做一题，归一类，得一法（八）上——求通项重转化，招数用尽需归纳

做一题，归一类，得一法（八）上

——求通项重转化，招数用尽需归纳

作者：潘越    转自：潘越高中数学学习  

写在前面：

  数列问题是高中阶段的一个重要内容板块，是高考必考的一个内容，主要围绕定义、递推公式、通项公式、前n项公式和及相关性质等方面的问题来研究，而这些研究又都是从最简单的等差、等比数列作为切入点来展开的，其中，求数列的通项公式及前n项和公式是一个重点，欲求通项公式，必须以递推公式为依据，欲求前n项和公式，必须以通项公式为前提，这些知识环环相扣，也可步步深入，接下来就谈谈我对求数列的通项公式这个问题的一点粗浅认识。

  求数列的通项公式这个问题本是一个很常见的问题，对此类问题目前的情况是：教师讲起来简单，学生操作起来麻烦，主要原因在于，求通项公式的题型多，方法活，做此类题之前要求学生对题型把握准确，接下来常学生要对递推公式进行变形，然后看着题型对号入座，可学生学得快，忘的多，如何将这些方法联系起来，抓住本质，使它们融会贯通，增强解题的灵活性，是一个有待解决的问题。首先，等差、等比的通项公式的推导方法都是紧扣定义，结合递推关系进行归纳，或根据各自不同的特点，引入累加法和累乘法，其实，累加法和累乘法这两种求法也是相通的(一般来说能用累乘法的题型通过换元、取对数后就可以用累加法)，等比数列的通项公式可通过将其递推公式取对数（或先换元再取对数）转化为等差数列来处理，而待定系数法等方法最终是将其转化为等比或等差，转化在这里是至关重要的，这样，即可提炼出求数列通项公式时的四个关键字：“转化、归纳”，这不正是我们要求学生学习数学必备的思想方法吗？

  下面就从2011年广东高考试题中一个数列题开始说说数列求通项公式的问题。

一、考题呈现

【注明】当年这个考题使使众多考生付出代价，招数用尽了，也找不到方法（其实是能够通过变形转化处理的，只是复杂罢了），关键时候，用到“归纳，猜想，证明”，一切困难都不在话下！这不正是：“求通项重转化，招数用尽借归纳”。

二、求数列的通项公式常用方法总结

（1）公式法（注意等差等比的定义的代数表示的多样化）在解题时往往要对递推关系进行变形（加减乘除，乘方开方，取倒数，取对数等）转化，然后进行换元而得到一个新等差数列。

（2）累加法

（3）累乘法

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