 不久占岩老师就给出了一种解法，并说到此解法是从单墫老师的书里学到的。 我印象中此题是一个经典的“网红题”，很早以前（大概1、2年前）有人问过我，当时比较忙，大概做了一下没做出来就没有继续往下思考。 昨天（2月23日）我们学校高二学生李希远又在我们学校的竞赛QQ群里问到这个问题，今天我就想仔细思考一下这个问题，看看有没有什么思路。 本题中，相当于△ABC中PA、PB、PC长度已知，∠ACB也是定值，这样还是能变化的，所以其面积确实存在最大值。 开始的想法是希望通过旋转或者对称将面积转化为其他的形式，重新分割图形计算面积得到最值，或者通过托勒密定理得到结果，经过尝试发现都是不容易的。 后来我就想，不行就硬算吧，设AC=x,BC=y,在△PCA，△PCB中分别利用余弦定理，再加上两角和为60°，就能得到一个关于x,y的等式，由此等式，得到一个关于xy的一个不等式即可求出面积的最大值。  首先由余弦定理可得  由∠ACB=60°可得  下面将余弦值代入上式，消去角度，得到关于x,y的等式，  至此，似乎卡住了，由此等式要得到xy的最大值殊为不易。 直接将上式展开也比较复杂，而且其中只能有一个变量，也就是说只能用一个不等式，更准确的说只能有一个取等条件。所以要多次使用均值或者柯西不等式的希望也比较渺茫。 经过几次拼凑的尝试失败以后，我想不行就用最笨的办法吧，设xy=t,从而消去y，得到关于x,t的等式，看如何由此等式求出t的最大值。  至此又陷入窘境，如何求出t的范围呢，即消去变量x,得到关于t的一个不等式。 虽然看起来表达式很复杂，但是自然的思路是以x为主元，得到一个二次函数或者均值不等式的形式，如果以x为主元t为参数，展开上述表达式，不难发现表达式中只有x^2和1/x^2项，这样就能有均值不等式或者一元二次方程判别式得到一个关于t的不等式，虽然此不等式可能很复杂，但是理论上由此不等式即可求出t的最大值。实在没有更好的办法，就先这样走一步看一步吧，希望关于t的不等式能比较好解。  此不等式看起来确实比较复杂，没有好的办法，只能硬着头皮将右边的式子展开得到9项，希望能简化，通过化简及配方发现可以将其表示为关于t+51*64/t的式子，这样设u=t+51*64/t，上述不等式就化成两个二次不等式基本就能解决了。  最后将xy带入面积S中，即可得到面积的最大值，取等条件也不难得到，  上述最值的取等条件为  这样按这个思路本题就解决了。 回顾上述解题过程，此思路比较直接，没有添加任何辅助线，应该算是最自然而直接的思路，不过也并不容易。难点一个在于如何将关于x,y的表达式转化为关于x,t的表达式， 还有一个是计算比较复杂，令人望而却步，不敢往下做。本题再次展示了计算的重要性，要敢算，也要能算。不要怕麻烦，说不定在计算过程中能够峰回路转、柳暗花明，关键是不要轻易放弃一个思路。 解决完本题以后，我希望对照一下其他人的解法。 我首先学习了占岩老师的解法，北京的占岩老师酷爱几何，功力十分深厚，思维灵活，经常秒杀各种难题。 他发布的图片如下：  占岩老师惜墨如金，过程似乎很短，却妙笔生花、步步惊心。 他首先做出平行四边形PBCE,将a,b平移成一个凸四边形EAPC的两条对角线，这样就可以通过托勒密不等式得到一个关于ab的不等式。 但是凸四边形EAPC中还有一个边长EA需要算出来，由a,b夹角为60°及四边形EAPC中的余弦定理可以得到关于x和a,b的等式。 这样就得到了ab及S的最大值。 占岩老师的上述证明难点在于一个是第一步平移很难想到，再一个四边形中的余弦定理也比较少用，所以能想到本思路的人很少。 当然占岩老师提到了他是从单墫老师的书中学到的本方法，我好像大概有点印象。查了单老最新的平面几何书《平面几何的知识与问题》，此书上前两年单老写的《初中数学学习指津（平面几何的知识与问题）》的扩充版本。《平面几何的知识与问题》第四章的第57题确实是本题的一般性结果，即： P在△ABC内部，PA=a,PB=b,PC=c,∠ACB=α，求△ABC面积的最大值。 单老的解决方法确实是占岩所说的方法，单老详细的讨论了存在解的参数需要满足的条件，并指出了取等条件及满足条件的尺规作图方法。 我在前面的很多文章中反复强调过：单老出品、必为精品。单老著作等身，所写的书的质量也都首屈一指。每本书都值得用心学习，本书当然也不例外，此书是平面几何由入门到精通的最佳读物，我把它推荐给很多学生及老师学习。 当然本题还有其他的解法，当天占岩老师发布了解答以后，赵老师也发布了一个解答，据说是一位竞赛学生的解答，如下： 此解答也精妙异常，用轴对称及中心对称将三角形对称到外面，再利用勾股定理及三角函数公式完成计算及证明，思路也非常不容易想到。 下一步的想法当然是用我的方法解决一般的情形，即 PA=a,PB=b,PC=c,∠BAC=θ,求△ABC面积最大值。 就是字母多一些，计算量大一些，基本思路差不多，过程如下 这样本题的一般情形就完全解决了。至此，本题找到了两个思路，单老的思路精妙异常，令人叹为观止。我的思路比较笨，容易想到，不过计算量大，不容易坚持算下去。 当然，此类问题还能进一步思考，类似的问题也比较多，其本质是平面四边形中边角之间的一些恒等式。有兴趣的读者可以进一步收集和探究。 参考文献 [1]《平面几何的知识与问题》 单墫 2019年9月 中科大出版社 |
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