圆内接三角形中，正三角形周长最大值的证明

       最值问题是数学问题中的常见问题，比如：日常生活中，我们常常通过“走直线”使我们能够更快地到达终点，这里就是用到“两点之间线段最短”的基本事实（其他版本的教材中称为“公理”）；再比如：用一根绳子，围成一个封闭的平面图形，圆的面积是最大的；……这样的问题数不胜数.

       解决最值为题的基本思路就是从一般到特殊的过程，把一般性情况和特殊情进行对比，从而确定特殊情况下的结果是最大（或最小）从而达到求出最值的目的.

       今天在数学老师交流群看到一个比较新奇的最值为题——证明：圆的所有内接三角形中，等边三角形的周长最大.

      初看这个题目，确实难度不小，但第一小题的结论可以给我们一些启发：

  第一小题就是利用阿基米德折弦定理，证明：BP+CP=2BK.熟练了可以直接使用这个结论.

有了第一题的基础，我们在看第二题，也就有了一个大概的思路：

 一、先任意画一个圆的内接三角形，利用第一题的结论，找到比它周长更大的三角形——等腰三角形，为了方便后面的证明，在这里我选择以这个

三角形的最长的边为底边，构造等腰三角形，如下所示：

注意，这里的MN是最大的边，所以MN所对的圆周角一定大于60度，也就是说，他比60度的圆周角所对的弦要大，为第三步中EF在圆心O与BC之间给出了说明，

       最后，我要重点解释一下一个问题：为什么没有说明EF在BC下方的情况：

因为在第一步已经是取△PNM的最长的边为底，利用（1）中的方法构造等腰三角形，故∠MPN大于60度，所以MN一定是大于EF的.

  证明过程中也许还存在不尽人意的地方，欢迎广大读者批评指正。可以把您的意见通过留言的形式反馈给我，也可以私下发给我，大家共同学习，一起进步。