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【题记】 记录下个体生命的履痕，从某种意义上，比记录重大事件更有价值。——八月长安《你好，旧时光》 岁月不饶人，我亦未曾饶过岁月。——木心 生活的最佳状态是冷冷清清的风风火火。——木心 【内容摘要】 “自我纠错能力”是指学生在数学学习过程中，主动发现错误，主动纠正错误，进而形成知识技能、方法习惯与情感态度的数学素养。如何培养学生“自我纠错能力”？我归纳为“三句话”：疑难问题不放过、举一反三找规律、回顾反思常总结。为了较好地说明这一教学策略的运用，笔者采用实证研究方式，对五年级学生“纠错学习”进行个案研究。文章分研究背景、研究过程与研究启示三部分进行阐述。 【关 键 词】自我纠错 三句话 引导 个案研究 实证 【正文】 错误是正确的先导，失败是成功之母。孩子是在错误中学会成长的，如果每位老师都学会了“容错”，让错题变成宝贵的教学资源，就能变“错”为宝，起到事半功倍的作用。 什么是“自我纠错能力”？是指学生做学习的主人，在数学学习过程中，主动发现错误，主动纠正错误，进而在在纠错中掌握数学知识技能，形成“知错—悟错—改错”的态度、方法和习惯，在改错中积累淀学习经验和思想方法，形成数学“核心素养”，并能迁移到其他学科，促进他们终身学习和可持续发展。 在我看来，“自我纠错能力”包括三个层面： 一是主动纠错能力。即 有明确的学习目的，对学习有浓厚的兴趣，肯与老师、家长配合，主动发现错误，主动纠正错误； 二是独立纠错能力。即有自我意识，能在老师、家长的指导下，养成主动纠错的习惯，掌握纠错的方法，自我检查，自我评价，自我补偿； 三是灵活纠错能力。即能灵活独立运用各种方式方法下纠正学习中的错误，善于提出问题、解决问题，善于识疑、质疑、解疑，进而养成深刻而批判的思维品质。 如何培养学生“自我纠错能力”？我归纳为“三句话”：疑难问题不放过、举一反三找规律、回顾反思常总结。为了较好地说明这一教学策略的运用，我采用实证研究的方式，对五年级学生引导进行“自我纠错学习”的个案研究。虽然这一研究只针对一名五年级学生，但我相信它对教师课内外指导学生进行“纠错”、形成课内外“纠错文化”，是有积极意义的。 以下分研究背景、研究过程与研究启示三个方面进行阐述。 【研究背景】五年级学生，女，爸爸在做生意，妈妈帮人看店，外来人口。平时，她自己多数是自顾自，有较强的自理能力。由于该女生对数学教材的理解存在一定的困难，学习成绩在班上属中等偏下。 我大约花了1个小时，和她聊天，一起纠正单元练习中的错误，一起合作与探究学习。在此订正过程中，我慢慢引导她感悟、理解“学好数学三句话”，以促进她的可持续地发展。 为了便于叙述，我把某女生简称为“夏同学”或“小夏”。 【研究过程】【片断一】订正填空第1题师：小夏同学，这次《方程》单元练习你得了70分，上次只有64分，有了明显的进步。我刚刚看了一下你做的这一单元的填空题，21分中你得12分，扣了9分，算是比较多了。所以，我们今天就一起来挑两道错题进行重点订正。好吗？ 夏：好的。 师：我在班上说过，学好数学三句话，你还记得吗？能否说一遍。 夏：学好数学三句话是：疑难问题不放过，举一反三找规律，回顾反思常总结。 师：真不错！我们先来看第一题，我发现这道题你已经订正好了。这道题是：修路队x天修2.4千米的公路，平均每天修（ ）千米。你原来填的是（x÷2.4），订正时改成了（2.4÷x），疑难问题不放过——你能说说为什么这样改吗？（如下图） 夏：因为题目求的是“平均每天修多少千米”。 师：嗯，说得不错。那么，你原来填的是“x÷2.4”又表示什么意思呢？ 夏：是每天的千米……不是……x是2.4的几倍…… 【即时感悟】因为这个女孩对数量关系的理解与表达也相对存在一定的困难，所以如果单单通过“告诉”的方式来引导她，而她自己没有足够的体验与经验支撑，还是无法达到预期目标的。 师：看来，你不能准确地说出“x÷2.4”所表示的意思？这样吧，我们先来看另一道题：一个修路队3天修了6千米，你能提出什么问题吗？ 夏：每天修了多少千米？ 师：应该是“平均每天修了多少千米？” 夏：嗯，平均每天修了多少千米？（女孩口头重复了一遍） 师：怎样列式？ 夏：6÷3=2（千米）。（女孩把刚刚说的写了下来） 师：你还能提什么问题？ 夏：……（女孩又在刚才的地方卡住了） 师：（反过来问）你知道“3÷6”表示什么意思吗？ （我叫女生先写下算式，边写边想，这个算式表示什么。女孩最终写下是“3天修了多少倍数？（如下图） 【即时感悟】看来，虽然我已经后退了很多（把原式中的小数改成了整数，把原式中的未知数改成了已知数，但夏女孩还是没有理解，她似乎没有逆向思维的这一本领，或许因为原先的自我学习或老师引导中，这样的逆向思考根本就没有或很少的缘故吧。 师：（没有气馁，继续引导）3÷6等于多少？ 夏：（口算也不熟练，大约1分钟才说出）3÷6=0.5。 【即时感悟】一个简单的口算就难住了这个女孩，看来孩子的问题不仅仅是应用题的数量关系，就连小数除法口算也是孩子数学前行的障碍呢。那就只能从小数除法的口算开始，来给女孩补补功课。 师：刚才，我们写了两个除法算式，一个是6÷3=2，说明6是3的几倍？（2倍）6是3的2倍，那么反过来可以说3是6的一半，一半就是0.5，所以3÷6=0.5，我们要学会这样很快的联想。现在你试着用两个这样的数写几个算式，再很快写出得数，要么等于2，要么等于0.5，可以吗？ 夏：好的，我来试试。（列举如下）
【即时感悟】上面的算式是分两段写的。从左边写的算式可以看出，对于是否等于2或0.5，孩子的发挥还不是很稳定，比如左侧的最后一道就错了。当我问她什么是“一半”，她竟然又答不上来了。我问：你刚才听到我说“一半”是怎样算出来的吗？她又说不清楚了。到了写右边几个算式的时候，开始很熟练，但数据大了一点之后，又出错了。如15÷35就错了。我提示：35是15的2倍吗？她才知道错了。这说明孩子的口算能力与“数感”培养还有待进一步加强。 师：举一反三找规律，根据上面所写的，你能总结出一定的规律吗？ 夏：我发现：除号前面的数是后面的数的双倍，得数是2；除号后面的数是前面的数的双倍，说明是一半，得数是0.5。两个数要大一起大，要小一起小。 师：说得真棒！ 师：我们还是回到刚才的题目吧。3÷6=0.5，这个算式的单位名称是什么？ 夏：千米？……天？……我不知道……（看来还是没有理解题意） 师：这样吧，我们来画图试试。3是什么？（3天），我们来画一条线，表示3天，你来画一条线（画好了）。6表示什么？（6千米）。3除以6，就是表示把几平均分成几人？（把3平均分成6份）你想怎么画？（分成6个小格子）好的！画出来。然后再在上面画一个大括号表示“3天”，在下面的第一个格子下面写上1千米…… 夏：老师，我画好了，也写好了。 师：不错！我们继续进行，请你想一想：每个格子是1千米？需要几天完成呢？（女孩答不上）那么，要不要一天呢？（不要1天）为什么？ 夏：因为如果修1千米要1天，那么修6千米就要6天了。 师：那么，现在你知道1个格子，也就是修1千米要几天呢？ 夏：我知道了，是半天，也就是0.5天。 师：很好！你终于想通了，把它们在图上标上，把算式写全。（如下图） 师：回顾反思常总结。我们再来总结一下，3÷6表示什么意思？ 夏：3÷6表示修1千米需要多少天？列式是3÷6=0.5（天）。 师：现在回到试卷中需要订正的题目，你原来单元练习时填错的“x÷2.4”到底表示什么意思呢？ 夏：我知道了，x相当于3，2.4相当于6，“x÷2.4”表示修1千米需要几天。 师：举一反三，推而广之，我们再来做一道题：修路队y天修3.5千米的公路，平均每天修（ ）千米，平均修1千米要（ ）天。你说说怎么填。 夏：平均每天修（3.5÷y）千米，平均修1千米要（y÷3.5）天。 师：很好！回顾反思常总结，刚才为了弄懂这道题，把小数换成了整数，把未知数换成了已知数，你说说为什么要这样做呢？ 夏：这样做，我感觉好理解些，比原来的题目容易了。 师：是的，我们有时在解题的时候，如果题目比较难以理解，我们就可以退一退，化难为易，再去解答，就迎刃而解了。就比如，你站在一条比较宽的渠沟旁，要想越过去，你该怎么办呢？ 夏：不知道。 师：你得先退几步，再往前一冲，就能顺利越过去了！送给你两个成语：化难为易，以退为进！（孩子很用心，把它写了下来，但是写错了，“近”应该是“进”） 【片断二】订正填空第11题和第15题师：现在我们一起来订正第11题：三个连续的自然数，中间一个数是X（X>0），它的前面一个数是（ ），后面一个数是（ ）。你原来填的是X和0，这是为什么呢？ 夏：这道题，我没有看懂是什么意思。 师：哪个词不懂？知道什么是自然数吗？ 夏：不知道（真没想到，竟然不知道什么是自然数！） 师：不知道什么是自然数，可能是老师没讲清楚，还可能是你自己没用心学。现在只能重新开始了。告诉你，自然数最小的是0，然后依次是1、2、3、4……接下去你会说吗？ 夏：我知道了！接下来是：5、6、7、8、9…… 师：39是自然数吗？7.9是自然数吗？ 夏：第一个是的，第二个不是的 师：那么，你现在会做这道题了吗？（女孩还是不会） 师：举个例子吧。如果连续自然数中，中间是8，前面一个数是（ ），后面一个数是（ ）。 夏：前面是7，后面是9。噢，我会了！X的前面比它小1，所以是（X-1），后面的就是（X+1）。 师：举一反三，推而广之。顺便问问你：如果一组连续偶数中，中间的是X，前面一个偶数是（ ），后面一个偶数是（ ）。（女孩又答不上来了） 师：偶数其实就是双数，比如2、4、6、8、10……现在会填了吗？ 夏：前面一个偶数是（X-2），后面一个偶数是（X+2）。 师：如果是连续奇数呢？（女孩又不会回答，因为她不知道什么是“奇数”） 【即时感悟】看来女孩的基础知识真没学好，但可喜的是，女孩接受能力强。对于基础知识，比如偶数、奇数、自然数之类的概念，我越来越感到概念的理解可能是孩子学习的一个阻碍，因为它涉及到数学的基本的核心的部分。我教了女孩：奇数就是单数，比如1、3、5、7……并且填写了类似的题目：如果一组连续奇数中，中间的是X，前面一个奇数是什么，后面一个奇数是什么。女孩很认真，下面的截图是女孩随手记录的。）
师：那么，试卷上的第15题，你应该会做了吧：与自然数（少了一个字母A，考试时已经纠正添加）相邻的两个数分别是（ ）和（ ）。
夏：这个现在会了，应该填（A-1）和（A+1）。 师：为了便于今后不再犯两样的错误，在这里我推荐一个《典型易错题卡片》给你使用，它是这样的：
师：上面的册数、单元、题目、错因你是能填的，同类题1、2是指相同类型的题目，你可以进行联系，就像我刚才教你的第1题和第11题那样，由X想到Y，由自然数联想到偶数、奇数，由已知中间数去填前一个、后一个联想到已知第一个填第二个、第三个等等，你试着去填写这样的卡片，你积累得越多，对你今后的学习就越有利。 夏：好的，我今天回去就学着填一填。 师：由于时间关系，今天我们就重点订正这两道题。通过今天的纠错学习，你有什么要说的？ 夏：感觉我的理解能力不好，还有好多东西不懂……特别是有字母的地方，感觉有的时候不懂。画图也是很好的方法，能帮助我理解题意。还有，学好数学三句话，我觉得很有用。 师：很好！你有很多收获，说明你是一个很用心的孩子。你还把老师上课教的记数学笔记的方法运用到刚才的纠错学习中，这也是一大进步。另外，你在爸爸妈妈很忙的情况下，能独立自主学习，不依赖别人，这是很好的品质，希望你继续保持好的习惯和方法，相信你会越来越好的！今后的试卷订正就到这里。 【教学启示】1、学生查错纠错的个案研究很有推广意义 当今中国的数学教学研究中，研究教的多，研究学的少；研究群体学习特性的多，研究个体学习特性的少，这不能不说是一个缺憾。80年代中期我得到一本书，它是上海教育出版社1983年出版的前苏联教育家克鲁捷茨基的数学名著《中小学数学能力心理学》，这本书的一大特点是“使用的数学题目是如此的多样和巧妙”（全套题目26个系列），同时针对不同儿童进行了好几年的观察与谈话，研究他们在数学上发展的特点。，应该说是这本书一直在启示我，数学教学研究中实证研究很重要。 在克鲁捷茨基看来，解一道数学题有三个基本的心理活动阶段：收集解题所需的信息、对信息进行加工从而得出解法，以及保持这个解法的信息（见该书P8，英译本编者前言）。我一直研读此书，觉得他当时的打算与我现在的做法是一致的，旨在“先弄清现行的数学教学系统在实际形成学生的数学思维或数学能力上能达到什么程度的情况下，研究在学龄期形成和发展数学的最佳途径。”（见该书 IV页，俄文原版序言）
所以，对儿童进行数学解题与纠错的个案研究是一项十分有意义的事情。这种个案研究，如果针对某一儿童一直研究下去，就变成了“儿童数学学习史研究”。一定程度上，儿童数学学习史与数学发展史应该有着“整体的、历史的相似性”，于是我们可以在数学历史长河的大背景下，结合“儿童数学学习史记”，互相印证着，去打开不同孩子学习数学的奥秘与心理异同，找到困难生的数学学习困难“拐点”，便于针对性地引导他们进行矫正、纠错与修正，最终实行“弯道超车”。 况且，我们现在已经进入一个“大数据时代”，同时又是一个“个体的时代”，如果我们把这些个案研究看作一个一个的“病例”与“诊方”，这可能也为人工智能（Artificial Intelligence，英文缩写为AI）提供了一个更大的可能，甚至可以通过智能机器人收集个体学习的“大数据”，帮助儿童个体在学习中更加快捷有效，更好地通过智能手段来发现儿童，并让儿童在自我纠错学习中促进认知迭代。 “个体心理学之父”阿德勒指出：“有多少人类，就有多少种生命的意义”、“我们研究的是个体赋予世界和他们自己的意义，他们的目标、努力的方向和他们处理生活中各种问题的方式”（出自[奥]阿尔弗雷德·阿德勒著人类个体心理学经典著作《自卑与超越》P4，P43，浙江出版联合集团，2016）。这也正如作家八月长安所说：记录下个体生命的履痕，从某种意义上，比记录重大事件更有价值。 心理学家、文学家的话语从不同的侧面更让我们认知到个案研究的价值所在。 2、退到孩子能够接受的地方等待他们“生长” 这次我个案研究的对象是对数学教材的理解与学习上还是有一定的困难的。过程中也发现，她对教材已经出现过的“奇数”、“偶数”、“自然数”已然陌生，原因是多方面的，可能是教者没教好，也可能是学习者没有深刻地学习。 凡此各种，都要求我们每个老师要以更大的耐心去对待这些孩子，退到他们能够接受、能够理解的地方去，呵护他们学习的信心，把他们数学知识断开的链条重新接上，静静等待他们“生长”，然后再带领他们在数学学习的道路上克服重重障碍，继续不断前行。 3、个案研究对全班辅导也很有启发 在试卷评讲课之类的教学实践和听课研讨中，我们经常发现这类课堂教学中的明显“纠错学习”存在教学效率低、教学效果差的现象，这不得不引起我们的重视。不少老师不知怎么上“试卷评讲课”，往往是“一讲到底”或“不练到底”，不知道评讲的重点、难点和关键点在哪里。 本文所述的个别纠错辅导对大面积（或全班）实施“纠错学习”有什么启示呢？ 首先要说的是，上述针对个案研究形成的方法策略一般均可在班级“纠错学习”中加以实践运用。 其次，还要注意以下几个方面： 一要注意探究个体的差异应对。同一班级中的不同孩子的学习经验和纠错能力是不一样的，因此，在学生纠错辅导过程中，我们需要的不是浮光掠影的课堂巡视，需要是富有针对性的“课内补差”。 二要保证评讲问题的科学选择。这与上述一点也是紧密相连的。即注意面向学生错误的实际情况，选择或设计他们“够不够摸得着”的、有利于突破知识能力重难点的典型错题，引导学生渐次前行、拾级而上。 三是强化纠错过程的独立自主。只有自主的纠错才是对每个个体有切实帮助的“真纠错”。课堂上，多多给学生时间与空间，要让儿童在课堂的中央，多给他们“自力更生、自主纠错”的机会，让他们在自主纠错中积累纠错经验，增长纠错能力，获取“知错即改，知错自改”的真切体验。 四是把纠错能力的培养向课外延伸，形成习惯。大家已经注意到，我在辅导学生纠错的过程中，注意把我们设计的错题卡也放进去，让学生进行记录与收集自己的错误。这也是可以推广到全班甚至全校来使用的。我们认识，错题卡比错题集用起来更方便，错题集不便于归类，不利于在使用中“用进废退”（也即错得严重的多使用，错得轻微的逐步不用），有利于集中火力攻克属于自己的“重度错题”，甚至可以跨年级使用、跨学段使用。学生在使用这个过程中也在不断积累使用经验，进而形成自查自纠的良好习惯。 4、努力形成“纠错文化”的理念与方法 “纠错学习”是儿童学习的本质。“在生命最初的四五年里，个体就已经奠定了自身心灵统一的基础，并建立起了身体与心灵之间的联系。……在第五年的最后，个性就形成了。……正如他们思想和行为都与其对于生命意义的诠释相一致，现在，如果他们能够纠正自己的错误统觉，那么之后的思想与行为也会与其对于生命的全新解读相一致。”（阿德勒语，同上书P28-29） 反思与矫正是“纠错学习”的核心。反思的学生能自觉地对订正活动进行回顾、思考、总结、评价、调节的过程，也是我教给的“学好数学三句话”的灵活运用。学生做错题目，其原因是多种多样的，有粗心大意看错题目的，有笔误写错数字或符号的，有受思维定势影响而出错的，有考虑不周全而出错的。在实际教学中，教师应把学生的错误当作宝贵的教学资源，引导学生反思一下错题错在哪里，为什么错。 同样，老师也在纠错辅导中形成教学过程性反思，提高教学敏感度，引导让学生有针对性的纠错，更清晰地把握学生最近发展区和学习认知规律，进而改进数学教学方式方法，提升学科教学素养，促进自身专业化发展。 于是，在师生不断互动学习与交流过程中，我们形成了教与学的“纠错文化”。 教师的教学理念是：错误是资源，错时抓契机，错误处即愤悱处。容错态度要民主，引导纠错要科学。 学生的学习理念是：错误是朋友，知错要智慧，错误处即成长处。知错即改态度好，知错善改方法妙。 有了“纠错文化”的熏陶与滋润，学生于识错中进步，在改错中发展；老师在学实践中积累个性化的教学、课程资源，增强错误资源的应用意识，提高错误“预见”能力，也为今后在互联网+的背景下的“未来学校”中，创建“未来课堂”，引领“未来学习”，搭建全新的智能平台以及定制个性化AI课程提供了可能，打下了伏笔。
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