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音乐、数学与绘画，绝不仅仅是英文首字母M相同，数学家可以演奏大提琴乐曲，还能用绘画的形式讲数学原理小故事。在SELF讲坛上，世界著名几何学家、业余大提琴演奏家Matthias Kreck，用动画演绎、大提琴演奏，向我们证明了数学家不仅能解决实际问题，还会讲笑话、拉大提琴。 Matthias Kreck 世界著名几何学家 业余大提琴演奏家 以下内容为Matthias Kreck演讲实录： 你好！这绝对不是我唯一会的中文，但这是我在今天的表演中唯一会用到的中文单词。 接下来我想用一分钟的时间向你们介绍我的演出 M³，在数学当中M³等于M乘以M再乘以M。第一个M指Music，音乐，我知道你们一定都喜欢它。第二个M，我确定你们不喜欢它，它代表数学—Mathematics， 但是在我演讲结束后你会喜欢上它。第三个M是一个德语单词，Malerei，翻译成英语就是绘画的意思。绘画用中文怎么说？Huihua，这是我学会的第五个中文单词了。 如果你期待数学能解释音乐或者绘画，那你就错了，这三种艺术只能代表它们本身。所以当你听音乐的时候，就全神贯注地听，忘掉数学，这很简单。思考数学时，要忘掉音乐，好像并不容易。绘画是和数学结合起来的，所以当我们讨论绘画时，你可以思考数学。你们马上就会看到，稍后我展示的绘画都是卡通的形式。 所以听音乐时专注于音乐，思考数学的时候专注于数学，当绘画也会加入进来时，绘画和数学双管齐下。 我先演奏一首意大利作曲家安东尼奥·维瓦尔第的曲子，他最著名的曲子是《四季》，但我不拉这首曲子。我演奏（大提琴）奏鸣曲第3号的两个乐章。（编者注：视频中02:20） 对于我来说音乐的部分是更难的，数学的部分反倒很简单。对于你们来说也许数学更难，但我会让它变得简单。一提到德国人，你们也许就会想到，一群德国人坐在啤酒花园里，一天二十四小时喝着啤酒。我们确实特别喜欢这样，但不是二十四小时。  我找啤酒花园的主人抱怨，我掀起桌子生气地说：“看看你们这该死的桌子！”他说：“不不不桌子没问题，是地面的问题。地面不平所以桌子才晃。”好吧，我放过他，的确不是桌子的问题，是啤酒花园的地面不平。 当然地面不可能是完全平整的，我们都经历过这样的事情，而且都知道接下来要做什么。 所以我接下来该怎么做呢？下一个动画中，一个小男孩走过来对我说“非常简单啊，拿一张纸把它垫在桌腿底下就好啦。”但这样只能管用一会儿，因为这张纸过一会就被压塌了，桌子又会开始晃。 数学家讨厌不稳定，他们不接受（不稳定），你们也应该这样。当你的桌子摇晃的时候，照我的方法做，以后你就不会遇到摇晃的桌子了，我的方法非常简单而且实用。 看，我们将桌子旋转90°，顺时针和逆时针都转一下。你会看到在一个神奇的时刻，桌子完全站稳了。你可以在家里或者其他地方做这个实验， 如果你的桌子晃了，只要旋转至多90°，它就稳了。 这并不是偶然，这不是啤酒花园的话题，这是一个数学演讲，并且可以通过数学来证明这个办法有效。首先，我们需要转化一下，将现实里遇到的问题转化成为数学问题，也就是建立数学模型。  我们将桌子标上序号1234，然后将234号固定在地面上，这时1号是悬空的。当然，只有四条腿都挨在地上的时候桌子才不会晃动，桌子晃动就意味着1号桌子腿没有挨到地面。  现在重要的一步来了，纸上的标出来的点，就是四条腿的位置， 其中234号是固定在地面上的，1号是悬空的。如果我把1号桌腿压在地上，那么3号桌腿就会悬空，所以桌子就晃动了。  接下来我们测量一下1号桌腿距离地面的高度，会得到一个具体的数字，比如说一厘米，这个数字是正的，因为桌子腿是悬空在地面之上的一厘米。 然后我们继续旋转桌子，同时保持234号桌腿一直挨在地面上。这个过程中1号桌腿发生了什么呢？有一段时间它是悬空的，但是当我们到达这个位置，1号就会到地面下。 桌子转了90°之后，1号桌腿的位置，是在地面之下的。一开始时1号桌腿在地面之上，我们旋转桌子，保持另外三条腿一直挨着地。现在是这三条桌腿挨着地面，1号桌腿在地面之下。这是一条非常重要的讯息，有了这些信息，我们就可以开始建立数学模型了。 在这条动画中，你会看到1号桌腿是怎么跑到地面之下的，这一步很关键。现在我们将它转换成了数学问题，在数学中我们会画一些曲线然后来研究它们。 现在我们画出这样一条曲线，每转动一下桌子我们就测量一次1号桌腿距离地面的高度，我们把时间坐标轴的起点，也就是旋转之前，标为0，旋转完毕标为1。在0时刻，1号桌腿是悬空的。当时间为1时，1号桌腿是在地面之下的。我们把这个过程中，1号桌腿距地面的高度都测量出来，就会得到一条曲线。 曲线会上升、下降，在最后的时候高度降到0以下，现在我们非常接近一个有趣的数学定理了。 我们看到234号桌腿一直都挨着地面，对应到坐标轴上是0，但1号桌腿一会儿在地面之上一会儿在地面之下。它的数学定理很重要，叫做中间值定理，大学一年级的学生会详细地学习并且证明它，这一般会花很长时间，但是跟着我你们只需要五分钟，你们比那些学生们要优秀多了。  我们看到这样的连续函数，我们有一条(函数的）曲线 ，f (0)比0大 ，f (1)比0小，中间有某个时刻的值是0，对应到桌子的情况，这个点就是桌子稳定的时刻，因为其他桌子腿都挨着地，现在4号桌腿的高度也是0，所以桌子不再摇晃。 这个定律非常重要，现在我们来证明它，我们通过“狩猎”的方式来证明，想象你有一片土地，上面有一些动物，你想要狩猎，你会怎么做？我们不在美国，所以我们不用枪，枪是绝对禁止的。我们将地划成两半，我们去找动物在哪一边。我们先不管另外一半的地，我们再把这一块地划成两半，我们再看看动物在哪，对半分，建篱笆，然后继续，到最后我们捉到了猎物，这就是我们狩猎的过程。 同样的道理，在这里我们把时间对半分，看看在中间时刻桌腿的高度，会有（正负）两种情况。我们看到，在0时刻它是正数，在1时刻它是负数，在1/2时刻它是负数。然后我们把（1/2到1）这一半扔掉不管，它们的正负性是一样的，都是负的。我们想捕捉的零点在左边这一半，这就像我们的想捕捉的猎物，我们已经把右半边的曲线扔掉了，现在，零点就在0和1/2之间了。 我们再来一次，再对半分，这次零点是在右边，我们不要左边只看右边。如果你一直重复做下去，中间的间隔会越来越小。当然我们可能要做无限多次这样的操作，这是我们在数学中要学习的，“无限” 这个微妙的概念。我们在这里见到了“无限”，我们越来越接近，直到最后我们找到了零点。 这个操作能够有效是有原因的，在定理中这条曲线是连续的，连续的意思就是你可以用笔画出这条曲线而没有间断。如果中间有间断，就意味着你可以从正到负，而不用经过零点。所以粗略地解释，连续性就是没有没有间断。数学上的微妙定义，正是我们现在做的事情，保证我们可以捕捉到零点。 我很自豪，我解决了桌子摇晃的问题，你看人们都对我前呼后拥，但我一点也不喜欢，我只想先喝酒，喝完酒我就溜了。
我希望你们能学到两件事情，首先，数学家是会讲笑话的，第二，数学家可以解决问题。比如这个摇晃的桌子，我们还是很有用的。当然，我们大多时候是在做理论方面的工作，将实际问题转化成数学问题，对于我们来说是思考的起点。 问题可能是来自于物理、化学和其他任何学科，或者是来自数学内部。更多时候我是一个理论数学家，我坐在桌子边，有人进来，他会说我偷懒不工作。因为我就呆呆地坐着，人们以为我在睡觉，但是我在思考。我在思考的明证就是，我会不时地在著名的刊物上发表文章，这就是我们数学家的工作。 请你们记住数学家也会讲笑话，他们能解决实际问题，就像这摇晃的桌子，他们也能给出证明。今天你们见到了一个证明，感谢你们。今天认真的聆听中国观众给我留下了很深的印象，谢谢。 最后的环节仍然是音乐，我希望你们可以和我一起表演。下面我将演奏两首歌曲，希望你们都听过，并且能跟着我一起唱。（编者注：视频中18：35） 刚刚是一首英文歌，下一首是德文歌曲。我很抱歉，但是德国一些作曲家非常不错，我表演其中一首，你们和我一起唱。 谢谢，我的演讲时间还剩1分41秒，我要感谢在座的观众，这是我演奏过的最棒的音乐会，中国观众是如此的有教养，并且熟悉我的同胞贝多芬，这些给我留下了非常深刻的印象。 你们知道这首歌的德语歌词吗？ Freude, schöner Götterfunken, Tochter aus Elysium. 欢乐女神圣洁美丽 灿烂光芒照大地 听起来很奇怪吧，这是欢乐与自由之歌，我想在这个世界上我们需要快乐和自由，还有和平。再次感谢。(完) |
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