文。 9、拼“十二块”： 基本玩法：找一张长方形硬纸，宽6厘米，长10厘米，划好长宽各1厘米的格子，再按图一描上分割线。用剪刀沿分割线将硬纸剪开，一套“十二块”就做好了。现在请你“伤伤脑筋”，将这十二块重新搭成6×10厘米的长方形。当然，请你不要照着图一的样子拼搭。
聪明进阶：①将这十二块重新拼搭成6×10厘米的长方形。规定要使第一块才有总分边线充当长方形的界线。②图二是一个7×9厘米的长方形，只是中央挖去三个1厘米见方的小正方形(面积仍为60平方厘米)，请你用你的十二块将这个形状拼搭出来。 适合年级：3-6年级。 教学建议：先制作，再拼图。 答案：略。 10、重排九宫： 基本玩法：从图①通过逐格移动变成图②的方法称为“重排九宫”。重排九宫和过去流传的“华容道”（现称“船坞排挡”）游戏相类似。你能找出其中的一种方法吗？
重要提示：十九世纪，数学家亨利·杜特尼研究了重排九宫这一问题，他认为从图①变换到图②一共需要36步，这是当时公认较好的走法。现代电子计算机已经帮助我们解决了这个问题。从图①变换到图②的最少步数是30步，并具有10种最优走法。据说，世界上许多数学家曾用这个问题对不少人进行检测，但结果似乎没有一个人能找全全部的10种走法。 聪明进阶：同学们，你们敢不敢向这个智能的极限挑战呢？我相信大家一定能超越前人，用30步“重排九宫”，并找出多种走法来。 |
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